数学建模入门 方法及代码

数学建模入门

数学模型
（1）原型与模型
模型是原型的替代物。（对原型提炼构造。）
模型不是原型，既简单于原型又高于原型。
模型的分类

数学模型是对特定对象，特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用数学工具，得到的近似数学结构。

模型是死的，模型优化是活的。

建模的十大算法
1.蒙特卡罗算法
构造或描述概率过程
实现从已知概率分布抽样
建立各种估计量

1分子模拟计算
使用蒙特·卡罗方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的：
1． 使用随机数发生器产生一个随机的分子构型。
2． 对此分子构型的其中粒子坐标做无规则的改变，产生一个新的分子构型。
3． 计算新的分子构型的能量。
4． 比较新的分子构型于改变前的分子构型的能量变化，判断是否接受该构型。

2采用蒙特卡罗方法进行风险决策分析
确定影响该项目的7个主要风险变量
确定每个风险变量的概率分布（采用“德尔菲法”估计出以上 7 个风险变量概率分布和其分布函）
当不知道随机变量的概率模型服从那个分布时，可以使用均匀分布来构造；各种测量的误差、射击命中率、人的身高与体重等服从正态分布；指数分布可用在排队论与可靠性分析中；泊松分布可用在产品检验、排队系统、物理等领域中。
3MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广，该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。
4蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分，维数越高，积分效率越高。
unifrnd可以创建随机的连续均匀分布的数组。
1.R = unifrnd(A,B)从x到y产生区间[1,2],[2,3],[3,4],[4,5],[5,6],[6,7],[7,8],[8,9],[9.10].然后从每个区间产生一个随机数，得到R。
.R = unifrnd(A,B,M,N,…) or R = unifrnd(A,B,[M,N,…])
像是撒点然后判断在计算
数学计算实例
https://blog.csdn.net/qq_41598072/article/details/85394010
https://blog.csdn.net/Yelbosh/article/details/8557749

多项式拟合
p=polyfit(x,y,n)
X,y为样本向量，n为最高阶次。

Python数据拟合

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
 
x = np.linspace(300,400,20)
y = x + np.random.random_integers(5,20,20) #随机取5到10中间20个数
poly = np.polyfit(x,y,deg=1)
z = np.polyval(poly, x)
plt.plot(x, y, 'o')
plt.plot(x, z)
 
plt.show()
# -*- coding: cp936 -*-
import math
import random
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
 
 
'''
在x=[0,1]上均匀采样10个点组成一个数据集D=[a,b]
'''
a = []
b = []
x=0
def func(x):
    mu=0
    sigma=0.1
    epsilon = random.gauss(mu,sigma) #高斯分布随机数
    return np.sin(2*np.pi*x)+epsilon
for i in range(0,10):
    x=x+1.0/11.0
    a.append(x)
    b.append(func(x))
 
 
 
 
#定义输出矩阵函数
def print_matrix( info, m ): 
    i = 0; j = 0; l = len(m)
    print info
    for i in range( 0, len( m ) ):
        for j in range( 0, len( m[i] ) ):
            if( j == l ):
                print ' |',
            print '%6.4f' % m[i][j],
        print
    print
 
 
#定义交换变量函数
def swap( a, b ):
    t = a; a = b; b = t
    
#定义线性方程函数，高斯消元法    
def solve( ma, b, n ):
    global m; m = ma # 这里主要是方便最后矩阵的显示
    global s;    
    i = 0; j = 0; row_pos = 0; col_pos = 0; ik = 0; jk = 0
    mik = 0.0; temp = 0.0  
    n = len( m )
# row_pos 变量标记行循环, col_pos 变量标记列循环
    while( ( row_pos < n ) and( col_pos < n ) ):
        # 选主元
        mik = - 1
        for i in range( row_pos, n ):
            if( abs( m[i][col_pos] ) > mik ):
                mik = abs( m[i][col_pos] )
                ik = i
        if( mik == 0.0 ):
            col_pos = col_pos + 1
            continue
        # 交换两行
        if( ik != row_pos ):
            for j in range( col_pos, n ):
                swap( m[row_pos][j], m[ik][j] )
                swap( m[row_pos][n], m[ik][n] );  
        try:
            # 消元
            m[row_pos][n] /= m[row_pos][col_pos]
        except ZeroDivisionError:
            # 除零异常 一般在无解或无穷多解的情况下出现……
            return 0;     
        j = n - 1
        while( j >= col_pos ):
            m[row_pos][j] /= m[row_pos][col_pos]
            j = j - 1
        for i in range( 0, n ):
            if( i == row_pos ):
                continue
            m[i][n] -= m[row_pos][n] * m[i][col_pos]
            j = n - 1
            while( j >= col_pos ):
                m[i][j] -= m[row_pos][j] * m[i][col_pos]
                j = j - 1
        row_pos = row_pos + 1; col_pos = col_pos + 1
    for i in range( row_pos, n ):
        if( abs( m[i][n] ) == 0.0 ):
            return 0
    return 1
 
