线性规划（非整数型）

线性规划模型建立与案例（非整数型）

线性规划概述

在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支——数学规划，而线性规划则（Linear Programming 简记LP）是数学规划的一个重要分支。

线性规划相关概念和特点

例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4千元与3千元。生产甲机床需要A、B机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各1小时。若每天课用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？
模型建立：设该机床厂生产$x_1$台甲机床和$x_2$台乙机床时，总利润$z$最大，则$x_1,x_2$应该满足
$$\begin{gathered} \max z=x_1+x_2 \\ \text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$
$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{r}2x_1+x_2\le 10\\ x_1+x_2\le 8\\ x_2\le 7\\ x_1,x_2\ge 0\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

变量$x_1,x_2$称之为决策变量，$(1)$式被称为目标函数，$(2)$式中的几个不等式是问题的约束条件，记为$\text{s.t.}$(即subject to)

线性的含义

线性是指目标函数和约束条件均是线性函数，这类问题被称为线性规划问题。或者说线性规划问题是指在一组线性约束的条件下，求一线性目标函数的最大值或最小值的问题。

数学标准型

$$\max z=\sum _{\text{j}=1}^{\text{n}}{c}_{\text{j}}{x}_{\text{j}}$$
$$s.t.\{\begin{array}{ll}\sum _{\mathrm{j}=1}^{\text{n}}{a}_{\text{ij}}{x}_{\text{j}}=b_{\text{i}}& \text{i}=1,2,\cdots ,\text{m}\\ x_{\text{j}}\ge 0& \text{j}=1,2,\cdots ,\text{n}\end{array}$$

关于数学标准型的一些理解：在数学标准式中没有不等式约束，编者认为这是因为可以通过引入松弛变量$x$(非决策变量)使不等式约束变为等式约束，如$(3)$式是一个没有引入松弛变量的不等式约束，$(4)$式是引入松弛变量$x_3$后的约束条件，两者是完全等价的。还有一点就是决策变量$x_{\text{j}}$的下界都是0且都没有上界，编者认为这并不具备普遍性，有其他解释的读者可以在评论区告诉编者:happy:。
$$x_1+3x_2\le 0\text{\hspace{1em}(3)}$$

$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{r}{x}_1+3x_2+x_3=0\\ x_3\ge 0\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

可行解、可行域和最优解

满足约束条件的$x=[x_1,x_2,\cdots ,x_n{]}^T$的解称为线性规划问题的可行解，所有可行解构成的集合称为可行域，记为R。而使目标函数达到最大值或最小值的可行解叫做最优解。

使用MATLAB求解模型

线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号，也可以是大于号。为了避免这种形式带来的不变，MATLAB中规定线性规划求解的标准型。

MATLAB标准型

$$\underset{x}{\min }{\text{c}}^{\text{T}}x$$

$$\text{s.t.}\{\begin{array}{l}\begin{array}{r}\text{A}x\le \text{b}\\ \text{Aeq}\cdot x=\text{beq}\\ \text{lb}\le x\le \text{ub}\end{array}\end{array}$$

求解线性规划的命令

[x,fval]=linprog(c,A,B)
[X,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq)
[X,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

其中x返回的是决策变量的取值，fval返回的是目标函数的最优值，c为价值向量，也是线性目标函数中各决策变量的系数，A，b对应的是线性不等式约束，Aeq，beq对应的是线性不等式约束，lb和ub分别对应的是决策向量的上界向量和下界向量。参数按照对应顺序输入，一些约束条件不存在，则只需在对应位置输入空矩阵[]即可。如不存在等式约束且其他类型约束都有，则只需在Aeq和beq对应位置替换为空矩阵[]即可,如下所示：

[X,fval]=linprog(c,A,b,[],[],lb,ub)

注意事项

MATLAB标准型是求目标函数的最小值，若是实际问题为求目标函数的最大值，则只需对目标函数加一个负号，即令$y=-z$就可以将最大值转变为最小值，当然转换的方式多种多样，也不一定必须是添加负号。此外，不等式约束$\text{A}x\le \text{b}$是小于等于。在使用MATLAB求解一般线性规划时一定要先进行转换。

