浅谈多重积分及其计算

P.S.
大作业系列之五（一二三为手写稿）
数学分析下列比较简单的内容
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1 多重积分的概念与基本性质

1.1 多重积分的定义

对自然数 n(n>1) ,记集合 T

T=[a1,b1)×[a2,b2)×⋯×[an,bn)⊆Rn

将每个区间 [aj,bj) 划分成有限个不重叠的左闭右开的子区间 Ij ,记

C=I1×I2×⋯×In

则所有的 C​ 可以看做是 T​ 的一个划分(分割),即

T=C1∪C2∪⋯∪CmCi∩Cj=∅,i≠j

记 Ci 的直径为 diamCi .划分 C 的细度定义为

||C||=max1≤i≤m{diamCi}

设 f(x1,x2,⋯,xn) 为定义在 T 上的有界函数,对于任意ϵ>0 ,存在 δ>0 ,对于 T 上的任意分割C(||C||<δ) ,在 Ci 中任取一点 (x1i,x2i,⋯,xni) ,令 V(Ci) 表示笛卡尔积为 Ci 的所有区间的边长之积,若

∣∣∣∑i=1mf(x1i,x21,⋯,xni)V(Ci)−J∣∣∣<ϵ

则称函数 f 黎曼可积,且

J=lim||C||→0∑i=1mf(x1i,x2i,⋯,xni)V(Ci)

称为函数 f 在n 维超立方体区域上的 n 重积分.

利用以上定义的n重积分,可以给出一个定义在 n 维空间的有界集的超n维体积.

给出超 n 维体积定以后,也可以给出另一种形式三重积分数学定义.

设f(x1,x2,⋯,xn)为定义在 Rn 上可求超 n 维体积的有界区域D上的有界函数,将其划分成有限个内部互不相交的有超 n 维体积的子区域D1D2,⋯,Dm,记分割细度

λ=max1≤i≤m{diamDi}

∀ϵ>0,∃δ>0,λ<δ 使得 ∀Xi∈Di 都有

∣∣∣∑i=1mf(Xi)V(Di)−J∣∣∣<ϵ

则称 f 在D 上 n 重(黎曼)可积且积分等于J .

若函数 f 在D上黎曼可积,则记做

J=∫⋯∫Df(x1,x2,⋯,xn)dx1dx2⋯dxn=∫Df(X)dnx

1.2 多重积分的性质

若函数 f 和g在 D 上n重可积,由极限的性质和运算法可知,

1. 线性性

   对于任意常数 a,b ,则
   

   ∫D(af+bg)=a∫Df+b∫Dg

2. 保序性

   若在 D 上满足f≤g,则
   

   ∫Df≤∫Dg

3. 区域可加性

   若 D 可分成两个无公共内点的区域D1,D2则 f 在D上可积的充要条件是在 D1 和 D2 上均可积,且
   

   ∫Df=∫D1f+∫D2f

4. 乘积可积性

   函数 fg 在 D 上仍可积

5. 绝对可积性

   函数|f|在D上可积,且
   

   ∣∣∣∫Df∣∣∣≤∫D|f|
   
   ​

6. 积分中值定理

   若 f 在闭区域D中连续,则存在 X0∈D ,记 V(D) 为 D 的超n维体积,则
   

   ∫Df(X)dnx=f(X0)V(D)

1.3 多重积分的存在定理

将定积分的达布定理和勒贝格定理拓展到多重积分.

设函数 f(x1,x2,⋯,xn) 为定义在可求超 n 维体积的有界闭区域D上的函数.设 D 可以分割为有限个内部互不相交的子区域C:D1,D2,⋯,Dm,定义

Mi=supX∈Dif(X),mi=infX∈Dif(X),i=1,2,⋯,mS(C)=∑i=1mMiV(Di),s(C)=∑i=1mmiV(Di),||C||=max1≤i≤m{diamDi}

则有:

1. 若 f 在D上可积,则 f 在D上必有界.

   证明 反证法.设f在 D 上无界,则对于任何D的分割 C ,必定存在某个子区域Dk,使得 f 在Dk上无界.在 i≠k 的各个子区域上取定 Xi ,并令
   

   G=∣∣∣∣∑i=1,i≠knf(Xi)V(Di)∣∣∣∣
   
   ∀M>0,∃Xk∈Dk 使得
   
   |f(Xk)|>M+GV(Dk)
   
   则
   
   ∣∣∣∑i=0mf(Xi)V(Di)∣∣∣≥|f(Xk)V(Dk)|−∣∣∣∣∑i=1,i≠knf(Xi)V(Di)∣∣∣∣>M+GV(Dk)V(Dk)−G=M
   
   无论分割的细度 ||C|| 多么小,上式总成立,这与 f 在D上可积矛盾.

2. 达布定理

   对于函数 f ,
   

   lim||C||→0S(C)=J¯,lim||C||→0s(C)=J−J¯=inf{S(C)|∀C},J−=sup{s(C)|∀C}
   
   其中 J¯ 和 J− 分别称为上积分和下积分.

