求最大公约数----欧几里得算法

1.欧几里得算法

可求两个正整数的最大公约数。
计算公式为gcd(a, b) = gcd(b, a % b）。
证明该算法就是证明gcd(a, b) = gcd(b, a % b），

证明过程如下：

1.设有两个正整数a，b。 有a=kb+r.（a>b）。
2.设d为a和b的任意一个公约数，记为d|a,d|b(就是d可以整除a，d可以整除b)。
3.有r=a-kb.所以r也可以被d整除，d|r。
4.所以(a,b)和(b,a%b)的公约数是一样的，即gcd(a, b) = gcd(b, a % b);所以(b,a%b)的最大公约数就是(a,b)的最大公约数。

2.java实现欧几里得算法（递归）

//欧几里得算法实现
        public  static int gcd(int a,int b) {
            if(b==0)
                return a;
            int temp;
            temp = a%b;
            a =b;
            b=temp;
            return gcd(a,b);
        }
}

3.java实现求两个正整数最大公约数

import java.util.Scanner;

//greatest common divisor最大公约数，欧几里得算法实现。
public class Gcd {
        public static void main(String[] args) {
            int a=0,b=0;
            System.out.println("请输入两个正整数来求其最大公约数");
            Scanner scanner = new Scanner(System.in);
            a = scanner.nextInt();
            b = scanner.nextInt();
            if(a<=0 || b<=0) {
                System.out.println("输入错误！");
            }else {
                System.out.println("最大公约数为："+gcd(a,b));
            }
        }
        
        //欧几里得算法实现（递归）
        public  static int gcd(int a,int b) {
            if(b==0)
                return a;
            int temp;
            temp = a%b;
            a =b;
            b=temp;
            return gcd(a,b);
        }
}