组合数学、容斥原理

@@基础概念：容斥原理又称排容原理，在组合数学里，其说明若 A1...An 为有限的集合，则如下图，其中 |A| 表示 A 的基数（一个集合元素的个数）。例如在两个集合的情况时，我们可以将 |A| 和 |B| 相加，再减去其交集的基数，而得到其并集的基数。摘自维基百科

容斥原理通式

@@经典应用之二项式反演
不在此赘述，献上学习博客一篇
：求有多少个长度为n的排列a1,a2,...,an，满足对于所有的1 <= i <= n，使得ai != i。
：我们称位置i是不变的当且仅当ai = i。首先我们知道，如果不考虑ai != i这个条件，问题是很简单的，长度为 n 的排列一共有 n!。并且这些排列是有恰好有k(k=0,1,2,⋯,n)个位置是不变的排列组成，也就是，如果我们设fi为恰好有i个位置是不变的排列的个数，那么可以得到

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那么，使用二项式反演可以得到

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例题-HDU1465

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：有 n 个球排成一行，你有 k 种颜色，要求给每一个球染色，相邻两个球颜色不可以相同，并且每种颜色至少使用一次。
:和错排列问题相同，假设没有限制每种颜色至少使用一次，那么问题就很简单，答案就是k(k-1)^n-1。这些方案是由恰好使用了 i(i=0,1,2,⋯,k) 种颜色的方案组成的，那么设 fi 为恰好使用了 i 种颜色的方案数，可以得到

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经过反演得到

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例题-codeforces/gym/100548/F-color

思考：其实不仅仅是二项式反演，很多问题中最经常用到的方法就是把条件放宽，求出一个好计算的问题，之后加上这个条件得到方程，利用反演公式算出答案，思想很类似的一题是bzoj-3456城市规划。

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@@经典应用之斯特林数
:第一类Stirling数是分正负的，其绝对值是n个元素的项目分作k个环排列。常用的表示方法有s(n,k)等。
换一个比较生活化的说法，就是有n个人分为k组，每组内再按照特定的顺序围圈的分组方法的数目。例如s(4,2) = 11:
{A,B},{C,D}
{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
{A},{B,C,D}
{A},{B,D,C}
{B},{A,C,D}
{B},{A,D,C}
{C},{A,B,D}
{C},{A,D,B}
{D},{A,B,C}
{D},{A,C,B}
给定S(n,0)=1, S(1,1)=1，有S(n,k) = S(n-1,k-1) + (n-1)S(n-1,k)
递推关系的说明：考虑第n个物品，n可以单独构成一个非空循环排列，这样前n-1种物品构成k-1个非空循环排列，有 S(n-1,k-1)中方法；也可以前n-1种物品构成k个非空循环排列，而第n个物品插入第i个物品的左边，这有(n-1)S(n-1,k)种方法。

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:第二类Stirling数是n个元素的集合定义k个等价类的方法数目，常用的表示方法有S(n,k)等。
换个比较生活化分说法，就是n个人分为k组的分组方法的数目，例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分为1组，只能所有人在同一组，因此S(4,1)=1，若所有人分为4组，只能每人在独立的一组，因此S(4,4)=1，若分为2组，若分成2组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即是：
{A,B},{C,D}
{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
{A},{B,C,D}
{B},{A,C,D}
{C},{A,B,D}
{D},{A,B,C}
因此S(4,2)=7。
给定S(n,n)=S(n,1)=1，有S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k)。
递推关系的说明：考虑第n个物品，n可以单独构成一个非空集合，这样前n-1种物品构成k-1个非空不可辨别的集合，有 S(n-1,k-1)中方法；也可以前n-1种物品构成k个非空不可辨别的集合，而第n个物品放入任意一个当中，这有kS(n-1,k)种方法。

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例题-51nod-1829函数