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作用量漫谈

- 最小作用量原理
- - 与度规适配的体元
- 拉格朗日方程
- 诺特定理
- - 正则能动张量
- 常见的作用量
- - 自由粒子
  - 标量场
  - 电磁场
  - 引力场

最小作用量原理

最小作用量原理基本上是说我们这个宇宙总是选择某种“最经济”的方式运行，表现在物理规律上，就是有一个称为作用量的东西，正确的物理规律总是使得这个作用量取最小值。因此这个作用量必须是个标量。

向量和张量不能比较大小，除非先引入一个映射将其转换为标量。

此外，常(函)数作用量意义通常不大，因为常(函)数取最小值通常不能给出什么有用的信息。
考虑最简单的自由粒子的运动，唯一能想到的符合上述要求的量就是运动路径的长度，最多差一个常数因子，此时作用量就可以表示为
$-\alpha\int_a^bds$
这可能也是作用量用 $S$ 代表的一个原因。为了能使得 $S$ 有最小值， $\alpha$ 必须为一个正数。
推广到高维情形时，我们可以定义作用量为
$\int\mathscr L dx^\mu$
其中 $\mathscr L$ 称为拉格朗日密度，基本上就是高维的作用量"密度"的概念。

与度规适配的体元

上式仅在洛伦兹变换下才有意义，因为洛伦兹变换的行列式 $|\Lambda|$ 为 $1$ ，因而 $dx^\mu$ 不会随参考系的变换改变。但在更一般的弯曲时空的情形，就需要考虑用 $\sqrt{-g}dx^\mu$ 来代替 $dx^\mu$ ，其中 $g$ 为度规的行列式。这个东西称为与度规适配的体元，是坐标变换下的不变量。

要看出这一点，只需注意到对于变换 $\mapsto x', ~ d^4x' = |\frac{\partial x'}{\partial x}|d^4x$ ，这是多元微积分的换元规则。而 $g'_{\mu\nu} = \frac{\partial x^\rho}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\sigma}{\partial x'^\nu}g_{\rho\sigma}$ ，两边取行列式就有 $|\frac{\partial x'}{\partial x}|^{-2}g(x)$ .

因此，我们的作用量现在就可以写为
$\int\mathscr {\tilde L} \sqrt{-g}dx^\mu = \int\mathscr L dx^\mu$

拉格朗日方程

一般的拉格朗日密度为广义坐标 $q^i(t)$ 及其时空导数的函数，但在场论的情形， $q^i(t)$ 应该推广为场量 $\phi(x, t)$ 。所以拉格朗日密度是场量及其时空导数的函数
$\mathscr L = \mathscr L(\phi, \partial_a\phi)$
最小作用量原理给出
$\begin{aligned} 0 = \delta S &= \int \delta\mathscr L dx^\mu = \int [\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi}\delta\phi + \frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}\delta(\partial_a\phi)]dx^\mu \\ & = \int [\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi}\delta\phi + \frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}\partial_a(\delta\phi)]dx^\mu \\ & = \int [\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi}\delta\phi + \partial_a(\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}\delta\phi) - \delta\phi\partial_a\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}]dx^\mu \\ & = \int \partial_a(\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}\delta\phi)dx^\mu + \int (\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi} - \partial_a\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)})\delta\phi dx^\mu \end{aligned}$
根据高斯公式
$\int_U \partial_a(\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}\delta\phi) = \int_{\partial U}\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}\delta\phi$
而在全时空 $U$ 的无限远边界 $\partial U$ 上，我们要求 $\delta\phi = 0$ . 于是就有
$\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi} - \partial_a\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)} = 0$
这被称为拉格朗日方程。

