SLAM中的坐标系旋转变换以及旋转矩阵的左乘和右乘问题

对于一个变换矩阵 $T$，具体的定义因人而异，例如一个变换 $T_{wc}$，代表了从相机坐标系到世界坐标系的变换，但是其基准（base）坐标系有时候定义为 $w$，也可以定义为 $c$，基准坐标系的不同，直接导致变换相反。

例如对于下图中的三个简单的坐标系，分别为相机坐标系 $c1，c2$，世界坐标系 $w$，其中点 $P$ 在坐标系 $c1$ 下。接下来定义变换矩阵，为了简化计算，其中三个坐标系没有旋转，只需要考虑平移。

1. 对于变换矩阵 $T_{cw}$，理解为world到camera的变换，如果以 camera 为基准坐标系，所以如果想将点 $P$ 旋转到 $c2$ 坐标系下，那么变换矩阵的定义：
   $$T_{c_{1}w}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]T_{c_{2}w}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]T_{c_2{c}_1}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
   那么将一个点从 $c_1$ 坐标系转换到 $c_2$ 坐标系，需要先转换到世界坐标系。那么如下：
   $${}^{c_2}P=T_{c_{2}w}{T}_{w{c}_1}{}^{c_1}P=T_{c_{2}w}{T}_{c_{1}w}^{-1}{}^{c_1}P=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$$$=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

2. 那么对于变换矩阵 $T_{cw}$，理解为world到camera的变换，如果以 world 为基准坐标系，所以如果想将点 $P$ 旋转到 $c2$ 坐标系下，那么变换矩阵的定义：
   $$T_{c_{1}w}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]T_{c_{2}w}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]T_{c_2{c}_1}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
   对于点P，假设其姿态与c1坐标系一致，则
   $$T_{p{c}_1}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
   那么可以得到，从c2到P的变换，等于从c2到c1的变换乘c1到P的变换：
   $$T_{p{c}_2}=T_{c_1{c}_2}{T}_{p{c}_1}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$所以在c2坐标系下，P点的坐标为$(0,1,0)$

对于上面两种定义方式，都可以求得正确的结果，但是定义不同，计算方式就不同。

旋转的左乘与右乘未完待更…