[数论] 互质与欧拉函数

定义

对于任意两整数$a,b$,若$gcd(a,b)=1$,则称$a,b$互质。

对于三个数或更多数的情况，我们称$gcd(a,b,c)$为$a,b,c$互质，若$gcd(a,b)=gcd(b,c)=gcd(a,c)=1$，则称$a,b,c$两两互质。

欧拉定理

对于正整数n，欧拉函数$\phi （n）$是小于等于n中与n互质的数的个数

$（\phi （1）=1）$

那么有：$\phi (n)=n\ast \frac{p_1-1}{p_1}\ast \frac{p_2-1}{p_2}\ast ...\ast \frac{p_m-1}{p_m}={\prod }_1^m(1-1/p_i)$

其中$p_1,p_2\dots p_n$为$n$的所有质因数。

如果n为质数，那么$\phi (n)=n-1$。

证明

设p为n的质因子之一，1 ~ n中p的倍数共有n/p个，同理，对于另一个质因子q，1 ~ n中共有n/q个q的倍数，若要把这n/p+n/q个数去掉，则p*q的倍数被排除了两次，需要再加回来，因此1 ~ n中与n互质的数的个数为

$n-\frac{n}{p}-\frac{n}{q}+\frac{n}{pq}=n\ast (1-\frac{n}{p}-\frac{n}{q}+\frac{n}{pq})=N\ast (1-\frac{1}{p})\ast (1-\frac{1}{q})$

性质

$1.$对于任意大于一的正整数，1 ~ n中与n互质的数的和为$n\ast \phi (n)/2$。

$2.$ 若a,b互质，则$\phi (a\ast b)=\phi (a)\ast \phi (b)$。

证明
因为$gcd(n,x)=gcd(n,n-x)$,所以与n不互质的数$x$和$n-x$成对出现，平均值为$n/2$，因此与n互质的数的平均数也是$n/2$