诺特定理

本节推导需要读者了解李导数和Killing矢量场的性质。
如上所述，拉格朗日密度 $\mathscr L$ 是 $\phi, ~ \partial_a\phi, ~ g_{ab}$ 三者的函数。考虑光滑矢量场 $\xi^a$ 生成的单参微分同胚族 $f_\lambda$ （其中 $f_0$ 代表恒等映射），其诱导的拉回映射把 $\phi, ~ \partial_a\phi, ~ g_{ab}$ 变为新场
$\phi_\lambda \equiv f^*_\lambda\phi, ~ (\partial_a\phi)_\lambda \equiv f^*_\lambda(\partial_a\phi), ~ (g_{ab})_\lambda \equiv f^*_\lambda g_{ab}$
相应的 $\mathscr L$ 就变为
$\mathscr L_\lambda \equiv \mathscr L(\phi_\lambda, (\partial_a\phi)_\lambda, (g_{ab})_\lambda)$
且有
$f^*_\lambda(\partial_a\phi) = \partial'_a(f^*_\lambda\phi)$
其中 $\partial'_a$ 是与 $(g_{ab})_\lambda$ 适配的导数算符，即 $\partial'_a(g_{bc})_\lambda = 0$ .
不难证明上述诸量的变分实际上对应的是其沿 $\xi^a$ 的李导数 $L_\xi$ ，因为
$\delta\phi = \frac{d\phi_\lambda}{d\lambda}|_{\lambda = 0} = \lim_{\lambda \to 0}\frac{1}{\lambda}(f^*_\lambda\phi - \phi) = L_\xi\phi$
类似地 $\delta(\partial_a\phi) = L_\xi(\partial_a\phi), ~ \delta g_{ab} = L_\xi g_{ab}$ . 特别地，因为 $\mathscr L$ 是标量场，所以
$\delta\mathscr L = L_\xi\mathscr L = \xi^a\partial_a\mathscr L$
而 $\delta \mathscr L$ 可以展开
$\delta \mathscr L = \frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi}L_\xi\phi + \frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}L_\xi(\partial_a\phi) + \frac{\partial \mathscr L}{\partial g_{ab}}L_\xi g_{ab}$
再将拉格朗日方程代入就得到
$\xi^a\partial_a\mathscr L = (\partial_a\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)})L_\xi\phi + \frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}L_\xi(\partial_a\phi) + \frac{\partial \mathscr L}{\partial g_{ab}}L_\xi g_{ab}$
为考察对称性导致的守恒流，我们可令 $\xi^a$ 为Killing矢量场，此时就有 $L_\xi g_{ab} = 0$ 以及 $(g_{bc})_\lambda = g_{bc}$ ，后者又导致 $\partial'_a = \partial_a$ ，于是
$L_\xi(\partial_a\phi) = \lim_{\lambda \to 0}[f^*_\lambda(\partial_a\phi) - \partial_a\phi] = \lim_{\lambda \to 0}[\partial_a(f^*_\lambda\phi) - \partial_a\phi] = \partial_a(L_\xi\phi)$
前一个式子就简化为
$\xi^a\partial_a\mathscr L = (\partial_a\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)})L_\xi\phi + \frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}\partial_a(L_\xi\phi) = \partial_a(\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}L_\xi\phi)$
注意到 $\partial_a\xi^a = g^{(ab)}\partial_{[a}\xi_{b]} = 0$ ，就有
$\partial_a(\xi^a\mathscr L) = \partial_a(\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}L_\xi\phi)$
于是矢量场
$J^a \equiv \frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}L_\xi\phi - \xi^a\mathscr L$
满足连续性方程 $\partial_aJ^a = 0$ ，因而代表某种守恒流密度。

正则能动张量

定义 $S^{ab} = -\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}\partial^b\phi + g^{ab}\mathscr L$ ，则
$S^{ab}\xi_b = -\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}\xi_b\partial^b\phi + \xi^a\mathscr L$
当 $\xi^a$ 为时空平移，即 $\xi^a = (\frac{\partial}{\partial x^\mu})^a$ 时，因为 $\partial_a\xi^b = 0$ ，不难证明 $L_\xi\phi = \xi^a\partial_a\phi$ ，所以
$S^{ab}\xi_b = -J^a$
两边求导得 $\partial_aS^{ab}\xi_b = -\partial_aJ^a = 0$ ，所以
$\partial_aS^{ab} = 0$
因为时空平移对应的是能量和动量， $S^{ab}$ 称为正则能动张量。
为了看出这一点，我们可以将对应的Killing矢量场代入 $J^a$ 的表达式。例如，当 $\xi^a = (\frac{\partial}{\partial t})^a$ 时，取适配坐标系就有
$J^a \equiv \frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}\dot\phi - (\frac{\partial}{\partial t})^a\mathscr L$
因此
$J^0 = \frac{\partial \mathscr L}{\partial \dot\phi}\dot\phi - \mathscr L$
这正是系统的哈密顿密度。类似地，当 $\xi^a = (\frac{\partial}{\partial x})^a$ 时，
$J^a \equiv \frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_a\phi)}\frac{\partial\phi}{\partial x} - (\frac{\partial}{\partial x})^a\mathscr L$
因此
$J^0 = \frac{\partial \mathscr L}{\partial \dot\phi}\frac{\partial\phi}{\partial x}$
注意 $J^0$ 恰好就是系统的物理动量密度，其中 $\pi = \frac{\partial \mathscr L}{\partial \dot\phi}$ 称为共轭动量密度。

