[数论] 互质与欧拉函数

定义

对于任意两整数 a , b a,b a,b,若 g c d ( a , b ) = 1 gcd(a,b)=1 gcd(a,b)=1,则称 a , b a,b a,b互质。

对于三个数或更多数的情况,我们称 g c d ( a , b , c ) gcd(a,b,c) gcd(a,b,c) a , b , c a,b,c a,b,c互质,若 g c d ( a , b ) = g c d ( b , c ) = g c d ( a , c ) = 1 gcd(a,b)=gcd(b,c)=gcd(a,c)=1 gcd(a,b)=gcd(b,c)=gcd(a,c)=1,则称 a , b , c a,b,c a,b,c两两互质。

欧拉定理

对于正整数n,欧拉函数 φ ( n ) \varphi(n) φn是小于等于n中与n互质的数的个数

( φ ( 1 ) = 1 ) (\varphi(1)=1) φ1=1

那么有: φ ( n ) = n ∗ p 1 − 1 p 1 ∗ p 2 − 1 p 2 ∗ . . . ∗ p m − 1 p m = ∏ 1 m ( 1 − 1 / p i ) \varphi(n)=n*\frac{p_1-1}{p_1}*\frac{p_2-1}{p_2}*...*\frac{p_m-1}{p_m}=\prod_{1}^{m}(1-1/p_i) φ(n)=np1p11p2p21...pmpm1=1m(11/pi)

其中 p 1 , p 2 … p n p_1,p_2…p_n p1,p2pn n n n的所有质因数。

如果n为质数,那么 φ ( n ) = n − 1 \varphi(n)=n-1 φ(n)=n1

证明

设p为n的质因子之一,1 ~ n中p的倍数共有n/p个,同理,对于另一个质因子q,1 ~ n中共有n/q个q的倍数,若要把这n/p+n/q个数去掉,则p*q的倍数被排除了两次,需要再加回来,因此1 ~ n中与n互质的数的个数为

n − n p − n q + n p q = n ∗ ( 1 − n p − n q + n p q ) = N ∗ ( 1 − 1 p ) ∗ ( 1 − 1 q ) n-\frac{n}{p}-\frac{n}{q}+\frac{n}{pq}=n*(1-\frac{n}{p}-\frac{n}{q}+\frac{n}{pq})=N*(1-\frac{1}{p})*(1-\frac{1}{q}) npnqn+pqn=n(1pnqn+pqn)=N(1p1)(1q1)

性质

1. 1. 1.对于任意大于一的正整数,1 ~ n中与n互质的数的和为 n ∗ φ ( n ) / 2 n*\varphi (n)/2 nφ(n)/2

2. 2. 2. 若a,b互质,则 φ ( a ∗ b ) = φ ( a ) ∗ φ ( b ) \varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b) φ(ab)=φ(a)φ(b)

证明
因为 g c d ( n , x ) = g c d ( n , n − x ) gcd(n,x)=gcd(n,n-x) gcd(n,x)=gcd(n,nx),所以与n不互质的数 x x x n − x n-x nx成对出现,平均值为 n / 2 n/2 n/2,因此与n互质的数的平均数也是 n / 2 n/2 n/2

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