 
 
 
matrix_A=[]         #将系数矩阵A的所有元素存到a[n-1][n-1]中
matrix_b=[]
X=a
Y=b
N=len(X)
M=3    #对于题目中要求的不同M[0,1,3,9]值，需要在这里更改，然后重新编译运行
 
 
#计算线性方程组矩阵A的第[i][j]个元素A[i][j]    
def matrix_element_A(x,i,j,n): 
    sum_a=0
    for k in range(0,n):   
        sum_a = sum_a+pow(x[k],i+j-2)   #x[0]到x[n-1]，共n个元素求和
    return sum_a
 
 
for i in range(0,M+1):  
    matrix_A.append([])  
    for j in range(0,M+1):  
        matrix_A[i].append(0)
        matrix_A[i][j] = matrix_element_A(X,i+1,j+1,N)
#计算线性方程组矩阵b的第[i]行元素b[i]
def matrix_element_b(x,y,i,n): 
    sum_b=0
    for k in range(0,n):
        sum_b=sum_b+y[k]*pow(x[k],i-1)  #x[0]到x[n-1]，共n个元素求和
    return sum_b
for i in range(0,M+1):
    matrix_b.append(matrix_element_b(X,Y,i+1,N))
 
 
#函数matrix_element_A_()用来求扩展矩阵A_，array_A表示系数矩阵A，array_b表示方程组右侧常数，A_row表示A的行秩
def matrix_element_A_(array_A,array_b,A_row):
    M=A_row  #局部变量M，与全局变量M无关
    matrix_A_= []
    for i in range(0,M+1):
        matrix_A_.append([])
        for j in range(0,M+2):
            matrix_A_[i].append(0)
            if j<M+1:
                matrix_A_[i][j] = array_A[i][j]
            elif j==M+1:     #如果不加这个控制条件，matrix_A_将被array_b刷新
                matrix_A_[i][j] = array_b[i]
    return matrix_A_
matrix_A_ = matrix_element_A_(matrix_A,matrix_b,M)
 
 
'''
多项式拟合函数
'''
#x为自变量，w为多项式系数，m为多项式的阶数
def poly_fit(x,wp,m):
    sumf = 0
    for j in range(0,m+1):
        sumf=sumf+wp[j]*pow(x,j)
    return sumf
 
 
'''
sin(2*pi*x)在x=0处的3阶泰勒展开式
'''
coef_taylor = [] #正弦函数的泰勒展开式系数
K=3  #展开到K阶
if K%2==0:
    print "K必须为正奇数"
s = 0
k=(K-1)/2+1  #小k为系数个数
#求K阶泰勒展开式的系数：
for i in range(0,k):
    s = pow(-1,i)*pow(2*np.pi,2*i+1)/math.factorial(2*i+1)
    coef_taylor.append(s)
print "%d阶泰勒级数展开式的系数为：" %K
print coef_taylor
#tx为泰勒展开式函数的自变量    
def sin_taylor(tx):
    sum_tay=0
    for i in range(0,k):
        sum_tay=sum_tay+coef_taylor[i]*pow(tx,2*k+1)
    return sum_tay
poly_taylor_a = []   #泰勒展开式函数的输入值
poly_taylor_b = []   #泰勒展开式函数的预测值
for i in range(0,N):
    poly_taylor_a.append(a[i])
    poly_taylor_b.append(sin_taylor(poly_taylor_a[i]))
 
 
 
 
'''
在x=[0,1]上生成100个点，作为测试集
'''
testa = []  #测试集的横坐标
testb = []  #测试集的纵坐标
x=0
for i in range(0,100):
    x=x+1.0/101.0
    testa.append(x)
    testb.append(np.sin(2*np.pi*x))
    