例2 求解下列线性规划问题
$$\max z=2x_1+3x_2-5x_3$$

$$\text{s.t.}\{\begin{array}{l}\begin{array}{r}{x}_1+x_2+x_3=7\\ 2x_1-5x_2+x_3\ge 10\\ x_1+3x_2+x_3\le 12\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array}\end{array}$$

求解MATLAB程序如下：

c=[-2;-3;5];
A=[-2,5,-1;1,3,1];
b=[-10;12];
Aeq=[1,1,1];
beq=7;
lb=zeros(3,1);
[X,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb)
x,z=-fval

在使用MATLAB求解时，我们需要先将所给约束条件转换为MATLAB求解的标准型。
$$\min y=-z=-2x_1-3x_2+5x_3$$

$$\text{s.t.}\{\begin{array}{l}\begin{array}{r}{x}_1+x_2+x_3=7\\ -2x_1+5x_2-x_3\le -10\\ x_1+3x_2+x_3\le 12\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array}\end{array}$$

可以转换为线性规划的问题

例3 规划问题为：
$$\min |x_1|+|x_2|+\cdots +|x_n|$$
$$\text{s.t.}\text{A}x\le \text{b}$$

其中$x=[x_1,x_2,\cdots ,x_n{]}^{\text{T}}$,$A$和$\text{b}$为相应维数的矩阵和向量。

要把上面的问题变换成线性规划问题，只需注意到事实：$\forall x，\exists u，v>0$,满足$x=u-v,|x|=u+v$,由此可以根据解得$u=\frac{x+|x|}{2},v=\frac{|x|-x}{2}$.
然后记$u=[u_1,u_2,\cdots ,u_n{]}^{\text{T}},v=[v_1,v_2,\cdots ,v_n{]}^{\text{T}}$,从而我们就可以把上面的问题变为下式：
$$\min \sum _{\text{i}=1}^n(u_i+v_i)$$

$$\text{s.t.}\{\begin{array}{l}\begin{array}{r}\text{A}(u-v)\le \text{b}\\ u,v\ge 0\end{array}\end{array}$$

建模实战

问题描述

市场上有$\text{n}$种资产${\text{s}}_{\text{i}}(\text{i}=1,2,\cdots ,n)$可以选择，现用数额为$\text{M}$的相当大的资金作为一个时期的投资。这$\text{n}$种资产在这一时期内购买${\text{s}}_{\text{i}}$的平均收益率为${\text{r}}_{\text{i}}$，风险损失率为${\text{q}}_{\text{i}}$，投资越分散，总的风险越少，总体风险可用投资的${\text{s}}_{\text{i}}$中最大的一个风险来度量。

购买${\text{s}}_{\text{i}}$是要付交易费，费率为${\text{p}}_{\text{i}}$，当购买额不超过给定值${\text{u}}_{\text{i}}$元时，交易费按购买${\text{u}}_{\text{i}}$计算。另外，假定同期银行存款利率是${\text{r}}_0$，既无交易费又无风险（${\text{r}}_0=5\%$）

已知$\text{n}=4$时相关数据如下表：

投资相关数据

${\text{s}}_{\text{i}}$	${\text{r}}_{\text{i}}\%$	${\text{q}}_{\text{i}}\%$	${\text{p}}_{\text{i}}\%$	${\text{u}}_{\text{i}}$
${\text{s}}_1$	28	2.5	1	103
${\text{s}}_2$	21	1.5	2	198
${\text{s}}_3$	23	5.5	4.5	52
${\text{s}}_4$	25	2.6	6.5	40

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定资金$\text{M}$，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。

符号规定

1. ${\text{s}}_{\text{i}}$表示第$\text{i}$种投资项目，如股票，债券等，$\text{i}=0,1,\cdots ,n$，其中${\text{s}}_0$指存入银行；

2. ${\text{r}}_{\text{i}}$，${\text{p}}_{\text{i}}$，${\text{q}}_{\text{i}}$分别表示${\text{s}}_{\text{i}}$的平均收益率，交易费率，风险损失率，$\text{i}=0,1,\cdots ,n$,其中${\text{p}}_0=0$，${\text{q}}_0=0$；

