标准Lipschitz连续函数与伪Lipschitz连续函数

标准Lipschitz连续

数学中，对于一个实数函数$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，如果满足函数曲线上任意两点连线的斜率一致有界，即任意两点的斜率都小于常数$K>0$，
$$|f(x_1)-f(x_2)|\le K|x_1-x_2|$$

则函数$f$称为K-Lipschitz连续函数，$K$称为Lipshitz常数。

Lipshitz连续要求函数在无限的区间上不能有超过线性的增长，如果一个函数可导，并满足Lipschtz连续，那么导数有界。如果一个函数可导，并且导数有界，那么函数为Lipschtz连续。

伪Lipschitz连续

给定$p\ge 1$，函数$\mathbf{f}:{\mathbb{R}}^s\to {\mathbb{R}}^r$，如果$\exists C>0$，使得对$\forall {\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2\in {\mathbb{R}}^s$，有
$$\Vert \mathbf{f}({\mathbf{x}}_1)-\mathbf{f}({\mathbf{x}}_2)\Vert \le C\Vert {\mathbf{x}}_1-{\mathbf{x}}_2\Vert \left[1+\Vert {\mathbf{x}}_1{\Vert }^{p-1}+\Vert {\mathbf{x}}_2{\Vert }^{p-1}\right]$$

则函数$\mathbf{f}$被称为$p$阶伪Lipschitz连续函数(pseudo-Lipschitz of order $p$)，当$p=1$时，退化为标准Lipschitz连续。