常见的作用量

自由粒子

根据狭义相对论， $ds^2 = -(c^2 - v^2)dt^2$ ，因此自由粒子的作用量就可以写为
$-\int_{t_1}^{t_2}\alpha c\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}dt$
为了得到 $\alpha$ 的表达式，考虑在 $v$ 远小于 $c$ 时有 $\frac{1}{2}mv^2 = L = -\alpha c\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$ 。把 $L$ 展开为 $v$ 的幂级数（得在 $v = 0$ 处展开到二阶导数，因为一阶导数为0）并略去高次项可得
$-\alpha c + \frac{\alpha v^2}{2c}$
其中 $-\alpha c$ 为常数，不影响运动方程，对比就可以发现 $\alpha = mc$ ，因而作用量的最终表达式就是
$-\int_{t_1}^{t_2}mc^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}dt$
相应的拉格朗日量是 $-mc^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$ . 拉格朗日方程是
$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v} = 0$
代入 $L$ 的表达式就得到运动方程
$\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{3}{2}} = 0$
与 $ma\gamma^3$ 对比，可以看出这就是粒子受力为零时的运动方程。

标量场

因为 $\mathscr L = \mathscr L(\phi, \partial_a\phi)$ ，用 $\phi$ 和 $\partial_a\phi$ 能构造出的最简单的标量有这样的形式 $(\partial^a\phi)\partial_a\phi + f(\phi)$ ，其中 $f(\phi)$ 是 $\phi$ 的任一函数。实际发现符合物理情况的 $\mathscr L$ 是
$\mathscr L = -\frac{1}{2}[(\partial^a\phi)\partial_a\phi + m^2\phi^2]$
代入拉格朗日方程给出
$\partial_a\partial^a\phi - m^2\phi = 0$
这就是著名的Klein-Gordon方程。

Klein-Gordon方程是为了解决薛定谔方程的非协变性而导出，因薛定谔方程
$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = H\Psi = [-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+ V(r)]\Psi$
左边是对时间的一阶导数，而右边是对空间的二阶导数，时空坐标不平权。因此就考虑把方程左边也改成对时间的二阶导数，恰好我们有狭义相对论中的能量-动量关系 $E^2 = m^2c^4 + p^2c^2$ ，算符化之后就是
$-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi = -\hbar^2\nabla^2c^2\phi + m^2c^4\phi$
下面使用自然单位制 $\hbar = 1$ ，上式就简化为
$(-\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2)\phi - m^2\phi = 0$

我们还可以取 $\phi$ 为复标量场，即令
$\phi = \frac{1}{\sqrt 2}(\phi_1 + i\phi_2)$
其中 $\phi_1, ~ \phi_2$ 为两个实标量场， $\phi$ 的拉格朗日密度为两者的对应拉格朗日密度之和，即
$\mathscr L(\phi, \partial_a\phi; \bar\phi, \partial_a\bar\phi) = -[(\partial^a\bar\phi)\partial_a\phi + m^2\phi\bar\phi]$
容易验证上述密度代入拉格朗日方程分别给出 $\phi$ 和 $\bar\phi$ 的Klein-Gordon方程。
请注意如果我们取如下的变换
$\phi' = e^{-iq\theta}\phi, ~ \bar\phi' = e^{iq\theta}\bar\phi$
则对应的拉格朗日密度是不变的，这被称为规范变换。

电磁场

电磁场的场量是电磁4势 $A_\nu$ ，与标量场类似，其构造的标量有这样的形式 $(\partial^\mu A^\nu)\partial_\mu A_\nu + f(A_\nu)$ ，实际发现符合物理情况的 $\mathscr L$ 是
$\mathscr L = -\frac{1}{4\pi}(\partial^{[\mu} A^{\nu]})\partial_\mu A_\nu = -\frac{1}{16\pi}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$
其中 $F_{\mu\nu} = 2\partial_{[\mu} A_{\nu]}$ ，注意到 $\frac{\partial \mathscr L}{\partial A_\nu} = 0$ 和 $\frac{\partial \mathscr L}{\partial (\partial_\mu A_\nu)} = -\frac{1}{2\pi}\partial^{[\mu} A^{\nu]} = -\frac{1}{4\pi}F^{\mu\nu}$ ，就有
$-\frac{1}{4\pi}\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0$
这正是无源麦克斯韦方程。为了得到有源麦克斯韦方程，我们只需添加一项将 $\mathscr L$ 修改为
$\mathscr L = -\frac{1}{16\pi}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + J^\nu A_\nu$
之后我们会知道， $J^\nu$ 实际上就是前述标量场的守恒流。

