计算机图形学算法总结

图形学算法总结

直线生成算法

数值微分法（DDA）

$y=kx+b$

x每增加1，y增量为k

|k|要小于1，大于则互换x，y

原因：防止画出来的线太稀疏

象限	|dx|>|dy|?	D x	D y
1a	是	1	k
1b	否	1/k	1
2a	是	-1	k
2b	否	-1/k	1
3a	是	-1	-k
3b	否	-1/k	-1
4a	是	1	-k
4b	否	1/k	-1

中点画线法

$y=ax+by+c$

其中，$a=y_0-y_1，b=x_1-x_0$

我们每次都把中点(x+1,y+0.5)带入方程，记结果为d，与0比较

• d≥0 中点在直线上方，取$（x_i＋1，y_i）$

  • $d_{i+1}=d_i+a$

• d<0 中点在直线下方，取$（x_i＋1，y_i＋1）$

  • $d_{i+1}=d_i+a+b$

其中，初始值$d_0=a+0.5b$

可以用 2d 代替 d 来摆脱小数，提高效率。

Bresenham算法

我们计算直线的斜率 $k=\frac{dy}{dx}$

和DDA一样，x每增加1，y增加k

于是，我们可以这样算：

$d_0=0$ $d_{i+1}=d_i+k$

• d≥0.5 取$（x_i＋1，y_i＋1）$
• d<0.5 取$（x_i＋1，y_i）$

当 d≥1 的时候 $d=d-1$

当然，为了便于计算，可令 $e=d-0.5$

$e_0=-0.5$ $e_{i+1}=e_i+k$

• e≥0 取$（x_i＋1，y_i＋1）$
• e<0 取$（x_i＋1，y_i）$

当 e≥0 的时候 $e=e-1$

圆弧生成算法

中点Bresenham画圆法

$d=x^2+y^2-R^2$

与前面类似 $d_0=1.25-R$

• d≥0 取$(x_i＋1，y_i-1)$
  • $d_{i+1}=d_i+2(x_p-y_p)+5$
• d<0 取$(x_i＋1，y_i)$
  • $d_{i+1}=d_i++2x_p+3$

为方便计算，使用e=d-0.25代替d

多边形填充算法

逐点判断法

1）射线法

作射线求交点各数k

• k为奇数 点在多边形内
• k为偶数 点在多边形外

特殊情况：

2）累计角度法

与各顶点连线，形成有向角${\theta }_i$，然后作累加

• 结果为0 点在多边形外
• 结果为±2$\pi$ 点在多边形内

扫描线算法(YX)

举个例子，6号扫描线与多边形交点并按x值递增排序为A,B,C,D

然后我们就开始配对，AB一对，CD一堆，并给AB和CD这两个线段填色。

依此类推，就能给多边形填完色。

改进的扫描线算法（Y-X）

活性边表：$x$ $△x$ $y_{max}$

边表桶：

特殊情况：

• 水平边扔掉

• X为小数

  
  • (a)交点位于左边上，向右取整
  • (b)交点位于右边上，向左取整

• (x,e)落在像素上

  
  • (a)(x,e)位于左边上，属于多边形
  • (b)(x,e)位于右边上，不属于多边形

• 交点位多边形的顶点（下闭上开）

  

  应该是指经过P1的点

  • (a) 算作1个交点
  • (b) 算作1个交点
  • © 算作2个交点
  • (d) 算作0个交点

边缘填充算法

对多边形上每一条非水平边上的每个象素开始向右求余

改进后有栅栏填充算法和边界标志算法

区域种子填充算法

1）深度递归的种子填充算法(漫水法）

1. 种子入栈

2. 栈非空，转3；栈空，结束

3. 栈顶元素出栈，如果它未填充则填充，然后找其他方向未填充的点，将其入栈，找完所有方向后（4联通就是4个方向，8联通就是8个方向），转2

假设方向是上下左右，那么顺序就是

1. 栈：H
2. 填色：H 栈： I F J
3. 填色：J 栈：I F K N
4. 填色：N 栈：I F K M
5. 填色：M 栈：I F K L
6. 填色：L 栈：I F K
7. 填色：K 栈：I F
8. 填色：F 栈：I D G
9. 填色：G 栈：I D E
10. 填色：E 栈：I D
11. 填色：D 栈：I C
12. 填色：C 栈：I B
13. 填色：B 栈：I A
14. 填色：A 栈：I
15. 填色：I

