AA@对称多项式@对称多项式基本定理
文章目录
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- 从一元多项式的根与多项式系数的关系到对称多项式
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- 初等对称多项式
- 对称多项式
- 对称多项式定义推出的性质
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- 多项式的多项式
- 对称多项式基本定理
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- 证明
- 将对称多项式分解为初等对称多项式的多项式
从一元多项式的根与多项式系数的关系到对称多项式
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对称多项式是多元多项式中常见的一种
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对称多项式的来源之一是一元多项式根的研究
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设 f ( x ) = x n + ∑ i = 1 n a i x n − i ( 1 ) f(x)=x^n+\sum_{i=1}^{n}a_ix^{n-i}\;(1) f(x)=xn+∑i=1naixn−i(1)是 P [ x ] P[x] P[x]中的一个多项式;这里 i i i次项的系数是 a n − i a_{n-i} an−i
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若 f ( x ) f(x) f(x)在数域 P P P中有n个根 a i , i = 1 , 2 , ⋯ , n a_i,i=1,2,\cdots,n ai,i=1,2,⋯,n,则 f ( x ) f(x) f(x)可以分解为:
- f ( x ) = ∏ i = 1 n ( x − a i ) ( 2 ) f(x)=\prod_{i=1}^{n}(x-a_i)\;(2) f(x)=i=1∏n(x−ai)(2)
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比较 f ( x ) f(x) f(x)的形式(1,2),有根与系数的关系:
- n − 1 n-1 n−1: a 1 = − ∑ i = 1 n a i a_{1}=-\sum_{i=1}^{n}a_i a1=−∑i=1nai
- n − 2 n-2 n−2: a 2 a_2 a2= a 1 a 2 + ⋯ + a n − 1 a n a_1a_2+\cdots+a_{n-1}a_{n} a1a2+⋯+an−1an= ∑ i 1 ≠ i 2 a i 1 a i 2 \sum_{i_1\neq{i_2}}a_{i_1}a_{i_2} ∑i1=i2ai1ai2,求和式中含有 ( n 2 ) \binom{n}{2} (2n)
- ⋯ \cdots ⋯
- a i a_i ai= ( − 1 ) i ∑ a k 1 a k 2 ⋯ a k i (-1)^i\displaystyle\sum{a_{k_1}a_{k_2\cdots}a_{k_i}} (−1)i∑ak1ak2⋯aki,其中 k 1 , k 2 , ⋯ , k i k_1,k_2,\cdots,k_i k1,k2,⋯,ki表示所有可能的 i i i个不同的数,对应于从 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1,a_2,\cdots,a_n a1,a2,⋯,an中(不放回地)抽出 i i i个不同的元素,求和式中包含项数 ( n i ) \binom{n}{i} (in)
- ⋯ \cdots ⋯
- 0 0 0: a n = ( − 1 ) n ∏ i = 1 n a i a_n=(-1)^n\prod_{i=1}^{n}a_i an=(−1)n∏i=1nai
初等对称多项式
- 由根与系数 a i , i = 1 , 2 , ⋯ , n a_{i},i=1,2,\cdots,n ai,i=1,2,⋯,n的关系,构造的n个多项式是对称地依赖于文字 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn
- σ 1 \sigma_1 σ1= ∑ i = 1 n x i \sum_{i=1}^{n}x_i ∑i=1nxi
- σ 2 \sigma_2 σ2= x 1 x 2 + ⋯ + x n − 1 x n = ∑ ∏ j = 1 2 x i j x_1x_2+\cdots+x_{n-1}x_n=\sum{\prod_{j=1}^{2}}x_{i_j} x1x2+⋯+xn−1xn=∑∏j=12xij
- ⋯ \cdots ⋯
- σ n \sigma_{n} σn= ∏ i = 1 n x i \prod_{i=1}^{n}x_i ∏i=1nxi
- 可见,系数 a i , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n a_i,i=0,1,2,\cdots,n ai,i=0,1,2,⋯,n对称是依赖于方程的根