引力场

引力的场量为度规 $g_{ab}$ ，仿照前面的讨论，我们考虑由 $g$ 的二阶导数组成的标量，最合适的人选莫过于黎曼曲率张量(缩并而得的标量)。实际上，能够给出爱因斯坦场方程的拉格朗日密度如下
$\mathscr L = \sqrt{-g}R$
其中 $R$ 为标量曲率，对应的作用量被称为爱因斯坦-希尔伯特作用量。拉格朗日方程在这里似乎不太好算，让我们直接计算作用量的变分，也就等价于计算 $\delta\mathscr L = R\delta\sqrt{-g} + \sqrt{-g}\delta R = R\delta\sqrt{-g} + \sqrt{-g}R_{ab}\delta g^{ab} + \sqrt{-g}g^{ab}\delta R_{ab}$ . 我们一项一项来算，首先注意到 $g$ 是 $g_{ab}$ 的行列式，也就是说 $g_{\mu\nu}A^{\mu\nu}$ ，其中 $A^{\mu\nu}$ 是 $g_{\mu\nu}$ 的代数余子式。而 $\frac{A^{\mu\nu}}{g} = (g_{\mu\nu})^{-1} = g^{\mu\nu}$ ，所以
$\frac{\partial g}{\partial g_{\mu\nu}} = gg^{\mu\nu}$
而
$\delta g = \frac{\partial g}{\partial g_{ab}}\delta g_{ab} = gg^{ab}\delta g_{ab}$
由这些就不难得出
$\delta\sqrt{-g} = \frac{1}{2}\sqrt{-g}g^{ab}\delta g_{ab}$
然后我们想确认下 $\delta g_{ab}$ 和 $\delta g^{ab}$ 的关系，由 $\delta^a{}_b = g^{ac}g_{cb}$ 两边取变分可得 $g^{ac}\delta g_{cb} + g_{cb}\delta g^{ac}$ ，再与 $g_{ad}$ 缩并得
$\delta g_{db} = -g_{ad}g_{cb}\delta g^{ac}$
换言之
$\delta g^{ab} = -g^{ac}g^{bd}\delta g_{cd}$
代入 $\delta\mathscr L$ 整理一下就得到
$\delta\mathscr L = \sqrt{-g}[-(R^{ab} - \frac{1}{2}g^{ab}R)\delta g_{ab} + g^{ab}\delta R_{ab}]$
接下来是计算 $\delta R_{ab}$ ，回忆下
$R_{\mu\nu\sigma}{}^\rho = \Gamma^\rho{}_{\mu\sigma,\nu} - \Gamma^\rho{}_{\nu\sigma,\mu} + \Gamma^\lambda{}_{\sigma\mu}\Gamma^\rho{}_{\nu\lambda} - \Gamma^\lambda{}_{\sigma\nu}\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}$
对上式变分给出
$\delta R_{\mu\nu\sigma}{}^\rho = \delta\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma,\nu} - \delta\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma,\mu} + \Gamma^\rho{}_{\nu\lambda}\delta\Gamma^\lambda{}_{\sigma\mu} + \Gamma^\lambda{}_{\sigma\mu}\delta\Gamma^\rho{}_{\nu\lambda} - \Gamma^\lambda{}_{\sigma\nu}\delta\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda} - \Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\delta\Gamma^\lambda{}_{\sigma\nu}$
注意到协变导数和偏导数的关系
$\delta\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma;\nu} = \delta\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma,\nu} + \Gamma^\rho{}_{\nu\lambda} \delta\Gamma^\lambda{}_{\mu\sigma} - \Gamma^\lambda{}_{\nu\mu} \delta\Gamma^\rho{}_{\lambda\sigma} - \Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma} \delta\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}$
就容易验证
$\delta R_{\mu\nu\sigma}{}^\rho = \delta\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma;\nu} - \delta\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma;\mu}$
以下换回抽象指标，里奇张量的变分就简单地缩并得到
$\delta R_{ab}= \delta\Gamma^c{}_{ab;c} - \delta\Gamma^c{}_{cb;a}$
注意到 $\nabla_cg^{ab} = 0$ ，就有
$g^{ab}\delta R_{ab} = \nabla_c(g^{ab}\delta\Gamma^c{}_{ab} - g^{bc}\delta\Gamma^d{}_{db})$
是全微分项，在求积分得作用量时根据高斯定理其等于被微分项在无穷远边界处的积分，我们认为其为零。综上就有
$\delta S = \int\delta\mathscr L = \int-(R^{ab} - \frac{1}{2}g^{ab}R)\sqrt{-g}\delta g_{ab}$
这就给出爱因斯坦场方程
$R^{ab} - \frac{1}{2}g^{ab}R = 0$