   函数 f 可积的充要条件是
   

   lim||C||→0S(C)=lim||C||→0s(C)⇔J¯=J−
   
   证明 这里先证明
   lim||C||→0S(C)=J¯
   ,另一个结论同理.

   根据下确界的定义, ∀ε>0,∃C′:D′1,D′2,⋯,D′m′ 使得
   

   S(C′)<J¯+ε2
   
   任取分割 C:D1,D2,⋯,D′m 满足
   
   ||C||=max1≤i≤mV(Di)<min{V(D′1),V(D′2),⋯,V(D′m′),ε2nm′ω}
   
   将分割 C 和C′合并成一个新的分割 C∗ ,有
   
   0≤S(C)−S(C∗)≤nm′ωδ
   
   ω 为函数 f 的振幅,由于
   
   0≤S(C)−J¯≤(S(C)−S(C∗))+(S(C∗)−S(C′))+(S(C′)−J¯)S(C∗)−S(C′)≤0
   
   因此
   
   S(C)−J¯≤(S(C)−S(C∗))+(S(C′)−J¯)≤nm′ωδ+ε2<ε
   
   证毕.函数 f 的可积性的充要条件的证明显然.

3. 函数f可积的充要条件是对于任意的 ε>0 ,存在分割 C ,使得
   

   S(C)−s(C)<ε

4. 若函数 f 连续,则f必定可积.

5. 设函数 f 为有界函数,f可积的充要条件是不连续点集为零测集.

   证明 这里不妨设函数 f 的不连续点全部落在n维空间的一个光滑 n 维超曲面上.对于任意的ε>0,记该超曲面的面积为 p ,用

   [pεn−1]+1
   个边长为 ε 的 n 维超立方体可以将这个曲面完全包含在其中.此部分记为Δ,其 n 维超体积为
   
   W≤([pεn−1]+1)εn≤(p+εn)ε
   
   将区域 D 分成两部分:D1=D∩Δ,D2=D−D1,由于 f 在D2上连续,则 f 在D2上可积,则存在 D2 上的分割 C2 ,满足
   
   S(C2)−s(C2)<ε
   
   记
   MΔ=supX∈Δf(X),mΔ=infX∈Δf(X)
   , C 表示由C2和 Δ 的边界组成的分割,则有
   
   S(C)−s(C)<[S(C2)−s(C2)]+(MΔ−mΔ)W<ε+ωW≤(a+pω+ωεn)ε
   
   其中 ω 为函数 f 的振幅.由于f为有界函数,则 ω 为一有限值,因而 f 在D上可积.

   若 f 在D上可积, ∀ε>0,∀k∈N∗,∃C:D1,D2,⋯,Dm 使得
   

   ∑i=1mωiV(Di)<εk
   
   ωi 表示 f 在Di上的振幅.记其不连续点的集合为 E(f) ,则有
   E(f)=∪∞k=1E1k
   ,对于不连续点 X 的振幅ω(X),存在 k′∈N∗ 满足
   ω(X)≥1k′
   因而能取到
   
   ωi≥1n
   
   用 ∑′ 表示对 E1k∩Di 不为空的那些 i 求和,则有
   
   εn>∑i=1mωiV(Di)≥∑′ωiV(Di)≥1n∑′V(Di)∑′V(Di)<ε
   
   即 E(f) 的 n 维超体积为0,因而测度为 0 ,证毕.

2 多重积分的计算

2.1 多重积分的计算顺序

理论上,对于n重积分所化成的累次积分,有 n! 种不同的计算顺序.这里取一种计算顺序为例.

若函数 f 在由下列不等式所确定的有界区域D内是连续的:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x′1≤x1≤x′′1x′2(x1)≤x2≤x′′2(x1)⋮x′n(x1,x2,⋯,xn−1)≤xn≤x′′n(x1,x2,⋯,xn−1)

其中 x′1 和 x′′1 是常数, x′2,x′′2,⋯,x′n,x′′n ,是连续函数,则相应的多重积分可以化为累次积分,即

∫Df(X)dnx=∫x′′1x′1dx1∫x′′2(x1)x′2(x1)dx2⋯∫x′′n(x1,x2,⋯,xn−1)x′n(x1,x2,⋯,xn−1)f(x1,x2,⋯,xn)dxn

在其他的顺序下,同样成立.

2.2 多重积分的换元

设向量值函数 F:D→D∗ 将可求超 n 维体积的有界区域D一一映射到区域 D∗ ,即

F(X)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜ϕ1(x1,x2,⋯,xn)ϕ2(x1,x2,⋯,xn)⋮ϕn(x1,x2,⋯,xn)⎞⎠⎟⎟⎟⎟

F 在D 上具有一阶连续的偏导数,且

∂(ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn)∂(x1,x2,⋯,xn)≠0

.设 f 在D 上可积

∫⋯∫Df(x1,x2⋯,xn)dx1dx2⋯dxn=∫⋯∫D∗f(ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn)∂(x1,x2,⋯,xn)∂(ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn)dϕ1dϕ2⋯dϕn

证明 将 D 分成m 个小区域 Di ,区域 D∗ 也被相应地分成了m个小区域 D∗i ,记其相应的超 n 维体积为V(Di) 和 V(D∗i) ,设分割细度分别为 ||λ|| 和 ||λ∗|| .