- σ i , i = 1 , 2 , ⋯ , n \sigma_i,i=1,2,\cdots,n σi,i=1,2,⋯,n为都是n元对称多项式,称为初等对称多项式
对称多项式
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设 n n n元多项式 f ( X ) f(X) f(X), X = ( ⋯ , x i , ⋯ , x j , ⋯ ) X=(\cdots,x_i,\cdots,x_j,\cdots) X=(⋯,xi,⋯,xj,⋯), X ‾ = ( ⋯ , x j , ⋯ , x i , ⋯ ) \overline{X}=(\cdots,x_j,\cdots,x_i,\cdots) X=(⋯,xj,⋯,xi,⋯),若 ∀ i , j \forall{i,j} ∀i,j , 1 ⩽ i < j ⩽ n 1\leqslant{i}
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换句话说,如果任意对换两个**文字(元)**的位置, f ( x 1 , ⋯ , x n ) f(x_1,\cdots,x_n) f(x1,⋯,xn)不变,则 f ( x 1 , ⋯ , x n ) f(x_1,\cdots,x_n) f(x1,⋯,xn)是对称多项式
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例如 f ( X ) = x 1 2 x 2 + x 2 2 x 1 + x 1 2 x 3 + x 3 2 x 1 + x 2 2 x 3 + x 3 2 x 2 f(X)=x_1^2x_2+x_2^2x_1+x_1^2x_3+x_3^2x_1+x_2^2x_3+x_3^2x_2 f(X)=x12x2+x22x1+x12x3+x32x1+x22x3+x32x2是一个3元对称多项式
- f ( x 1 , x 2 , x 3 ) f(x_1,x_2,x_3) f(x1,x2,x3)= x 1 2 x 2 + x 1 2 x 3 + x 1 x 2 2 + x 1 x 3 2 + x 2 2 x 3 + x 2 x 3 2 x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2^2+x_1x_3^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2 x12x2+x12x3+x1x22+x1x32+x22x3+x2x32
- f ( x 1 , x 3 , x 2 ) f(x_1,x_3,x_2) f(x1,x3,x2)= x 1 2 x 3 + x 1 2 x 2 + x 1 x 3 2 + x 1 x 2 2 + x 3 2 x 2 + x 3 x 2 3 x_1^2x_3+x_1^2x_2+x_1x_3^2+x_1x_2^2+x_3^2x_2+x_3x_2^3 x12x3+x12x2+x1x32+x1x22+x32x2+x3x23
- f ( x 3 , x 2 , x 1 ) f(x_3,x_2,x_1) f(x3,x2,x1)= x 3 2 x 2 + x 2 2 x 3 + x 3 x 2 2 + x 3 x 1 2 + x 2 2 x 1 + x 2 x 1 2 x_3^2x_2+x_2^2x_3+x_3x_2^2+x_3x_1^2+x_2^2x_1+x_2x_1^2 x32x2+x22x3+x3x22+x3x12+x22x1+x2x12
- f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = f ( x 1 , x 3 , x 2 ) = f ( x 3 , x 2 , x 1 ) f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1,x_3,x_2)=f(x_3,x_2,x_1) f(x1,x2,x3)=f(x1,x3,x2)=f(x3,x2,x1)
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Note:对于一个m次n元对称多项式 f ( x 1 , ⋯ , x n ) f(x_1,\cdots,x_n) f(x1,⋯,xn)= ∑ j = 1 a j ∏ i = 1 n x i k i \sum_{j=1}a_j\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{k_i} ∑j=1aj∏i=1nxiki,第j项中文字 x i x_i xi的次数记为 k i [ j ] k_i^{[j]} ki[j]
- { k i [ 1 ] , k i [ 2 ] , ⋯ k_i^{[1]},k_i^{[2]},\cdots ki[1],ki[2],⋯}={ k j [ 1 ] , k j [ 2 ] , ⋯ k_j^{[1]},k_j^{[2]},\cdots kj[1],kj[2],⋯}
对称多项式定义推出的性质
- 设 X = ( x 1 , ⋯ , x n ) X=(x_1,\cdots,x_n) X=(x1,⋯,xn), f 1 ( X ) , f 2 ( X ) f_1(X),f_2(X) f1(X),f2(X)是对称多项式,则 f 1 ( X ) + f 2 ( X ) f_1(X)+f_2(X) f1(X)+f2(X), f 1 ( X ) f 2 ( X ) f_1(X)f_2(X) f1(X)f2(X)都是对称多项式