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七.正则化愿风去了
吴恩达机器学习之正则化（Regularization）http://www.cnblogs.com/jianxinzhou/p/4083921.html从数学公式上理解L1和L2https://blog.csdn.net/b876144622/article/details/81276818虽然在线性回归中加入基函数会使模型更加灵活，但是很容易引起数据的过拟合。例如将数据投影到30维的基函数上，模
腾讯发表多模态综述，一文详解多模态大模型存内计算开发者社区多模态大模型人工智能 chatgpt AIGC 量子计算 AI-native gpt agi
多模态大语言模型（MLLM）是近年来兴起的一个新的研究热点，它利用强大的大语言模型作为大脑来执行多模态任务。MLLM令人惊讶的新兴能力，如基于图像写故事和无OCR的数学推理，在传统方法中是罕见的，这表明了一条通往人工通用智能的潜在道路。在本文中，追踪多模态大模型最新热点，讨论多模态关键技术以及现有在情绪识别上的应用。腾讯AILab发表了一篇关于多模态大模型的最新综述《MM-LLMs:RecentA
创设问题情境的策略平常心666
创设情境要有情趣案例：可以圈多少地如何让孩子喜欢数学，是数学教师必须思考和解决的问题。有趣的情境会吸引学生，使学生主动走近数学学习。因此，教师要结合学生的年龄特点和实际生活，创造出富有数学情趣的情境。创设情境要有生活案例：克与千克的生活情境正如著名数学家华罗庚所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日月之繁，无处不用数学。”数学与现实生活有着密切的联系。创设情境要有问题案例：喝出
丁俊贵之《“女人和男人”那些事》兴时态_198812
【“女人和男人”那些事】生活中，我们经常用性别来给很多现象和问题贴标签。比如：女性发脾气是常见的事情，所以不要跟她们讲道理，要让着她们；女性考虑问题总是比较感性，不如男性那么理性、严谨、全面；女生的数学成绩普遍比较差，因此选文科的女生更多；……许许多多像这样的认知，已经成为我们根深蒂固的信念。我们在生活中哪怕不会直接这样讲，但多多少少都会有类似的想法和感受，并且用这些信念去理解和认知他人。一、人世
MATLAB语言基础教程、小项目1：简单的计算器、小项目2：有页面的计算器、使用App Designer创建GUI计算器 azuredragonz 学习教程 matlab 开发语言
MATLABMATLAB语言基础教程1.MATLAB简介2.基本语法变量与赋值向量与矩阵矩阵运算数学函数控制流3.函数4.绘图案例：简单方程求解小项目1：简单的科学计算器功能代码项目说明小项目2：有页面的计算器使用AppDesigner创建GUI计算器主要步骤：完整代码（使用MATLAB编写）说明：如何运行：小项目总结MATLAB语言基础教程1.MATLAB简介MATLAB（矩阵实验室）是一种用于
使用FPGA接收MIPI CSI RX信号并进行去抖动、RGB转YUV处理：FX3014 USB3.0 UVC传输与帧率控制源代码，FPGA实现MIPI CSI RX接收，去Debayer， RGB转 kVfINoSzdrt fpga开发程序人生
fpgamipicsirx接收去debayer,rgb转yuv,fx3014usb3.0uvc传输与帧率控制源代码，具体架构看图，除dphy物理层外，mipi均为源码sensorimx219mipi源码mipi4lanecsirxraw10fpgamachXO3lf-690usb3.0fx301432bityuvdatawithframesync测试模式3280*246415fps1920*108
搞笑的数学老师鹿悦
今天,陈老师来到了我们班,我们都一脸闷闷不乐的写着家庭作业。陈老师一提到回答问题,我们的脸都快要掉到抽屉里了。"小牛，你来回答一下这道题。"突然，我们班都安静的鸦雀无声，紧接着一阵哄堂大笑的声音在班里回荡着。我们都说陈老师很有意思：史卓听就叫小史，曲子昱就叫小曲，朱宇豪就叫小朱，于恩智就叫小于。至于我呀，陈老师经常叫我小佑或者小张2号。（因为班里有许多姓张的同学）。我们都非常喜欢这个风趣幽默的陈老
希希~嗯嗯~ 猪猪女孩小哒哒
电话铺垫无聊天当天来上课的情况：外婆陪三岁的希希，妈妈陪小的大的上课规则感建立的还算不错，二的满场跑完全坐不住妈妈想找外教早教机构，因为大的在托班，里面会有数学、外教等分支教学课程。老二妈妈没怎么带教二宝。妈妈想给她找语言妈妈问有没有英文我的回答是英文课会有中教，应该回答中外教一起妈妈夸赞宝宝10个月会走了，今天见到的情形是宝宝走几步路就会跌倒，没有联系过爬，就开始走，长大以后模仿别人动作上面做的
如何做好人生的选择题？百科全书式天才——赫伯特·西蒙给你答案伽马有话说
赫伯特·西蒙是谁？想必知道的人非常少。但当看到他的履历后，相信没有人再怀疑他是个“天才”。西蒙出生于1916年6月15日，是个美国人，他的名字全称为赫伯特·亚历山大·西蒙，在2001年2月9日与世长辞，在这84年的岁月中，西蒙以27岁时取得的政治学博士学位为开端，先后步入了政治学、管理学、认知心理学、信息科学、人工智能、科学哲学、应用数学、统计学、运筹学、控制论、数理经济学、公共管理等领域，在这些