由Taylor公式展开并略去高阶无穷小后有

limV(D)→0V(D∗)V(D)=∂(ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn)∂(x1,x2,⋯,xn)

根据中值定理有

V(D∗i)=∫⋯∫D∣∣∣∂(ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn)∂(x1,x2,⋯,xn)∣∣∣dx1dx2⋯dxn=|J(Xi¯¯¯¯)|V(Di)

其中 Xi¯¯¯¯∈Di ,记 Φi¯¯¯¯=(ϕ1(Xi¯¯¯¯),ϕ2(Xi¯¯¯¯),⋯,ϕn(Xi¯¯¯¯))∈D∗ ,则

∑i=1mf(Φi¯¯¯¯)V(D∗i)=∑i=1mf(Xi¯¯¯¯)|J(Xi¯¯¯¯)|V(Di)

由于 F 的连续性,当||λ||→0 时,有 ||λ∗||→0 .上式两边取极限,得证.

2.3 球坐标变换

根据球坐标变换公式

x1x2⋮xn−1xn=rcosϕ1=rsinϕ1cosϕ2=rsinϕ1sinϕ2⋯sinϕn−2cosϕn−1=rsinϕ1sinϕ2⋯sinϕn−2sinϕn−1

将直角坐标 (x1,x2,⋯,xn) 变换为极坐标 (r,ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn−1) .特别地,

x2!+x22+⋯+x2n=1∂(x1,x2,⋯,xn)∂(r,ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn−1)=rn−1sinn−2ϕ1sinn−3ϕ2⋯sinϕn−2

证明 第一式显然,很容易计算.对第二式,有

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜cosϕ1sinϕ1cosϕ2⋮sinϕ1⋯sinϕn−2cosϕn−1sinϕ1⋯sinϕn−2sinϕn−1−rsinϕ1rcosϕ1cosϕ2rcosϕ1⋯sinϕn−2cosϕn−1rcosϕ1⋯sinϕn−2sinϕn−1−rsinϕ1sinϕ2⋯⋯−rsinϕ1⋯sinϕn−2sinϕn−1rsinϕ1⋯sinϕn−2cosϕn−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

∂(x1,x2,⋯,xn)∂(r,ϕ1,ϕ2,⋯,ϕn−1)=(rcos2ϕ1sinn−2ϕ1+rsinn)∂(x′1,x′2,⋯,x′n−1)∂(r,ϕ2,⋯,ϕn−1)=rsinn−2∂(x′1,x′2,⋯,x′n−1)∂(r,ϕ2,⋯,ϕn−1)⋯=rn−1sinn−2ϕ1sinn−3ϕ2⋯sinϕn−2

3 多重积分的实例

例1 计算

>∫⋯∫Ddx1dx2⋯ xn>

其中

D={x1+x2+⋯+xn≤1xi≥0,i=1,2,⋯,n

.

解1 转化成累次积分再逐层计算.

>=====∫⋯∫Ddx1dx2⋯ xn∫a0dx1∫a−x10dx2∫a−x1−x20dx3⋯∫a−x1−x2−⋯−xn−10dxn∫a0dx1∫a−x10dx2∫a−x1−x20dx3⋯∫a−x1−x2−⋯−xn−2011!(a−x1−x2−⋯−xn−1)dxn−1∫a0dx1∫a−x10dx2∫a−x1−x20dx3⋯∫a−x1−x2−⋯−xn−3012!(a−x1−x2−⋯−xn−2)dxn−2⋯∫a01(n−1)!(a−x1)n−1ann!>

解2 同样需要转化成累次积分,但是与上一个解法不同,这里做代换.记

>In(a)=∫a0dx1∫a−x10dx2∫a−x1−x20dx3⋯∫a−x1−x2−⋯−xn−10dxn>

在右端的累次积分做代换 x1=ay1,x2=ay2,⋯,xn=ayn ,则

>In(a)=anIn(1)In(1)=∫10dx1(In−1(1−x1))=In−1(1)∫10(1−x1)n−1dx1=1nIn−1(1)>

因而

>In(a)=ann!>

例2 计算

>∫⋯∫Dx1+x2+⋯+xn−−−−−−−−−−−−−−√dx1dx2⋯ xn>

其中

D={x1+x2+⋯+xn≤1xi≥0,i=1,2,⋯,n

.

解 先换元,再将其化为累次积分,则有

>x1x2⋮xn−1xn=y1(1−y2)=y1y2(1−y3)=y1y2⋯yn−1(1−yn)=y1y2⋯yn,0≤yi≤1,(i=1,2,⋯,n),x1+x2+⋯+xn=y1>

>∣∣