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根据定义容易证明上述结论
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例 f 1 ( X ) = f 2 ( X ) = ( x 1 + x 2 + x 3 ) f_1(X)=f_2(X)=(x_1+x_2+x_3) f1(X)=f2(X)=(x1+x2+x3),则 h ( X ) = ( x 1 + x 2 + x 3 ) 2 h(X)=(x_1+x_2+x_3)^2 h(X)=(x1+x2+x3)2仍然是对称多项式
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多项式的多项式
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设 g ( Y ) g(Y) g(Y)是任意多项式, f i ( X ) f_i(X) fi(X)是n元对称多项式,则 g ( f 1 ( X ) , ⋯ , f m ( X ) ) = h ( X ) g(f_1(X),\cdots,f_m(X))=h(X) g(f1(X),⋯,fm(X))=h(X)是 n n n元对称多项式
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设 X ‾ \overline{X} X,是 X X X中的某两个元对换位置后的结果,根据对称多项式的定义, f i ( X ) = f i ( X ‾ ) f_i(X)=f_i(\overline{X}) fi(X)=fi(X)
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类似地定义 Y ‾ \overline{Y} Y是 Y Y Y中谋两个元对换位置后的结果
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h ( X ‾ ) = g ( f 1 ( X ‾ ) , ⋯ , f m ( X ‾ ) ) h(\overline{X})=g(f_1(\overline{X}),\cdots,f_m(\overline{X})) h(X)=g(f1(X),⋯,fm(X));而 f i ( X ‾ ) = f i ( X ) f_i(\overline{X})=f_i(X) fi(X)=fi(X),所以 h ( X ‾ ) h(\overline{X}) h(X)= g ( f 1 ( X ) , ⋯ , f m ( X ) ) g(f_1(X),\cdots,f_m(X)) g(f1(X),⋯,fm(X))
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所以 h ( X ‾ ) = h ( X ) h(\overline{X})=h(X) h(X)=h(X),可见 h ( X ) h(X) h(X)是对称多项式,这就是说,对称多项式的多项式仍然是对称多项式
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因此,初等对称多项式的多项式仍然是对称多项式
对称多项式基本定理
- 任意对称多项式都可以表示为初等对称多项式的多项式
- 符号描述: ∀ f ( X ) \forall f(X) ∀f(X), ∃ ϕ ( Y ) \exist{\ \phi(Y)} ∃ ϕ(Y) s.t. f ( X ) = ϕ ( Σ ) f(X)=\phi(\Sigma) f(X)=ϕ(Σ)
- 其中, f ( X ) f(X) f(X)是对称多项式, X = ( x 1 , ⋯ , x n ) X=(x_1,\cdots,x_n) X=(x1,⋯,xn), Y = ( y 1 , ⋯ , y n ) Y=(y_1,\cdots,y_n) Y=(y1,⋯,yn), Σ = ( σ 1 , ⋯ , σ n ) \Sigma=(\sigma_1,\cdots,\sigma_n) Σ=(σ1,⋯,σn)
- σ i \sigma_i σi是初等对称多项式
证明
- 设对称多项式 f ( X ) f(X) f(X)的按字典排列法的首项 a n = a ∏ i = 1 n x i l i a_n=a\prod_{i=1}^{n}x_i^{l_i} an=a∏i=1nxili, a ≠ 0 a\neq{0} a=0,为了便于比较各个元的次数,以展开的形式书写 a n = a x 1 l 1 x 2 l 2 ⋯ x n l n a_n=ax_{1}^{l_1}x_{2}^{l_2}\cdots{x_{n}^{l_n}} an=ax1l1x2l2⋯xnln,其对应的元组为 ( l 1 , l 2 , ⋯ , l n ) (l_1,l_2,\cdots,l_n) (l1,l2,⋯,ln) (0),注意元组长度 X X X的元数 n n n
- a n a_n an作为对称多项式的首项,必有 l i ⩾ l i + 1 ⩾ l n ⩾ 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , n − 1 l_i\geqslant{l_{i+1}}\geqslant l_n\geqslant{0},i=1,2,\cdots,n-1 li⩾li+1⩾ln⩾0,i=1,2,⋯,n−1(数列L= l 1 , l 2 , ⋯ l n l_1,l_2,\cdots{l_n} l1,l2,⋯ln是单调增加的)