3. ${\text{u}}_{\text{i}}$¹表示${\text{s}}_{\text{i}}$的交易定额，$\text{i}=0,1,\cdots ,n$；

4. $x_{\text{i}}$表示投资项目${\text{s}}_{\text{i}}$的资金，$\text{i}=0,1,\cdots ,n$；

5. $a$表示投资风险度；

6. $\text{Q}$表示总体收益；

基本假设

• 投资数额$\text{M}$相当大，为了便于计算，假设$\text{M}=1$²;
• 总体风险用投资项目${\text{s}}_{\text{i}}$中最大的一个风险来度量；
• 投资越分散，总的风险越小³；
• 各种自然${\text{s}}_{\text{i}}$的投资是相互独立的；
• 在投资的这一时期内，${\text{r}}_{\text{i}}$，${\text{p}}_{\text{i}}$，${\text{q}}_{\text{i}}$为定值，不受意外因素的影响；
• 净收益和总体风险只受${\text{r}}_{\text{i}}$，${\text{p}}_{\text{i}}$，${\text{q}}_{\text{i}}$影响，不受其他因素干扰。

模型建立与分析

模型分析

• 总体风险用所投资的${\text{s}}_{\text{i}}$中最大的一个风险来衡量，即$风险=\max \{{\text{q}}_{\text{i}}{x}_{\text{i}}|\text{i}=1,2,\cdots ,n\}$;
• 购买${\text{s}}_{\text{i}}$所付交易费是一个分段函数，即：

$$交易费=\{\begin{array}{ll}{\text{p}}_{\text{i}}{x}_{\text{i}},& x_{\text{i}}>{\text{u}}_{\text{i}}\\ {\text{p}}_{\text{i}}{\text{u}}_{\text{i}},& x_{\text{i}}\le {\text{u}}_{\text{i}}\end{array}$$

• 购买的投资净收益可以简化为$({\text{r}}_{\text{i}}-{\text{p}}_{\text{i}})x_{\text{i}}$⁴。
• 要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型。

$$目标函数\{\begin{array}{l}\begin{array}{r}\max \sum _{\text{i}=0}^{\text{n}}({\text{r}}_{\text{i}}-{\text{p}}_{\text{i}})x_{\text{i}}\\ \min \max \{{\text{q}}_{\text{i}}{x}_{\text{i}}|\text{i}=1,2,\cdots ,n\}\end{array}\end{array}$$

$$\text{s.t.}\{\begin{array}{l}\begin{array}{r}\sum _{\text{i}=0}^{\text{n}}(1+{\text{p}}_{\text{i}})x_{\text{i}}=\text{M}\\ x_{\text{i}}\ge 0,i=0,1,\cdots ,n\end{array}\end{array}$$

• 在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限$a$，使最大的一个风险$\frac{{\text{q}}_{\text{i}}{x}_{\text{i}}}{\text{M}}\le a$，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。

模型建立

模型一 固定风险水平，优化收益

$$\max \sum _{\text{i}=0}^{\text{n}}({\text{r}}_{\text{i}}-{\text{p}}_{\text{i}})x_{\text{i}}$$

$$\text{s.t.}\{\begin{array}{ll}\frac{{\text{q}}_{\text{i}}{x}_{\text{i}}}{\text{M}}\le a,& \text{i}=1,2,\cdots ,n\\ \sum _{\text{i}=0}^{\text{n}}(1+{\text{p}}_{\text{i}})x_{\text{i}}=\text{M}& \\ x_{\text{i}}\ge 0,& \text{i}=1,2,\cdots ,n\end{array}$$

模型二 固定盈利水平，使风险最小化

$$\min \max \{{\text{q}}_{\text{i}}{x}_{\text{i}}|\text{i}=1,2,\cdots ,n\}$$

$$\text{s.t.}\{\begin{array}{ll}\sum _{\text{i}=0}^{\text{n}}({\text{r}}_{\text{i}}-{\text{p}}_{\text{i}})x_{\text{i}}\ge \text{k}& \\ \sum _{\text{i}=0}^{\text{n}}(1+{\text{p}}_{\text{i}})x_{\text{i}}=\text{M}& \\ x_{\text{i}}\ge 0,& \text{i}=1,2,\cdots ,n\end{array}$$