2）扫描线种子填充算法

其实就是种子填充的改进版，减少了递归次数

扫描线种子填充算法

1. 初始化：堆栈置空。将种子点（x，y）入栈。

2. 出栈：若栈空则结束。否则取栈顶元素（x，y），以y作为当前扫描线。

3. 填充并确定种子点所在区段：从种子点（x，y）出发，沿当前扫描线向左、右两个方向填充，直到非内部。分别标记区段的左、右端点坐标为xl和xr。

4. 并确定新的种子点：在区间[xl，xr]中检查与当前扫描线y上、下相邻的两条扫描线上的象素。若存在非边界、未填充的象素，则把每一区间的最右象素作为种子点压入堆栈，返回第（2）步。

1. 填充DFHJM
2. 上下搜寻
   1. DFHJM任意一个往下走填充EDIK
   2. N往上走填充M
   3. D往上走填充C
3. 上下搜寻
   1. M往上走填充L
   2. C往上走填充B
4. 上下搜寻
   1. B往上走填充A

反走样

有两个方式，一个是提高分辨率，另一个是改进算法，这里当然讲算法喽

简单区域采样（非加权区域采样）

根据面积改变亮度达到反走样效果

面积计算（m是斜率，像素宽为1）

• 情况(1)(5)阴影面积为：$\frac{D^2}{2m}$
• 情况(2)(4)阴影面积为：$D-\frac{m}{2}$
• 情况(3)阴影面积为：$1-\frac{D^2}{m}$

上述阴影面积是介于0-1之间的正数，用它乘以象素的最大灰度值，再取整，即可得到象素的显示灰度值。

加权区域采样

其实就是在非加权区域采样的基础上加了个权值来表示与中心距离，然后计算灰度的时候要考虑这个权值。

直线和多边形裁剪

编码裁剪

$D_3{D}_2{D}_1{D}_0$分别表示是否上于上边界，是否下于下边界，是否右于右边界，是否左于左边界

• 是为1，否为0

• 若$P_1{P}_2$完全在窗口内(code1 || code2) = 0, 则“取”
• 若$P_1{P}_2$明显在窗口外(code1 & code2) ≠ 0, 则“弃”
• 在交点处把线段分为两段。其中一段完全在窗口外，可弃之。然后对另一段重复上述处理

中点分割裁剪

和编码的区别在于最后一步，不是交点处分为两段，而是中点处，然后不断二分，把完全在窗口外的舍弃，直到精度满足要求。

梁友栋-Barskey算法

首先，我们将这个线段确定一个方向，然后将线段和窗口延长，得到四个交点，记为$r1,r2,r3,r4$（这也是它们的横坐标）

这样，我们得到两个入边和两个出边（PPT上叫始边和终边）

这样我们要裁剪得到的线段的两个端点的横坐标$u_1{u}_2$就可以确定了

• $u1=max(0,x_{入边1},x_{入边2})$
• $u2=min(1,x_{出边1},x_{出边2})$

那么我们要如何确定入边出边呢？

每个交点的横坐标为 $r_k=\frac{q_k}{p_k}$

如果$p_k\ne 0$

• $p_k<0$ 入边
• $p_k>0$ 出边

多边形逐边裁剪算法

多边形的各条边的两端点S、P。它们与裁剪线的位置关系只有四种:

