解析几何考研题

北京大学

2009

9.请问直线

的系数满足什么条件时采具有以下性质？
(1)经过原点
(2)与轴平行但不重合
(3)和轴相交
(4)与轴垂直(不必相交)
10.设平面与双曲抛物面的交线为两条直线，证明：
11.设空间直角坐标系中的曲面方程为，取一个过轴的平面并考虑全体与之平行的平面族。问：这些平行平面与的截线是什么类型的曲线？当它们与的距离变动时，截线的形状如何变化？请给出清楚的描述并说明判断理由。
12.给出空间中半径为1的球面和到球心距离为2的一点，考虑过点且与相交的任一条直线，取两个交点的中点，用解析几何的方法证明这些中点的轨迹在一个球面上，并求出球心和半径。

2010

9.求过轴且与平面夹角为的平面的方程。
10.求直线绕轴旋转所成旋转曲面的方程，并指出这是什么曲面。
11.定义仿射坐标系中的一个变换(1)求在下的不变直线
(2)以两条不变直线为坐标轴建立仿射坐标系，求在此坐标系中的变换公式。
12.用不过圆锥顶点的平面切割圆锥，证明所截的曲线只可能为椭圆，双曲线和抛物线。并说明曲线类型随切割角度的变换规律。

2011

5.空间中从同一点出发的四个向量共面的充要条件是其中表示混合积
6.到两异面直线的距离相等的点的集合是什么图形？
7.证明：
(1)平行的平面束割锥球得到的割线也是椭圆，并且这些平行的椭圆有共同的中心点。
(2)固定点到椭球的切线，其切点的集合是一个平面。
(3)设是椭球面外2个点，在上，过和分别作椭球面的切线，则切点所在的2个平面平行；并且这2个平面截椭球得的椭圆的中心与共线。

2013

8.是圆心在轴正方向过原点的圆上一动点，是轴上的动点，且，为定值。求直线确定的曲面方程。
9.根据二次曲面方程参数讨论曲面类型。
10.给定了一个锥面，还有一个带两个参数的直线，讨论截口形状，并画图。

2014

7.求单叶双曲面垂直的直母线交点的轨迹。
8.保距变换可以看做绕不动直线旋转一个角度而得到。
(1)求不动直线的方向向量。
(2)求旋转角
9.点在直线上的投影为求的坐标以及两点间的距离。

2016

8.平面上一个可逆仿射变换将一个圆映为椭圆或圆。详细论证这一点。
9.平面与双曲抛物面交于两条直线。证明
10.正十二面体有12个面，每个面为正五边形，每个顶点连接3条棱。求它的内切球与外接球半径比。

2017

7.共面的充要条件为共面。
8.空间中四点使得设决定的平面为，决定的平面为，求二面角。求出二面角的余弦值即可。
9.为单叶双曲面，为给定非零向量，则空间中所有与垂直的平面与交线的对称中心在一条直线上。

2018

8.取定一个平面坐标系。方程
表示一条抛物线。
(1)求a
(2)求抛物线的顶点
9.记是与下面三条直线都相交的直线的并集：给出的一个一般表达式，其中是一个三元多项式。
10.证明几何空间中任一个旋转变换，只要转轴通过原点，就一定写成的形式，其中分别表示绕轴的旋转变换。

中国科学技术大学

2010

1.二次曲线的类型是______，通过转轴去掉其交叉项的转角角度是______(只需填写一个角度即可)
2.以曲线为准线，原点为顶点的锥面方程为______。
3.以平面上的曲线绕轴旋转所得的旋转面的方程是______。如果曲线方程是由此得到的曲面类型是______。
三、设空间上有直线和设平面与直线平行，且与的距离是求的方程。

2011

1.两个平面和的夹角等于______。
2.点(0,2,1)到平面的距离等于______。
3.二次曲面的曲面类型是______。
11.设点求的外接圆的方程。

2012

1.在中，直线与平面的夹角的余弦值等于______。
2.在中，方程所表示的二次曲面类型为______。
3.在中，设三点的坐标分别为则的面积等于______。
9.求中直线与的公垂线方程。

2013

1.两直线与的夹角为______，距离为______。
2.当实数满足______时，曲面是椭圆抛物面。
7.求轴绕直线旋转所得旋转曲面的一般方程。

2014

1.原点到直线的距离为_____。
2.设点与原点关于平面对称，则的方程为______。
3.椭圆的离心率为______。

2015

1.点关于直线的对称点为______。
2.设直线过点，并且与直线以及直线均有交点。则与的交点为______，与的交点为______。

2016

1.经过直线且与平面垂直的平面方程是______。
2.给定空间直角坐标系中点和则四面体体积为______，点到平面的距离为