5/3亲子践行豆果妈
90天打卡累计天数：53/90#宣言（做好当知当觉的父母，处理情绪是第一步）#孩子第一个30天目标：每晚21:45前睡觉家长第一个30天目标：每晚23:00前睡觉加油小宝（黄唯嘉+10岁）践行打卡53/901.早睡早起：22：30-8：302.先吃青蛙：13.️今日闪光点：（1）早晨和爸爸一起去晨跑（2）上午带弟弟，陪弟弟玩了一个上午（3）下午完成了部分作业，还剩数学卷和采访小报#父母教练检视#孩
科普阅读两不误，这才是儿童科普阅读的正确打开方式麦麦安
"孩子数学不好，根源在于语文没学好"，这一观点已经被越来越多的老师和家长接受。虽然阅读理解力看上去只和语文有关，事实上，它是所有学科的根基。比如一道数学应用题，只有正确地看懂了各种条件，才能把答案快速地解出来。在美国的小学教育体系中，很重要的一项任务是帮助儿童进行大量阅读，从而培养出理解及思考的能力。这种说法虽然正确，但很多孩子也会存在这样一个问题：绘本故事类的阅读量不小，看小说听故事几乎可以独立
洛谷P1719 最大加权矩形 0hang 算法 c++开发语言
洛谷P1719最大加权矩形题目描述为了更好的备战NOIP2013，电脑组的几个女孩子LYQ,ZSC,ZHQ认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。校长先给他们一个n\timesnn×n矩阵。要求矩阵中最大加
java短路运算符和逻辑运算符的区别 3213213333332132 java基础
/* * 逻辑运算符——不论是什么条件都要执行左右两边代码 * 短路运算符——我认为在底层就是利用物理电路的“并联”和“串联”实现的 * 原理很简单，并联电路代表短路或（||），串联电路代表短路与（&&）。 * * 并联电路两个开关只要有一个开关闭合，电路就会通。 * 类似于短路或（||），只要有其中一个为true（开关闭合）是
Java异常那些不得不说的事白糖_ java exception
一、在finally块中做数据回收操作比如数据库连接都是很宝贵的，所以最好在finally中关闭连接。 JDBCAgent jdbc = new JDBCAgent(); try{ jdbc.excute("select * from ctp_log"); }catch(SQLException e){ ... }finally{ jdbc.close();
utf-8与utf-8(无BOM)的区别 dcj3sjt126com PHP
BOM——Byte Order Mark，就是字节序标记在UCS 编码中有一个叫做"ZERO WIDTH NO-BREAK SPACE"的字符，它的编码是FEFF。而FFFE在UCS中是不存在的字符，所以不应该出现在实际传输中。UCS规范建议我们在传输字节流前，先传输字符"ZERO WIDTH NO-BREAK SPACE"。这样如
JAVA Annotation之定义篇周凡杨 java 注解 annotation 入门注释
Annotation: 译为注释或注解 An annotation, in the Java computer programming language, is a form of syntactic metadata that can be added to Java source code. Classes, methods, variables, pa
tomcat的多域名、虚拟主机配置 g21121 tomcat
众所周知apache可以配置多域名和虚拟主机，而且配置起来比较简单，但是项目用到的是tomcat，配来配去总是不成功。查了些资料才总算可以，下面就跟大家分享下经验。很多朋友搜索的内容基本是告诉我们这么配置：在Engine标签下增面积Host标签，如下： <Host name="www.site1.com" appBase="webapps"
Linux SSH 错误解析（Capistrano 的cap 访问错误 Permission ） 510888780 linux capistrano
1.ssh -v [email protected] 出现 Permission denied (publickey,gssapi-keyex,gssapi-with-mic,password). 错误运行状况如下： OpenSSH_5.3p1, OpenSSL 1.0.1e-fips 11 Feb 2013 debug1: Reading configuratio
log4j的用法 Harry642 java log4j
一、前言： log4j 是一个开放源码项目，是广泛使用的以Java编写的日志记录包。由于log4j出色的表现，当时在log4j完成时，log4j开发组织曾建议sun在jdk1.4中用log4j取代jdk1.4 的日志工具类，但当时jdk1.4已接近完成，所以sun拒绝使用log4j，当在java开发中
