过渡矩阵

过渡矩阵

对于任意一个数域为 P P 的线性空间 V V 和 V V 上的任意一组基 ξ=(ξ1,⋯,ξn), ξ = ( ξ 1 , ⋯ , ξ n ) ,
定义 ξ ξ 的过渡矩阵为：
A=(⟨ξi,ξj⟩)n×n A = ( ⟨ ξ i , ξ j ⟩ ) n × n

性质

1. 对于 V V 上的任意两个向量 α=ξX,β=ξY, α = ξ X , β = ξ Y ,
   ⟨α,β⟩=X⊺AY ⟨ α , β ⟩ = X ⊺ A Y
   证明
   ⟨α,β⟩ ⟨ α , β ⟩
   =⟨ξX,ξY⟩ = ⟨ ξ X , ξ Y ⟩
   =⟨∑i=1nxiξi,∑j=1nyjξj⟩ = ⟨ ∑ i = 1 n x i ξ i , ∑ j = 1 n y j ξ j ⟩
   =∑i=1n∑j=1nxiyj⟨ξi,ξj⟩ = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n x i y j ⟨ ξ i , ξ j ⟩
   =X⊺AY = X ⊺ A Y
2. 对于 V V 上的任意另外一组基 η=ξP, η = ξ P , 则 η η 的过渡矩阵 B=P⊺AP B = P ⊺ A P 。
   证明
   ⟨ηi,ηj⟩ ⟨ η i , η j ⟩
   =⟨ξPi,ξPj⟩ = ⟨ ξ P i , ξ P j ⟩
   =Pi⊺APj = P i ⊺ A P j
   ⇒B=P⊺AP ⇒ B = P ⊺ A P