情况（1）仅输出顶点P；

情况（2）输出0个顶点

情况（3）输出线段SP与裁剪线的交点 I

情况（4）输出线段SP与裁剪线的交点 I 和终点 P

双边裁剪算法

这个我还没实践过，所以直接粘贴下PPT。算法思想的话，PPT上这个够看了。

简单来说，就是我们的裁剪窗口不再是矩形了，而是一个多边形。

算法思想

1. 计算主多边形与裁剪多边形的交点
2. 如果主多边形与裁剪多边形有交点，则交点成对出现，它们被分为如下两类
   1. 进点：主多边形边界由此进入裁剪多边形内
   2. 出点：主多边形边界由此离开裁剪多边形区域
3. 跟踪任意一个交点
4. 如果为进点，则跟踪主多边形边界
5. 如果为出点，则跟踪裁剪多边形边界
6. 任选一个没有跟踪过的交点，按上述过程重新搜索，直至所有交点跟踪完毕
7. 如果该交点为进点，跟踪主多边形边边界；否则跟踪裁剪多边形边界
8. 跟踪多边形边界，每遇到多边形顶点，将其输出到结果多边形顶点表中，直至遇到新的交点
9. 将该交点输出到结果多边形顶点表中，并通过连接该交点的双向指针改变跟踪方向（如果上一步跟踪的是主多边形边界，现在改为跟踪裁剪多边形边界；如果上一步跟踪裁剪多边形边界，现在改为跟踪主多边形边界）
10. 重复(4)、(5)直至回到起点

消隐

深度缓存算法（Z_Buffer算法）

加入一个深度缓存数组z[m][n]来存最小深度值

加入一个帧缓存数组FB[m][n]来存像素点对应颜色值

每个像素点上放深度最小的多边形的颜色

扫描线算法

扫描线的交点把这条扫描线分成了若干个区间，每个区间上必然是同样一种颜色

对于有重合的区间，如**$a_6{a}_7$**这个区间，要么显示F2的颜色，要么显示F3的颜色，不会出现颜色的跳跃

如果把扫描线和多边形的这些交点都求出来，对每个区间，只要判断一个像素的要什么颜色，那么整个区间的颜色都解决了，这就是区间扫描线算法的主要思想。

需要的数据结构有很多，比如多边形y桶、有效多边形表APT、边Y桶、有效边表AET，具体这些是啥，看PPT吧

多边形区域排序算法

在规则化图像空间中，将多边形按深度Z值自小至大排序，用前面的可见多边形去切割其后面的多边形，使得最终每一个多边形要么是完全可见，要么完全不可见。

曲线曲面

我这里写得有点点乱，以后有空再修改吧。

Hermite曲线

Bezier曲线

$P_i$是控制点

有n个控制点，那么曲线的阶数就是n-1，计算量巨大

Bezier曲线的性质

• 端点性质 曲线过两端点且与端点相切
• 对称性: 若保持n次Bezier曲线的顶点的位置不变，而把次序颠倒，则曲线保持不变
• 凸包性： 伯恩斯坦多项式各项之和为1。这意味着Bezier曲线各点均落在特征多边形顶点构成的凸包之中
• 几何不变性：曲线的形状仅与特征多边形个顶点的相对位置有关，而与坐标的选择无关

B样条曲线

这个图是PPT上的，和我下面的有些许不同，但实际是一样的。

这个图是我要讲的，下面就逐步来解释

啥是B样条曲线？

整条曲线用一个完整的表达形式，但内在的量是一段一段的，比如一堆的3次曲线拼过去，两条之间满足2次连续

怎么分段呢？

每一段的基函数怎么求？

de Boor-Cox递推定义

只要是k阶（k-1次）的B样条基函数，构造一种递推的公式，由0次构造1次，1次构造2次，2次构造3次…依次类推

B样条函数定义区间 $u\in [u_{k-1},u_{n+1}]$ 是怎么来的？

B样条曲线的性质

• 端点性质与连续性
• 当t=0 或 t=1分别代入三次B样条方程得：
  $P(0)=1/3\ast ((p_i+p_{i+2})/2+2p_{i+1})$
  $P(1)=1/3\ast ((p_{i+1}+p_{i+3})/2+2p_{i+2})$
  三次B样条在连接处的一阶导数、二阶导数都是连续的。‘
• 局部性：改变一个控制点的位置，最多影响四个曲线段。由此三次B样条具有改变控制点的位置就可以对B样条局部修改曲线
• 扩展性：增加一个控制点就相应增加一段B样条曲线，而原有曲线不受任何影响

图形变换

平移变换

二维

三维

比例变换

二维

三维

旋转变换

二维

三维

绕z轴旋转

绕x轴旋转

绕y轴旋转

对称变换

错切变换

投影变换

正交平行投影

斜交投影

透视投影