正定矩阵，半正定矩阵，负定矩阵的通俗理解

0. 二次型

在讲正定矩阵这些概念的时候，我们首先要讲的就是二次型。

简单来说，形如$x^{{}^{\prime }}Ax$这样的式子就是二次型，其中x是列向量，A是方阵。

1. 正定矩阵，半正定矩阵，负定矩阵的定义

从教材上我们可以知道，正定矩阵的定义是对于任意非零向量x,有$x^{{}^{\prime }}Ax>0$.类似地，半正定矩阵的定义是$x^{{}^{\prime }}Ax\ge 0$, 负定矩阵的定义是$x^{{}^{\prime }}Ax<0$.

2. 如何理解正定矩阵等

我们可以改写为$x^{{}^{\prime }}Ax=x^{{}^{\prime }}(Ax)$, 然后我们在回顾矩阵的基础知识的时候说过，$Ax$相当于对向量x在空间做伸缩和旋转变换，又变成了一个新的向量y，那么$x^{{}^{\prime }}Ax=x^{{}^{\prime }}(Ax)=x^{{}^{\prime }}y$, 再回顾一下在几何中我们学到的知识$cos\alpha =\frac{x^{{}^{\prime }}y}{|x||y|}$, 那么$x^{{}^{\prime }}Ax$的符号也就代表了他们之间的夹角大小。

所以正定矩阵的意思是：对于任意一个向量x来说，在左乘一个矩阵A以后，新的向量和x的夹角小于90度。
半正定矩阵的意思是：对于任意一个向量x来说，在左乘一个矩阵A以后，新的向量和x的夹角小于等于90度。
负定矩阵的意思是：对于任意一个向量x来说，在左乘一个矩阵A以后，新的向量和x的夹角大于90度。

3. 正定矩阵的判定

• 所有的顺序主子式大于0，顺序主子式的定义就是$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,i}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,i}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{i,1}& a_{i,2}& \dots & a_{i,i}\end{array}\right|>0$，假设A是n*n的矩阵，$1\le i\le n$.
• 所有的特征值都大于0
• 可以写成$A=C{C}^{{}^{\prime }}$,其中$C$可逆

4. 半正定矩阵的判定

• 所有的顺序主子式大于等于0，顺序主子式的定义就是$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,i}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,i}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{i,1}& a_{i,2}& \dots & a_{i,i}\end{array}\right|\ge 0$，假设A是n*n的矩阵，$1\le i\le n$.
• 所有的特征值都大于0
• 可以写成$A=C{C}^{{}^{\prime }}$