高中数学-立体几何

1. 证明线面平行

1.1 判断方法

1. 利用定义: 证明直线与平面无公共点
2. 利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行
3. 利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面

线面平行通常采用构造平行四边形来求证

定理	公式	说明	图示
线面平行的判定定理	$\begin{array}{r}a\not\subset \alpha \\ b\subset \alpha \\ a//b\end{array}\}\Rightarrow a//\alpha$	平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
线面平行的性质定理	$\begin{array}{r}a//\alpha \\ a\subset \beta \\ \alpha \cap \beta =b\end{array}\}\Rightarrow a//b$	平面内一条直线与平面的一个相交平面平行, 则该直线与两平面的交线平行

1.2 线面平行的判定定理的证明

定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
已知：$a//b,a\not\subset \alpha ,b\subset \alpha ，$求证：$a//\alpha$

1.2.1 反证法

假设a与α不平行，则它们相交，设交点为A，那么A∈α
∵a∥b，∴A不在b上
在α内过A作c∥b，则a∩c=A
又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，与a∩c=A矛盾。
∴假设不成立，a∥α

1.2.2 向量法

设a的方向向量为a，b的方向向量为b，面α的法向量为p。∵b⊂α
∴b⊥p，即p·b=0
∵a∥b，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb
那么p·a=p·kb=kp·b=0
即a⊥p
∴a∥α

1.3 例题

1. 下列条件能得出直线$m$与平面$\alpha$平行的是( )
   A. 直线$m$与平面$\alpha$内所有直线平行
   B. 直线$m$与平面$\alpha$内无数条直线平行
   C. 直线$m$与平面$\alpha$没有公共点
   D. 直线$m$与平面$\alpha$内的一条直线平行

答案: C
选项A: 本身说法错误, 直线不可能与平面内所有直线平行
选项B: 直线$m$含于平面$\alpha$时无法证明直线$m$与平面$\alpha$平行
选项C: 符合直线与平面平行的定义
选项D: 同选项B

2. 已知$\alpha ,\beta$表示平面, $a,b$表示直线, 则下列条件能得出$a//\alpha$的是( )
   A. $a\perp \beta ,\alpha \perp \beta$       B. $\alpha \cap \beta ,a//b$
   A. $a//b,b//\alpha$       B. $\alpha //\beta ,a\subset \beta$

答案: D
选项A, B, C 都存在 $a\subset \alpha$的情况, 故不正确
选项D: 由于两个平面平行所以两个平面无交集, 故$a$与平面$\alpha$不可能有交点, 故$a//\alpha$

2. 利用空间向量求线面角

1. 线面夹角的定义: 斜线与它在平面上的射影所成的角为线面夹角, 必是锐角或直角.
2. 取值范围: [0°, 90°]

3. 二面角的取值范围

1. 取值范围: [0°, 180°)
2. 两个平面平行时, 定义为0°而不是180°
3. 规定二面角在0°和180°之间