- 否则L不是单调增加的,意味着在 ∃ i \exist{i} ∃i,s.t. l i < l i + 1 l_i
- a s a_s as= a x 1 l 1 ⋯ x i + 1 l i x i l i + 1 ⋯ x n l n ax_{1}^{l_1}\cdots x_{i+1}^{l_{i}}x_{i}^{l_i+1}\cdots{x_{n}^{l_n}} ax1l1⋯xi+1lixili+1⋯xnln= a x 1 l 1 ⋯ x i l i + 1 x i + 1 l i ⋯ x n l n ax_{1}^{l_1}\cdots x_{i}^{l_{i+1}}x_{i+1}^{l_i}\cdots{x_{n}^{l_n}} ax1l1⋯xili+1xi+1li⋯xnln
- 因为 f ( x 1 , ⋯ , x i , x i + 1 , ⋯ , x n ) ( 1 ) f(x_1,\cdots,x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)\;(1) f(x1,⋯,xi,xi+1,⋯,xn)(1); f ( x 1 , ⋯ , x i + 1 , x i , ⋯ , x n ) ( 2 ) f(x_1,\cdots,x_{i+1},x_{i},\cdots,x_n)\;(2) f(x1,⋯,xi+1,xi,⋯,xn)(2)
- (1)包含 a n a_n an一定使得(2)包含 a s a_s as,由 f ( X ) f(X) f(X)是对称多项式可知 ( 1 ) , ( 2 ) (1),(2) (1),(2)式相等,所以 ( 1 ) (1) (1)一定同时包含 a n , a s a_n,a_s an,as
- 而 a s a_s as先于 a n a_n an,因此与 a n a_n an是 f ( X ) f(X) f(X)的首项矛盾
- 否则L不是单调增加的,意味着在 ∃ i \exist{i} ∃i,s.t. l i < l i + 1 l_i
- 构造初等对称多项式的多项式: ϕ 1 = a ∏ i = 1 n − 1 σ i l i − l i + 1 ⋅ σ n l n \phi_1=a\prod_{i=1}^{n-1}{\sigma_{i}^{l_i-l_{i+1}}}\cdot\sigma_n^{l_n} ϕ1=a∏i=1n−1σili−li+1⋅σnln,其中 l i l_i li来自式(0),易知 ϕ 1 \phi_1 ϕ1也是对称多项式
- 由于 σ i , i = 1 , 2 , ⋯ , n \sigma_i,i=1,2,\cdots,n σi,i=1,2,⋯,n的首项是 ∏ j = 1 i x j \prod_{j=1}^{i}x_j ∏j=1ixj,将 σ i \sigma_i σi代入 ϕ 1 \phi_1 ϕ1,根据多项式乘积的首项分解性质, ϕ 1 \phi_1 ϕ1的首项 b n b_n bn等于 σ i l i − l i + 1 {\sigma_{i}^{l_i-l_{i+1}}} σili−li+1的首项( i = 1 , 2 , ⋯ , n − 1 i=1,2,\cdots,n-1 i=1,2,⋯,n−1)之积,即 b n b_n bn= a ( x 1 ) l 1 − l 2 ( x 1 x 2 ) l 2 − l 3 ⋯ ( x 1 ⋯ x n ) l n − 1 − l n ( x 1 ⋯ x n ) l n a(x_1)^{l_1-l_2}(x_1x_2)^{l_2-l_3}\cdots(x_1\cdots x_n)^{l_{n-1}-l_{n}}(x_1\cdots x_n)^{ln} a(x1)l1−l2(x1x2)l2−l3⋯(x1⋯xn)ln−1−ln(x1⋯xn)ln
- 化简: b n b_n bn= a x 1 l 1 x 2 l 2 ⋯ x n l n ax_1^{l_1}x_2^{l_2}\cdots{x_n^{l_n}} ax1l1x2l2⋯xnln,即多项式 f f f与 ϕ 1 \phi_1 ϕ1有相同的首项
- 构造对称多项式 f 1 ( X ) = f ( X ) − ϕ 1 ( X ) f_1(X)=f(X)-\phi_1(X) f1(X)=f(X)−ϕ1(X),省略 ( X ) (X) (X)不写,简记为 f 1 = f − ϕ 1 f_1=f-\phi_1 f1=f−ϕ1, f 1 f_1 f1具有比 f f f有"较小"的首项
- 对 f 1 ( X ) f_1(X) f1(X)重复上述做法(1,2,3),得到一系列对称多项式 f 0 = f , f 1 = f 0 − ϕ 1 f_0=f,f_1=f_0-\phi_1 f0=f,f1=f0−ϕ1, f 2 = f 1 − ϕ 2 f_2=f_1-\phi_2 f2=f1−ϕ2, ⋯ \cdots ⋯ (a)
- 且它们的首项一个比一个小(前面的大,后面的小,可以表示为 a n [ i ] > a n [ j ] , i < j a_n^{[i]}>a_{n}^{[j]},i
an[i]>an[j],i<j ) - ϕ i \phi_i ϕi是关于 σ 1 , σ 2 , ⋯ , σ n \sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n σ1,σ2,⋯,σn的多项式 i = 1 , 2 , ⋯ i=1,2,\cdots i=1,2,⋯