模型三 均衡考虑风险和收益

投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。因此对风险、收益分别赋予权重$\text{s}(0<\text{s}\le 1)$和$(1-\text{s})$，$\text{s}$称为投资偏好系数。
$$\min \text{s}\{\max \{{\text{q}}_{\text{i}}{x}_{\text{i}}|\text{i}=1,2,\cdots ,n\}\}-(1-\text{s})\sum _{\text{i}=0}^{\text{n}}({\text{r}}_{\text{i}}-{\text{p}}_{\text{i}})x_{\text{i}}$$

$$\text{s.t.}\{\begin{array}{ll}\sum _{\text{i}=0}^{\text{n}}(1+{\text{p}}_{\text{i}})x_{\text{i}}=\text{M}& \\ x_{\text{i}}\ge 0,& \text{i}=1,2,\cdots ,n\end{array}$$

模型一求解

$$\min f=-0.05x_0-0.27x_1-0.19x_2-0.185x_3-0.185x_4$$

$$\text{s.t.}\{\begin{array}{l}\begin{array}{r}0.025x_1\le a\\ 0.015x_2\le a\\ 0.055x_3\le a\\ 0.026x_4\le a\\ x_0+1.01x_1+1.02x_2+1.045x_3+1.065x_4=1\\ x_1,x_2,x_3,x_4\ge 0\end{array}\end{array}$$

由于$a$是任意给定的风险度，不同的投资者有不同的风险度，显然最优解是与$a$有关的，我们从$a=0$开始，以步长$\Delta a=0.001$进行循环搜索，编程如下：

a=0;hold on
while a<0.05
    c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];
    A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];
    b=a*ones(4,1);
    Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];
    beq=1;
    lb=zeros(5,1);
    [x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb);
    Q=-Q;
    plot(a,Q,'*K');
    a=a+0.001;
end
xlabel('a');
ylabel('Q');

结果分析

风险收益图

• 风险越大，收益也越大
• 当投资分散时，投资者承担的风险越小，投资者承担的风险越小⁵，这与题意一致。冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。
• 在$a=0.006$附近会有一个转折点在这一点左边，风险增加很少时；利润增长很快。在这一点的右边风险增加很大时，利润增长的很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的转折点作为最优投资组合，大概是$a=0.6\%,\text{Q}=20\%$，所对应的投资方案为$风险度a=0.006，收益\text{Q}=0.2019,x_0=0,x_1=0.24,x_2=0.4,x_3=0.1901,x_4=0.2212$。

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1. 交易定额是指如果对该资产的投入${\text{s}}_{\text{i}}\le {\text{u}}_{\text{i}}$，则按照投入${\text{u}}_{\text{i}}$来计算交易费，$即交易费={\text{u}}_{\text{i}}{\text{p}}_{\text{i}}$；若对该资产的投入${\text{s}}_{\text{i}}\ge {\text{u}}_{\text{i}}$，则正常计算交易费即可，$即交易费={\text{s}}_{\text{i}}{\text{p}}_{\text{i}}$。 ↩︎

2. 投资总额进行了归一化处理，则对于每个资产${\text{s}}_{\text{i}}$的投资$x_{\text{i}}$也进行了归一化，就是对该资产的投资占总资产的比例。 ↩︎

3. 因为风险是指所有投资项目中风险的最大值，即$\max \{x_1{\text{p}}_1,x_2{\text{p}}_2,\cdots ,x_{\text{n}}{\text{p}}_{\text{n}}\}$,当投资越分散时，则平均对每个资产的投资$x_{\text{i}}$就越小，所以风险$x_{\text{i}}{\text{p}}_{\text{i}}$就越小。 ↩︎

4. 因为题目所给的定值${\text{u}}_{\text{i}}(单位/元)$相对总资产$\text{M}$很少，而${\text{p}}_{\text{i}}{\text{u}}_{\text{i}}$则更小，所以可以作出这样的简化。 ↩︎

5. 当投资越分散，收益就会降低，所以风险收益点向左下方移动。投资分散与收益的关系我只是一个感性的认识，没有进行定性和定量的研究，有错误还请支教。 ↩︎