2020牛客国庆集训派对day2 F-SUM OF SUB RECTANGLE AREAS

2020牛客国庆集训派对day2 F-SUM OF SUB RECTANGLE AREAS 数学推导+大数相乘

    • 题意
    • 思路
    • Code(71MS)

传送门: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7818/F

题意

给一个N*N的矩阵,每一位上都是1,求所有子矩阵的权值之和。

思路

设 n = 3 ; 设n = 3; n=3
考虑子矩阵大小为 i ∗ j i * j ij的个数 x x x,即该大小的所有子矩阵的权值为 x ∗ i ∗ j x* i * j xij
1 ∗ 2 1 * 2 12子矩阵:每行个数为 2 2 2个,有 3 3 3列,即总权值为 2 ∗ 3 ∗ ( 1 ∗ 2 ) − − 2 ∗ 3 2 * 3 * (1 * 2)--2 * 3 231223为该矩阵在n*n矩阵中的个数, 1 ∗ 2 1 * 2 12为该子矩阵里的权值。
2 ∗ 3 2 * 3 23子矩阵:每两行有 1 1 1个,一共 2 2 2个两行,权值为 2 ∗ 3 2*3 23,即总权值为 1 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3 1 * 2 * 2 * 3 1223

根据上面推导出:在 n ∗ n n*n nn的矩阵中,有 i ∗ j i*j ij子矩阵的个数为 ( n − i + 1 ) ∗ ( n − j + 1 ) (n - i + 1) * (n - j + 1) (ni+1)(nj+1),即总权值为 ( n − i + 1 ) ∗ ( n − j + 1 ) ∗ i ∗ j (n - i + 1) * (n - j + 1) * i * j (ni+1)(nj+1)ij
即总答案为:
a n s = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( n − i + 1 ) ∗ ( n − j + 1 ) ∗ i ∗ j ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(n - i + 1) * (n - j + 1) * i * j ans=i=1nj=1n(ni+1)(nj+1)ij

a n s = [ ∑ i = 1 n ( n − i + 1 ) i ] 2 ans=[\sum_{i=1}^n(n-i+1)i]^2 ans=[i=1n(ni+1)i]2

a n s = [ n 2 ( n + 1 ) 2 − n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 + n ( n + 1 ) 2 ] 2 ans=[\frac{n^2(n+1)}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}]^2 ans=[2n2(n+1)6n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)]2

a n s = [ n ∗ ( n + 1 ) ∗ ( n + 2 ) 6 ] 2 ans=[\frac{n * (n + 1)*(n+ 2)}{6}]^2 ans=[6n(n+1)(n+2)]2

因为题目说会爆longlong,所以我这里用的是JAVA大数BigInteger,python也可(不过我不会)。

Code(71MS)


import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main
{
	public static void main(String[] args){
		Scanner in = new Scanner(System.in);
        int T;
        T = in.nextInt();
        for(int i = 1;i <= T; i++) {
		    long n;
		    n = in.nextLong();
		    BigInteger ans = new BigInteger("1");
            ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n));
            ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n + 1));
            ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n + 2));
		    ans = ans.divide(BigInteger.valueOf(6));
		    ans = ans.multiply(ans);
		    System.out.println(ans);
	    }
    }
}

你可能感兴趣的:(数论)