第十届蓝桥杯国赛 C++ B组（仅题目）

试题 A: 平方序列

问题描述
小明想找到两个正整数 X 和 Y，满足

• 2019 < X < Y;
• 2019² , X² , Y² 组成等差数列。

请你求出在所有可能的解中，X + Y 的最小值是多少？

答案提交
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。
本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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试题 B: 质数拆分

问题描述
将 2019 拆分为若干个两两不同的质数之和，一共有多少种不同的方法？

注意交换顺序视为同一种方法，例如 2 + 2017 = 2019 与 2017 + 2 = 2019 视为同一种方法。

答案提交
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。
本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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试题 C: 拼接

问题描述
小明要把一根木头切成两段，然后拼接成一个直角。

如下图所示，他把中间部分分成了 n × n 的小正方形，他标记了每个小正方形属于左边还是右边。

然后沿两边的分界线将木头切断，将右边旋转向上后拼接在一起。

要求每个小正方形都正好属于左边或右边，而且同一边的必须是连通的。

在拼接时，拼接的部位必须保持在原来大正方形里面。

请问，对于 7 × 7 的小正方形，有多少种合法的划分小正方形的方式。

答案提交
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。
本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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试题 D: 求值

问题描述
学习了约数后，小明对于约数很好奇，他发现，给定一个正整数 t，总是可以找到含有 t 个约数的整数。

小明对于含有 t 个约数的最小数非常感兴趣，并把它定义为 S_t 。

例如 S₁ = 1, S₂ = 2, S₃ = 4, S₄ = 6，···。

现在小明想知道，当 t = 100 时，S_t 是多少？即 S₁₀₀ 是多少？

答案提交
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。
本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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试题 E: 路径计数

问题描述
从一个 5 x 5 的方格矩阵的左上角出发，沿着方格的边走，满足以下条件的
路线有多少种？

• 总长度不超过 12；
• 最后回到左上角；
• 路线不自交；
• 不走出 5 x 5 的方格矩阵范围之外。

如下图所示，ABC 是三种合法的路线。注意 B 和 C 由于方向不同，所以视为不同的路线。

答案提交
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。
本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

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试题 F: 最优包含

问题描述
我们称一个字符串 S 包含字符串 T 是指 T 是 S 的一个子序列，

即可以从字符串 S 中抽出若干个字符，它们按原来的顺序组合成一个新的字符串与 T 完全一样。

给定两个字符串 S 和 T，请问最少修改 S 中的多少个字符，能使 S 包含 T ？

输入格式
输入两行，每行一个字符串。第一行的字符串为 S，第二行的字符串为 T。
两个字符串均非空而且只包含大写英文字母。

输出格式
输出一个整数，表示答案。

样例输入
ABCDEABCD
XAABZ

样例输出
3

数据范围
对于 20% 的评测用例，1 ≤ |T| ≤ |S| ≤ 20；
对于 40% 的评测用例，1 ≤ |T| ≤ |S| ≤ 100；
对于所有评测用例，1 ≤ |T| ≤ |S| ≤ 1000。

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试题 G: 排列数

问题描述
在一个排列中，一个折点是指排列中的一个元素，它同时小于两边的元素，或者同时大于两边的元素。

对于一个 1 ∼ n 的排列，如果可以将这个排列中包含 t 个折点，则它称为一个 t + 1 单调序列。

例如，排列 (1, 4, 2, 3) 是一个 3 单调序列，其中 4 和 2 都是折点。

给定 n 和 k，请问 1 ∼ n 的所有排列中有多少个 k 单调队列？

输入格式
输入一行包含两个整数 n, k。

输出格式
输出一个整数，表示答案。答案可能很大，你可需要输出满足条件的排列数量除以 123456 的余数即可。

样例输入
4 2

样例输出
12

数据范围
对于 20% 的评测用例，1 ≤ k ≤ n ≤ 10；
对于 40% 的评测用例，1 ≤ k ≤ n ≤ 20；
对于 60% 的评测用例，1 ≤ k ≤ n ≤ 100；
对于所有评测用例，1 ≤ k ≤ n ≤ 500。

