泰勒公式求极限(如何用+精度怎么确定)一文扫除泰勒公式难点

有些复杂的极限题,里面会涵盖着各种各样的函数,这些群魔乱舞的函数加大了我们计算极限的难度,此时想:如果可以将这些函数统一成一样的形式该多好?此时,就有我们的泰勒公式了。

1.泰勒公式怎么用:

指数函数,三角函数,反三角函数,对数函数等函数,同时若干个在极限中出现时,使用泰勒公式将它们一致化,从而容易计算。我和另一位学长做的笔记例题如下:
泰勒公式求极限(如何用+精度怎么确定)一文扫除泰勒公式难点_第1张图片
本题利用泰勒公式,将多种类型的函数转化为统一的多项式函数,原极限进而转变为有理函数的极限,而这种函数极限是非常容易求的。这就是泰勒公式求极限的核心。
另外,对于泰勒展开而言,展开到几阶(精度为多少)也是非常关键的。本题的技巧总结提供了一个方法,更加详细的见下面内容。

2.精度如何确定(泰勒展开到几阶):

泰勒展开有两大令人头疼的:1.这个函数的展开公式是啥?2.展开到第几项(精度为多少)?
针对第一点,直接背就行了,背不会可以自己求导推几遍。还记不住的可以看别人总结的记忆技巧,如下图是我和另一位学长做的知识点笔记,下图左边是一些常见的泰勒公式和一些记忆技巧:
泰勒公式求极限(如何用+精度怎么确定)一文扫除泰勒公式难点_第2张图片
同时,右边强调了精度的重要性,如果不了解精度盲目展开的话,非常容易出错,上面导图中即有错例。所以我们接下来看最关键和最有难度第二点:精度如何确定?

主要采用先整体后局部的方法:

1.确定整体精度:

极限 lim ⁡ x → x 0 A B \lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{A}{B}} limxx0BA (其中 A , B A,B AB表示一个式子),首先确定谁更容易确定精度,如果 B B B更容易确定精度,则 A A A暂时不变,先判断 B B B的精度,再根据B的精度来确定 A A A的精度。
比如 B B B直接为 a x m ax^{m} axm 或可以通过等价转变为 a x m ax^{m} axm,那么直接可以确定B的精度为 m m m,进而确定A的精度为 m m m
例: lim ⁡ x → x 0 A s i n x 2 l n ( 1 + x ) = lim ⁡ x → x 0 A x 3 \lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{A}{sinx^{2}ln(1+x)}}=\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{A}{x^{3}}} limxx0sinx2ln(1+x)A=limxx0x3A ,所以进而确定 A A A的精度为3,需要完全展开到 x 3 x_{}^{3} x3

2.再确定局部:

上述通过更容易确定精度的 B B B得出 A A A的精度为 m m m。因此,接下来需要对A进行展开,展开到 x m x^{m} xm ,并且不漏项,这有一定的难度。针对这个,我总结了下面3个技巧:
1.若A为" 函 数 f − 函 数 g 函数f-函数g fg"型:
比较简单,直接通过泰勒公式将函数f和函数g展开到所需精度即可(若某一个函数为多项式函数,则不用考虑展开)。如图1中题1.1所示:分子确定精度为4,需要展开到 x 4 x^{4} x4 。因此将 1 + x 2 \sqrt{1+x^{2}} 1+x2 展开至 x 4 x^{4} x4 p . s . p.s. p.s.前面是多项式函数,不用管。
2.若A含有" 函 数 f × 函 数 g 函数f×函数g f×g"型:
有公式:左低+右高=精度;左高+右低=精度。
左低代表为左边函数展开最低项为 x 的多少次方(不考虑系数),右高代表为右边函数展开最高项为 x x x 的多少次方(不考虑系数),以此类推。根据公式,我们可以先展开左边函数和右边函数的第一项,得左低和右低,再根据公式,得到左边函数和右边函数应展开到x的多少次方(左高和右高),具体操作如下:
以图2右侧的易错点为例:展开 l n ( 1 + x ) l n ( 1 − x ) ln(1+x)ln(1-x) ln(1+x)ln(1x) ,由于左边函数 l n ( 1 + x ) ln(1+x) ln(1+x) 和右边函数 l n ( 1 − x ) ln(1-x) ln(1x) 展开的第一项都为 x x x (不考虑系数),所以左低和右低为1,根据公式,左高和右高都为3。因此 l n ( 1 + x ) ln(1+x) ln(1+x) l n ( 1 − x ) ln(1-x) ln(1x) 都要展开到含 x 3 x^{3} x3 ,即有正确解法。
3.若A含有"复合函数展开"型:
有公式:内低×外高=精度;内高×外低=精度。
内低表示内层函数展开最低为 x x x 的多少次方(不考虑系数),外高代表为外层函数展开最高项为 x x x 的多少次方(不考虑系数),以此类推。根据公式,我们可以先展开内层函数和外层函数的第一项,得内低和外低,再根据公式,得到内层函数和外层函数应展开到x的多少次方(内高和外高),具体操作如下:
例:将 l n ( 1 + s i n x ) ln(1+sinx) ln(1+sinx) 展开到精度为4。外层函数 l n ( 1 + x ) ln(1+x) ln(1+x) 最低为 x x x的一次方,根据公式,内高为4,即 s i n x sinx sinx 展开到 x x x 的四次方。故有: x → 0 , s i n x ∼ x − x 3 3 ! + 0 ⋅ x 4 4 ! x\rightarrow 0,sinx\sim x-\frac{x^{3}}{3!}+0\cdot\frac{x^{4}}{4!} x0sinxx3!x3+04!x4 ,同时反过来,内层函数最低也为x的一次方,根据公式,外层函数也需要展开到 x x x 的四次方。有: x → 0 , l n ( 1 + x ) ∼ x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 x\rightarrow 0,ln(1+x)\sim x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4} x0ln(1+x)x2x2+3x34x4 ,此时带入复合,并将高于4次方的去除即有: x → 0 , l n ( 1 + s i n x ) ∼ x − x 2 2 + x 3 6 − x 4 4 x\rightarrow 0,ln(1+sinx)\sim x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{4}}{4} x0ln(1+sinx)x2x2+6x34x4
这或许还不足以发挥公式的威力,试着用公式解决下面这道难题。
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到此为止!
我是煜神学长,考研我们一起加油!!!

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