AcWing 883. 高斯消元解线性方程组(高斯消元模板)

先出裸的模板:

#include

using namespace std;
const int N = 110;
typedef double db;
db a[N][N];
const db eps = 1e-8;
int n;

int gauss()
{
        int c,r;
        for(c=0,r=0;cfabs(a[r][c])) t = i;/************/
                if(fabs(a[t][c])=c;--i) a[r][i]/=a[r][c];
                for(int i=r+1;ieps)
                        {
                                for(int j=n;j>=c;--j)
                                {
                                        a[i][j]-=a[r][j]*a[i][c];/******************/
                                }
                        }
                }

                ++r;
        }
        if(reps) return 1;/*****************/
                return 2;
        }
		/********************/
        for(int i=n-1;i>=0;--i)
        {
                for(int j=i+1;j>n;
        for(int i=0;i>a[i][j];
                }
        }

        int t = gauss();
        if(t==2)
        {
                cout<<"Infinite group solutions"<

输入一个包含 n 个方程 n 个未知数的线性方程组。

方程组中的系数为实数。

求解这个方程组。

下图为一个包含 m 个方程 n 个未知数的线性方程组示例:

AcWing 883. 高斯消元解线性方程组(高斯消元模板)_第1张图片
输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行,每行包含 n+1 个实数,表示一个方程的 n 个系数以及等号右侧的常数。

输出格式
如果给定线性方程组存在唯一解,则输出共 n 行,其中第 i 行输出第 i 个未知数的解,结果保留两位小数。

如果给定线性方程组存在无数解,则输出 Infinite group solutions。

如果给定线性方程组无解,则输出 No solution。

数据范围
1≤n≤100,
所有输入系数以及常数均保留两位小数,绝对值均不超过 100。

输入样例:
3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00

输出样例:
1.00
-2.00
3.00

初等行列变化:

1.某一行乘上一个非零数,矩阵不变
2.某一行乘上一个常数加到另一行上,矩阵不变
3.交换矩阵中某两行的元素,矩阵不变

思路:利用初等行列变化初等行列变化将矩阵变换成上三角形矩阵,再由后往前推出解

上三角形矩阵带来的结果有三种:无解,有唯一解,无穷多解

无解:若在最后化成的上三角形矩阵中,正对角线中某个元素为0,但其所在行的最后一列元素不为0时,此时矩阵无解

有无数解:若在最后化成的上三角形矩阵中,存在正对角线中某个元素为0,且其所在行的最后一列元素也为0时,此时矩阵有无穷组解

有唯一解:若在最后化成的上三角形矩阵中,不存在正对角线中某个元素为0,此时矩阵有唯一解

算法步骤

1.枚举每一列c,找到当前列绝对值最大的一行

2.用初等行变换(2) 把绝对值最大的这一行换到最上面(注意:“最上面”指的是未确定阶梯型的行,而不是第一行)

3.用初等行变换(1) 将该行的第一个数变成 1 (其余所有的数字依次跟着变化)

4.用初等行变换(3) 将下面所有行的当前列的值变成 0

对于行的元素改变操作,总是按列倒序遍历
#include

using namespace std;
typedef double db;
const int N = 110;
/*  C++浮点数存在误差,不能直接判断0,要判断是否小于一个很小的数,
    如果小于这个很小的数,就认为是0,如小于1e-6*/
const db eps = 1e-8;

int n;
db a[N][N];

int gauss()// 高斯消元,答案存于a[i][n]中,0 <= i < n
{
        int c,r;
        for(c = 0,r = 0;c < n; ++c)//上界是小于n,因为是枚举系数矩阵的列
        {
                int t = r;
                // ① 找到当前这一列中绝对值最大的一行
                for(int i = r; i < n; ++i)
                {
                        if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c])) t = i;
                }
                // 如果这一列中最大值已经是0了,直接continue进入下一列
                if(fabs(a[t][c])= c; --i) a[r][i]/=a[r][c];// 将当前行的首位变成1

                for(int i = r+1; i < n; ++i)// 用当前行将下面所有的列消成0
                {
                        if(fabs(a[i][c])>eps)//剪枝
                        {
                                for(int j = n; j >= c; --j)
                                {
                                // a[r][j]当前这行的第j列元素,a[i][c]是下面行的最前面的元素
                                //目的是把第r+1行~n行的第c列元素都消除为0
                                        a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];//联想学线代怎么做的就行
                                }
                        }
                }

                ++r;
        }

        if(reps) return 2;// 无解
                // 否则说明有无穷多解
                return 1;// 有无穷多组解
        }
        
        // 回溯计算每个值xi
        for(int i = n-1; i >= 0; --i)
                for(int j = i+1; j < n; ++j)
                        a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
//a[j][n]即代表之前循环已经求出来的未知数xj,a[i][j]代表当前枚举到的第i行中xj的系数,简单解个方程就行
        return 0;// 有唯一解
}

int main()
{
        cin>>n;
        // 存储线性方程组的增广矩阵
        for(int i=0;i>a[i][j];
                }
        }

        int t = gauss();// 执行高斯消元

        if(t==2) cout<<"No solution"<

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