'''
计算泰勒展开式模型的训练误差和测试误差
'''
#定义误差函数：
#ly为真实值，fx为预测值
def Lfun(ly,fx):
    L=0
    for i in range(0,len(fx)):
        L=L+pow(ly[i]-fx[i],2)
    return L
 
 
'''
主程序
'''
if __name__ == '__main__':
# 求解方程组, 并输出方程组的可解信息
    ret = solve( matrix_A_, 0, 0 ) 
    if( ret== 0 ):
        print "方 程组无唯一解或无解\n"
   
    # 输出方程组及其解，解即为w[j]
    w = []
    for i in range( 0, len( m ) ):
        w.append(m[i][len( m )])
    print "M=%d时的系数w[j]：" %M
    print w
    
    #多项式拟合后的预测值：
    poly_a = []
    poly_b = []
    for i in range(0,N):
        poly_a.append(a[i])
        poly_b.append(poly_fit(poly_a[i],w,M))
 
 
    #fxtay为泰勒展开式的预测值,LCtaylor为测试误差：
    fxtay = []
    for i in range(0,100):
         fxtay.append(sin_taylor(testa[i]))
    LCtaylor = Lfun(testb,fxtay)/100
    print "三阶泰勒展开式的测试误差为：%f" %LCtaylor
 
 
    #fxpoly为M阶多项式拟合函数的预测值，LXpoly为训练误差：
    fxpoly = []
    for i in range(0,N):   #len(poly_b)=N=10
        fxpoly.append(poly_fit(a[i],w,M))
    LXpoly = Lfun(b,fxpoly)/len(poly_b)
    print "M=%d时多项式拟合函数的训练误差为：%f" % (M,LXpoly)
 
 
    #fxpolyc为M阶多项式拟合函数的预测值，LCpoly为测试误差：
    fxpolyc = []
    for i in range(0,100):
        fxpolyc.append(poly_fit(testa[i],w,M))
    LCpoly = Lfun(testb,fxpolyc)/100 
    print "M=%d时多项式拟合函数的测试误差为：%f" % (M,LCpoly)
    
    #多项式拟合的效果：
    fig1 = plt.figure(1)
    plt.plot(poly_a,poly_b,color='blue',linestyle='solid',marker='o') 
    #加入epsilon后的样本：
    plt.plot(a,b,color='red',linestyle='dashed',marker='x') 
    #泰勒展开式拟合效果：
    plt.plot(poly_taylor_a,poly_taylor_b,color='yellow',linestyle='dashed',marker='o')
    #figure(2)对比多项式拟合函数与训练数据：
    fig2 = plt.figure(2)
    plt.plot(poly_a,poly_b,color='blue',linestyle='solid',marker='o')
    plt.plot(a,b,color='red',linestyle='dashed',marker='x')
plt.show()

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x=np.arange(1,17,1) #生成散点列表作为x的值
y=np.array([4.00, 6.40, 8.00, 8.80, 9.22, 9.50, 9.70, 9.86, 10.00, 10.20, 10.32, 10.42, 10.50, 10.55, 10.58, 10.60]) #给定y的散点值
#用3次多项式拟合
z1=np.polyfit(x,y,3)
p1=np.poly1d(z1)
print(p1) #打印拟合的多项式
yvals=p1(x) #拟合后的y值
plot1=plt.plot(x,y,'r*',label='original values')
plot2=plt.plot(x,yvals,'b',label='polyfit values')
plt.xlabel('X ')
plt.ylabel('Y')
# 'best'         : 0, (only implemented for axes legends)(自适应方式)
# 'upper right'  : 1,
# 'upper left'   : 2,
# 'lower left'   : 3,
# 'lower right'  : 4,
# 'right'        : 5,
# 'center left'  : 6,
# 'center right' : 7,
# 'lower center' : 8,
# 'upper center' : 9,
# 'center'       : 10,
plt.legend(loc=3) #设置图示的位置
plt.title('polyfitting') #设置标题
plt.show() #显示图片
plt.savefig('p1.png')

matlab 各种参数估计函数
https://blog.csdn.net/qq278672818/article/details/62038712

Matlab插值
https://blog.csdn.net/ljyljyok/article/details/80107583

https://blog.csdn.net/gy99csdn/article/details/82025469