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试题 H: 解谜游戏

问题描述

小明正在玩一款解谜游戏，谜题由 24 根塑料棒组成，

其中黄色塑料棒 4 根，红色 8 根，绿色 12 根 (后面用 Y 表示黄色、R 表示红色、G 表示绿色)。

初始时这些塑料棒排成三圈，如上图所示，外圈 12 根，中圈 8 根，内圈 4 根。

小明可以进行三种操作：

1. 将三圈塑料棒都顺时针旋转一个单位。
   例如当前外圈从 0 点位置开始，顺时针依次是 YRYGRYGRGGGG，中圈是 RGRGGRRY，内圈是 GGGR。
   那么顺时针旋转一次之后，外圈、中圈、内圈依次变为：GYRYGRYGRGGG、YRGRGGRR 和 RGGG。
2. 将三圈塑料棒都逆时针旋转一个单位。
   例如当前外圈从 0 点位置开始，顺时针依次是 YRYGRYGRGGGG，中圈是 RGRGGRRY，内圈是 GGGR。
   那么逆时针旋转一次之后，外圈、中圈、内圈依次变为：RYGRYGRGGGGY、GRGGRRYR 和 GGRG
3. 将三圈 0 点位置的塑料棒做一个轮换。
   具体来说：外圈 0 点塑料棒移动到内圈 0 点，内圈 0 点移动到中圈 0 点，中圈 0 点移动到外圈 0 点。
   例如当前外圈从 0 点位置开始顺时针依次是 YRYGRYGRGGGG，中圈是RGRGGRRY，内圈是 GGGR。
   那么轮换一次之后，外圈、中圈、内圈依次变为：RRYGRYGRGGGG、GGRGGRRY 和 YGGR。

小明的目标是把所有绿色移动到外圈、所有红色移动中圈、所有黄色移动到内圈。给定初始状态，请你判断小明是否可以达成目标？

输入格式
第一行包含一个整数 T，代表询问的组数。(1 ≤ T ≤ 100)。
每组询问包含 3 行：
第一行包含 12 个大写字母，代表外圈从 0 点位置开始顺时针每个塑料棒的颜色。
第二行包含 8 个大写字母，代表中圈从 0 点位置开始顺时针每个塑料棒的颜色。
第三行包含 4 个大写字母，代表内圈从 0 点位置开始顺时针每个塑料棒的颜色。

输出格式
对于每组询问，输出一行 YES 或者 NO，代表小明是否可以达成目标。

样例输入
2
GYGGGGGGGGGG
RGRRRRRR
YRYY
YGGGRRRRGGGY
YGGGRRRR
YGGG

样例输出
YES
NO

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试题 I: 第八大奇迹

问题描述
在一条 R 河流域，繁衍着一个古老的名族 Z，他们世代沿河而居，也在河边发展出了璀璨的文明。

Z 族在 R 河沿岸修建了很多建筑，最近，他们热衷攀比起来，他们总是在比谁的建筑建得最奇特。

幸好 Z 族人对奇特的理解都差不多，他们很快给每栋建筑都打了分，这样评选谁最奇特就轻而易举了。

于是，根据分值，大家很快评出了最奇特的建筑，称为大奇迹。

后来他们又陆续评选了第二奇特、第二奇特、……、第七奇特的建筑，依次称为第二大奇迹、第三大奇迹、……、第七大奇迹。

最近，他们开始评选第八奇特的建筑，准备命名为第八大奇迹，在评选中，他们遇到了一些问题。

首先，Z 族一直在发展，有的建筑被拆除又建了新的建筑，新建筑的奇特值和原建筑不一样，这使得评选不那么容易了。

其次，Z 族的每个人所生活的范围可能不一样，他们见过的建筑并不是所有的建筑，他们坚持他们自己所看到的第八奇特的建筑就是第八大奇迹。

Z 族首领最近很头疼这个问题，他害怕因为意见不一致导致 Z 族发生分歧。他找到你，他想先了解一下，民众自己认为的奇迹是怎样的。

现在告诉在 R 河周边的建筑的变化情况，以及在变化过程中一些人的生活范围，请编程求出每个人认为的第八大奇迹的奇特值是多少。

输入格式
输入的第一行包含两个整数 L, N，分别表示河流的长度和要你处理的信息的数量。开始时河流沿岸没有建筑，或者说所有的奇特值为 0。
接下来 N 行，每行一条你要处理的信息。
如果信息为 C p x，表示流域中第 p 个位置 (1 ≤ p ≤ L) 建立了一个建筑，其奇特值为 x。如果这个位置原来有建筑，原来的建筑会被拆除。
如果信息为 Q a b，表示有个人生活的范围是河流的第 a 到 b 个位置（包含 a 和 b，a ≤ b），这时你要算出这个区间的第八大奇迹的奇特值，并输出。如果找不到第八大奇迹，输出 0。