mysql、sqlserver、oracle分页，java分页统一接口实现 aijuans oracle jave
定义：pageStart 起始页，pageEnd 终止页,pageSize页面容量 oracle分页：　　　　select * from ( select mytable.*,rownum num from (实际传的SQL) where rownum<=pageEnd) where num>=pageStart sqlServer分页：
Hessian 简单例子 antlove java Web service hessian
hello.hessian.MyCar.java package hessian.pojo; import java.io.Serializable; public class MyCar implements Serializable { private static final long serialVersionUID = 473690540190845543
数据库对象的同义词和序列百合不是茶 sql 序列同义词 ORACLE权限
回顾简单的数据库权限等命令; 解锁用户和锁定用户 alter user scott account lock/unlock; //system下查看系统中的用户 select * dba_users; //创建用户名和密码 create user wj identified by wj; identified by //授予连接权和建表权 grant connect to
使用Powermock和mockito测试静态方法 bijian1013 持续集成单元测试 mockito Powermock
实例： package com.bijian.study; import static org.junit.Assert.assertEquals; import java.io.IOException; import org.junit.Before; import org.junit.Test; import or
精通Oracle10编程SQL(6)访问ORACLE bijian1013 oracle 数据库 plsql
/* *访问ORACLE */ --检索单行数据 --使用标量变量接收数据 DECLARE v_ename emp.ename%TYPE; v_sal emp.sal%TYPE; BEGIN select ename,sal into v_ename,v_sal from emp where empno=&no; dbms_output.pu
【Nginx四】Nginx作为HTTP负载均衡服务器 bit1129 nginx
Nginx的另一个常用的功能是作为负载均衡服务器。一个典型的web应用系统，通过负载均衡服务器，可以使得应用有多台后端服务器来响应客户端的请求。一个应用配置多台后端服务器，可以带来很多好处：负载均衡的好处增加可用资源增加吞吐量加快响应速度，降低延时出错的重试验机制 Nginx主要支持三种均衡算法： round-robin l
jquery-validation备忘白糖_ jquery css F#Firebug
留点学习jquery validation总结的代码： function checkForm(){ validator = $("#commentForm").validate({// #formId为需要进行验证的表单ID errorElement :"span",// 使用"div"标签标记错误，默认:&
solr限制admin界面访问（端口限制和http授权限制） ronin47 限定Ip访问
solr的管理界面可以帮助我们做很多事情，但是把solr程序放到公网之后就要限制对admin的访问了。可以通过tomcat的http基本授权来做限制，也可以通过iptables防火墙来限制。我们先看如何通过tomcat配置http授权限制。第一步：在tomcat的conf/tomcat-users.xml文件中添加管理用户，比如： <userusername="ad
多线程-用JAVA写一个多线程程序，写四个线程，其中二个对一个变量加1，另外二个对一个变量减1 bylijinnan java 多线程
public class IncDecThread { private int j=10; /* * 题目:用JAVA写一个多线程程序，写四个线程，其中二个对一个变量加1，另外二个对一个变量减1 * 两个问题： * 1、线程同步--synchronized * 2、线程之间如何共享同一个j变量--内部类 */ public static
买房历程 cfyme
2015-06-21: 万科未来城，看房子 2015-06-26: 办理贷款手续，贷款73万，贷款利率5.65=5.3675 2015-06-27: 房子首付,签完合同 2015-06-28，央行宣布降息 0.25，就2天的时间差啊，没赶上。首付，老婆找他的小姐妹接了5万，另外几个朋友借了1-
[军事与科技]制造大型太空战舰的前奏 comsci 制造
