变量变换定理 THE CHANGE OF VARIABLES FORMULA

变量公式的变化是基于单变量微积分中的u-替换，或者更准确地说是基于“逆替换”。具体来讲有定积分：

我们想做出替换x=f(u)。然后是对u求导数有dx=f‘(u)du。于是将其带入有：
注意： 这里我们必须把x极限改为u极限

因为有：

其中f是一个可逆的函数。所以给出替换（就是很简单的把上下限换一下啦！）：

注意：但是请注意，写它并不一定是正确的，也就是说，可能在变量发生变化之后，下限实际上比上限大。事实上，这正好发生在函数$u=f^{-1}(x)$是一个递减函数的时候。
举个栗子！！！
例如，假设[xm，xM]=[1,2]和x=1/u，所以u=1/x。然后是u（1）=1和u（2）=12，所以上、下端点被反转。
回忆一下高中知识———————啥时候函数递减呢？？？
答：当且仅当函数的导数为负数，对于我们遇到的函数的反函数的导数就是当且仅当函数本身的导数就是负数，因为依据反函数求导公式：

于是$u_m$ 是最小的u值-即无论$f^{-1}(x_m)$和$f^{-1}(x_M)$中哪个较小，且$u_M$是最大的u值，则替换也可以写为

原因是，如果f在增加，

所以积分和以前一样，而如果f是递减的，则反之。所以在切换上限和下限时，把uM放在顶部替换 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}$用$|\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}|$。
所有这些都是为了解释为什么一些变量中变量公式的变化是u-替换(反函数)的推广。事实上，假设我们有一个二重积分${\iint }_{R}g(x,y)dxdy$并且我们想要去改变到新变量u，v实现到 $x，y$：

我们定义雅可比矩阵$J(\frac{x,y}{u,v})$ 为2乘2行列式:
$\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1}{\partial u}& \frac{\partial f_1}{\partial v}\\ \frac{\partial f_2}{\partial u}& \frac{\partial f_2}{\partial v}\end{array}\right|=\frac{\partial f_1}{\partial u}\frac{\partial f_2}{\partial v}-\frac{\partial f_1}{\partial v}\frac{\partial f_2}{\partial v}$
然后变量的变化公式为：

首先注意，我们取了雅可比矩阵的绝对值，其次，区域R‘意味着 “R写在(u，v)变量” ：从技术上讲，R’是所有点(u，v)的集合，这样(f1(u，v)，f2(u，v))是R的一个点，但这是一个无用的抽象的思考方式：我们只会改变(u，v)变量，首先如果R有一个很好的®，简单的®描述新的变量。
对于三个变量，我们还有:
那么：

雅可比矩阵可以表示为：

对于极坐标：

有