输出格式
对于每个为 Q 的信息，你需要输出一个整数，表示区间中第八大奇迹的奇特值。

样例输入
10 15
C 1 10
C 2 20
C 3 30
C 4 40
C 5 50
C 6 60
C 7 70
C 8 80
C 9 90
C 10 100
Q 1 2
Q 1 10
Q 1 8
C 10 1
Q 1 10

样例输出
0
30
10
20

数据范围
对于 20% 的评测用例，1 ≤ L ≤ 1000, 1 ≤ N ≤ 1000。
对于 40% 的评测用例，1 ≤ L ≤ 10000, 1 ≤ N ≤ 10000。
对于 100% 的评测用例，1 ≤ L ≤ 100000，1 ≤ N ≤ 100000。
所有奇特值为不超过 10⁹ 的非负整数。

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试题 J: 燃烧权杖

问题描述
小 C 最近迷上了一款游戏。现在，在游戏中，小 C 有一个英雄，生命值为 x；敌人也有一个英雄，生命值为 y。

除此以外，还有 k 个士兵，生命值分别为a₁ 、a₂ 、……、a_k，现在小 C 打算使用一个叫做“燃烧权杖”的技能。

“燃烧权杖”会每次等概率随机选择一个活着的角色（英雄或士兵），扣减其 10 点生命值，

然后如果该角色的生命值小于或等于 0，则该角色死亡，不会再被“燃烧权杖”选中。

“燃烧权杖”会重复做上述操作，直至任意一名英雄死亡。

小 C 想知道使用“燃烧权杖”后敌方英雄死亡（即，小 C 的英雄存活）的概率。

为了避免精度误差，你只需要输出答案模一个质数 p 的结果，具体见输出格式。

输入格式
输入包含多组数据。
输入第一行包含一个正整数 T，表示数据组数。
接下来 T 组，每组数据第一行包含四个非负整数 x, y, p, k，分别表示小C的英雄的生命值、敌方英雄的生命值，模数和士兵个数。
第二行包含 k 个正整数 a₁ 、a₂ 、……、a_k ，分别表示每个士兵的生命值。

输出格式
对于每组数据，输出一行一个非负整数，表示答案模质数 p 的余数。可以证明，答案一定为有理数。
设答案为 a / b（a 和 b 为互质的正整数），你输出的数为 x，则你需要保证 a 与 bx 模 p 同余；
也即，x = (a·b⁻¹ ) mod p，其中 b⁻¹ 表示 b 模 p 的逆元， mod 为取模运算。

样例输入
6
1 10 101 0
100 1 101 0
50 30 4903 2
1 1
987 654 233 1
321
1000000000 999999999 233 3
1 2 3
1000000000 999999999 3 3
1 2 3

样例输出
51
37
1035
118
117
2

样例说明
对于第一组数据，所求概率即为“燃烧权杖”第一次就扣减敌方英雄 10 点生命值的概率，即 1/2。2 × 51 模 101 余 1。
对于第二组数据，答案为 1023/1024，1024 × 37 与 1023 模 101 同余。
对于第三组数据，答案为 99/128。

数据范围
对于 10% 的评测用例，x, y, a₁ ,··· , a_k ≤ 10。
对于 20% 的评测用例，x, y, a₁,··· , a_k ≤ 100。
对于 50% 的评测用例，x, y, a₁ ,··· , a_k ≤ 1000。
另有 10% 的评测用例，p = 3。
另有 20% 的评测用例，p ≤ 100。
对于全部评测用例，1 ≤ x, y, a₁ ,··· , a_k ≤ 10⁹ ，3 ≤ p ≤ 10000 且 p 为质数，0 ≤ k ≤ 10。

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