天气热了........空调和电扇要准备好.......... 最近,世界形势日趋复杂化,战争的阴影开始覆盖全世界.......... 所以,我们不得不关
dateformat dai_lm DateFormat
"Symbol Meaning Presentation Ex." "------ ------- ------------ ----" "G era designator (Text) AD" "y year
Hadoop如何实现关联计算 datamachine mapreduce hadoop 关联计算
选择Hadoop，低成本和高扩展性是主要原因，但但它的开发效率实在无法让人满意。以关联计算为例。假设：HDFS上有2个文件，分别是客户信息和订单信息，customerID是它们之间的关联字段。如何进行关联计算，以便将客户名称添加到订单列表中？ &nbs
用户模型中修改用户信息时，密码是如何处理的 dcj3sjt126com yii
当我添加或修改用户记录的时候对于处理确认密码我遇到了一些麻烦，所有我想分享一下我是怎么处理的。场景是使用的基本的那些(系统自带)，你需要有一个数据表(user)并且表中有一个密码字段(password),它使用 sha1、md5或其他加密方式加密用户密码。面是它的工作流程: 当创建用户的时候密码需要加密并且保存，但当修改用户记录时如果使用同样的场景我们最终就会把用户加密过的密码再次加密，这
中文 iOS/Mac 开发博客列表 dcj3sjt126com Blog
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js去除空格，去除左右两端的空格蕃薯耀去除左右两端的空格 js去掉所有空格 js去除空格
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SpringMVC4零配置--web.xml hanqunfeng springmvc4
servlet3.0+规范后，允许servlet，filter，listener不必声明在web.xml中，而是以硬编码的方式存在，实现容器的零配置。 ServletContainerInitializer：启动容器时负责加载相关配置 package javax.servlet; import java.util.Set; public interface ServletContainer
《开源框架那些事儿21》：巧借力与借巧力 j2eetop 框架 UI
同样做前端UI，为什么有人花了一点力气，就可以做好？而有的人费尽全力，仍然错误百出？我们可以先看看几个故事。故事1：巧借力，乌鸦也可以吃核桃有一个盛产核桃的村子，每年秋末冬初，成群的乌鸦总会来到这里，到果园里捡拾那些被果农们遗落的核桃。核桃仁虽然美味，但是外壳那么坚硬，乌鸦怎么才能吃到呢？原来乌鸦先把核桃叼起，然后飞到高高的树枝上，再将核桃摔下去，核桃落到坚硬的地面上，被撞破了，于是，
JQuery EasyUI 验证扩展可怜的猫 jquery easyui 验证
最近项目中用到了前端框架-- EasyUI，在做校验的时候会涉及到很多需要自定义的内容，现把常用的验证方式总结出来，留待后用。以下内容只需要在公用js中添加即可。使用类似于如下： <input class="easyui-textbox" name="mobile" id="mobile&
架构师之httpurlconnection----------读取和发送(流读取效率通用类) nannan408
1.前言. 如题. 2.代码. /* * Copyright (c) 2015, S.F. Express Inc. All rights reserved. */ package com.test.test.test.send; import java.io.IOException; import java.io.InputStream
Jquery性能优化 r361251 JavaScript jquery
一、注意定义jQuery变量的时候添加var关键字这个不仅仅是jQuery，所有javascript开发过程中，都需要注意，请一定不要定义成如下： $loading = $('#loading'); //这个是全局定义，不知道哪里位置倒霉引用了相同的变量名，就会郁闷至死的二、请使用一个var来定义变量如果你使用多个变量的话，请如下方式定义： . 代码如下: var page
在eclipse项目中使用maven管理依赖 tjj006 eclipse maven
概览: 如何导入maven项目至eclipse中建立自有Maven Java类库服务器建立符合maven代码库标准的自定义类库 Maven在管理Java类库方面有巨大的优势，像白衣所说就是非常“环保”。我们平时用IDE开发都是把所需要的类库一股脑的全丢到项目目录下，然后全部添加到ide的构建路径中，如果用了SVN/CVS，这样会很容易就把
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