数值分析(10)：数值积分之Gauss型求积公式

1. 引言

在前一章《数值分析(9)：数值积分之Newton-Cotes求积公式和复合求积公式》中，提出使用等分区间的方式来给出插值节点，从而得到lagrange插值多项式，最后得到Newton-Cotes求积公式。

从Newton-Cotes求积公式的余项中可以知道，它的代数精度有以下规律：

可以看到: Newton-Cotes求积公式是等距节点，n+1个节点，代数精度至少是n次。

那么同样的节点数，不采用等距分布，代数精度能否提高?
答案是肯定的，我们来看下面这个例子：

根据《数值分析(8)：数值积分之Lagrange法》可知，代数精度与待定系数的数量相关，待定系数数量为$n$，那么代数精度至少为$n-1$。

对于Newton-Cotes求积公式，因为要求区间等分，所以$x_0$和$x_1$都已经被确定了，待定的系数只有$A_0$，$A_1$，因此代数精度至少为1。

而如果不等分区间，那么$x_0$和$x_1$也是待定系数，就有4个待定系数，代数精度至少为3.

为了尽可能地提升代数精度，就诞生了Gauss型求积公式，它的区间不一定时等分的。

2. Gauss型求积公式

如前所述，Gauss型求积公式就是尽可能地提升代数精度，如果将区间分为$n$份，那么就有$2n+2$个未知数，代数精度至少为$2n+1$

那么此时的代数精度还可能会提高吗？因为理论上说是至少为$2n+1$次代数精度，但是是不是可能出现$2n+2$次代数精度的情况呢？答案是，最高也就是$2n+1$，不可能出现$2n+2$次代数精度的情况，证明如下：

2.1 Gauss型求积公式的定义

形如(4.1)具有最高代数精度(2n+1)次的求积公式
叫Gauss型求积公式，相应的求积节点叫Gauss点。

2.2 Gauss点的性质

关于Gauss点判定的充分必要条件为：

证明过程如下：

通过以上定理可以很容易得到下面这个定理，因为Gauss型求积公式的代数精度就是$2n+1$次，即：

此定理证明过程如下：

2.3 构造Gauss型求积公式

可以看到Gauss型求积公式虽然精度高，但是待定系数太多，不方便求解，常用的求解方法有以下两个：

方法一：待定系数法。如例1

方法二：用定理4.2，先求求积节点，即用正交多项式的零点做Gauss点，再求求积系数，例子如下所示：

2.4 Gauss型求积公式的余项

Gauss型求积公式的 余项$E_n(f)$ 如下所示：

证明过程如下：

2.5 Gauss型求积公式的稳定性与收敛性

Gauss型求积公式稳定性定理如下：

Gauss型求积公式收敛性定理如下：

2.6 Gauss-Legendre求积公式

可以看到前面的Gauss型求积公式是不限制权函数的，如果权函数为1，且积分区间为$[-1,1]$，那么得到的即为Gauss-Legendre求积公式：

其求积余项为：

2.7 Gauss-Chebyshev求积公式

如果Gauss型求积公式的权函数为$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，且积分区间为$[-1,1]$，那么得到的即为Gauss-Chebyshev求积公式，定义如下：

参考文献：

关治，陆金甫《数值方法》