（丘维声）高等代数课程笔记：映射的乘法，可逆映射

3.12 映射的乘法，可逆映射

定义 1. 映射的乘积：设 $f:A\to B$，$g:B\to C$ 为两个映射，称
$$(g\cdot f)(a):=g(f(a)),\forall a\in A$$
为映射 $g$ 与 $f$ 的 乘积 或 合成。

容易验证，映射的乘积满足结合律，但不满足交换律。
$$h\cdot (g\cdot f)=(h\cdot g)\cdot f$$
定义 2. 恒等映射：若映射 $f:A\to A,a\mapsto a$， 则称 $f$ 为 $A$ 上的 恒等映射，记作：$1_A$。

命题 1：设映射 $f:A\to B$，则 $f\cdot 1_A=f$。即：
$$(f\cdot 1_A)(a)=f(a),\forall a\in A.$$

类似地，有：$1_B\cdot f=f$。

定义 3. 可逆映射与逆映射：设映射 $f:A\to B$，若存在映射 $g:B\to A$，使得：
$$g\cdot f=1_A,f\cdot g=1_B,$$
则称 $f$ 为 可逆映射，$g$ 称为 $f$ 的逆映射。显然，$f$ 也是 $g$ 的逆映射。

可以证明：若映射 $f$ 是可逆的，则 $f$ 的逆映射是唯一的。将 $f$ 的逆映射记作 $f^{-1}$，则：
$$f^{-1}\cdot f=1_A,f\cdot f^{-1}=1_B.$$

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下面来探讨：可逆映射与满射、单射以及双射的关系。

定理 1：映射 $f:A\to B$ 是可逆映射 $⟺$ $f$ 是双射。

证明：

（1）必要性 “$⟹$”：设 $f:A\to B$ 是可逆映射，则存在 $f$ 的逆映射 $f^{-1}:B\to A$。

先证明 $f$ 为满射。$\forall b\in B$，有 $f^{-1}(b)\in A$，且有：
$$f(f^{-1}(b))=(f\cdot f^{-1})(b)=1_B(b)=b.$$
因此，$f^{-1}(b)$ 确为 $b$ 在 $f$ 下的原像。从而 $f$ 为满射¹。

再证明 $f$ 为单射。设 $a_1,a_2\in A$，若 $f(a_1)=f(a_2)$，则：
$$f^{-1}(f(a_1))=f^{-1}(f(a_2))⟺(f^{-1}\cdot f)(a_1)=(f^{-1}\cdot f)(a_2)⟺1_A(a_1)=1_A(a_2)⟺a_1=a_2.$$
因此，$f$ 是单射。

综上，$f$ 为双射。

（2）充分性“$⟸$”：设 $f:A\to B$ 为双射。

由“满性”：$\forall b\in B$，$b$ 在 $f$ 下至少存在一个原像。

由“单性”：$\forall b\in B$，存在唯一的 $a\in A$ 使得：$f(a)=b$。

如此一来，可以构造一个映射：
$$\begin{array}{rl}g:B& \to A\\ b& \mapsto a\end{array}$$
并且有：
$$f(g(b))=(f\cdot g)(b)=f(a)=b=1_B(b).$$
即：$f\cdot g=1_B$。

另外，对于 $\forall x\in A$，
$$g(f(x))=(g\cdot f)(x)=x.$$
因此，$g\cdot f=1_A$。

从而 $f$ 是可逆映射。

综上，定理得证。

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参考：

1. 邱维声. 高等代数课程. 哔哩哔哩.
2. 邱维声. 高等代数——大学高等代数课程创新教材（上册），北京：清华大学出版社，2010.06.
3. 邱维声. 高等代数——大学高等代数课程创新教材（下册），北京：清华大学出版社，2010.10.

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1. 满射：$f:A\to B$，$\forall b\in B$，$b$ 在 $f$ 下至少有一个原像。 ↩︎