- 且它们的首项一个比一个小(前面的大,后面的小,可以表示为 a n [ i ] > a n [ j ] , i < j a_n^{[i]}>a_{n}^{[j]},i
- 设 a n [ i ] = b ∏ i = 1 n x i p i a_n^{[i]}=b\prod_{i=1}^{n}x_i^{p_i} an[i]=b∏i=1nxipi是 f i f_i fi的首项,则 a n > a n [ i ] a_n>a_n^{[i]} an>an[i],且有 l 1 ⩾ p 1 ⩾ p 2 ⩾ ⋯ ⩾ p n ⩾ 0 l_1\geqslant{p_1}\geqslant{p_2}\geqslant{\cdots}\geqslant{p_n}\geqslant{0} l1⩾p1⩾p2⩾⋯⩾pn⩾0 (b)
- 满足(b)的元组 ( p 1 , ⋯ , p n ) (p_1,\cdots,p_n) (p1,⋯,pn)的数目是有限的(上限低于 l 1 n l_1^n l1n个)
- 所以,对应到 ( a ) (a) (a)中也只有有限多个对称多项式不为零,即存在正整数 h h h使得 f h = 0 f_h=0 fh=0
- 等式组 ( a ) (a) (a),的最后一个等式可以描述为 f h = f h − 1 − ϕ h f_h=f_{h-1}-\phi_{h} fh=fh−1−ϕh
- 将 ( a ) (a) (a)中的 1 + h 1+h 1+h个等式相加,得到 ∑ i = 0 h f i = f + ∑ i = 0 h f i − ∑ i = 1 h ϕ i \sum_{i=0}^{h}f_i=f+\sum_{i=0}^{h}fi-\sum_{i=1}^{h}\phi_i ∑i=0hfi=f+∑i=0hfi−∑i=1hϕi
- 因此 f ( X ) = ∑ i = 1 ϕ i f(X)=\sum_{i=1}\phi_i f(X)=∑i=1ϕi,即对称多项式 f ( X ) f(X) f(X)可以表示为一些初等对称多项式的多项式之和
- 即 f ( X ) f(X) f(X)可以表示为初等对称多项式的一个多项式
- 对 f 1 ( X ) f_1(X) f1(X)重复上述做法(1,2,3),得到一系列对称多项式 f 0 = f , f 1 = f 0 − ϕ 1 f_0=f,f_1=f_0-\phi_1 f0=f,f1=f0−ϕ1, f 2 = f 1 − ϕ 2 f_2=f_1-\phi_2 f2=f1−ϕ2, ⋯ \cdots ⋯ (a)
- 此外,定理中的 ϕ ( Y ) \phi(Y) ϕ(Y)是被对称多项式 f ( X ) f(X) f(X)唯一确定的
将对称多项式分解为初等对称多项式的多项式
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上述定理的证明过程就是分解过程
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例:设3元对称多项式 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) f(x_1,x_2,x_3) f(x1,x2,x3)= x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 x_1^3+x_2^3+x_3^3 x13+x23+x33表示为 σ 1 , σ 2 , σ 3 \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3} σ1,σ2,σ3的多项式
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其首项为 a n = x 1 3 a_n=x_1^3 an=x13,对应的元组为 ( 3 , 0 , 0 ) (3,0,0) (3,0,0),系数 a [ 0 ] = 1 a^{[0]}=1 a[0]=1
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构造对称多项式 ϕ 1 = 1 ⋅ σ 1 3 − 0 σ 2 0 − 0 σ 3 0 \phi_1=1\cdot\sigma_{1}^{3-0}\sigma_{2}^{0-0}\sigma_{3}^{0} ϕ1=1⋅σ13−0σ20−0σ30= σ 1 3 \sigma_1^{3} σ13= ( x 1 x 2 x 3 ) 3 + ⋯ (x_1x_2x_3)^3+\cdots (x1x2x3)3+⋯
- σ 1 3 = ( ∑ i n x i ) 3 \sigma_1^3=(\sum_{i}^{n}x_i)^3 σ13=(∑inxi)3= ( x 1 3 + 3 x 1 2 x 2 + 3 x 1 2 x 3 ⋯ ) (x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1^2x_3\cdots) (x13+3x12x2+3x12x3⋯)+ ( x 2 3 + 3 x 2 2 x 3 + 3 x 2 x 3 2 ) (x_2^3+3x_2^2x_3+3x_2x_3^2) (x23+3x22x3+3x2x32)+ x 3 3 x_3^3 x33
- 由于只有3次方,我们可以利用组合数确定各项并完全写尽展开式,分为3层
- ( x 1 3 + 3 x 1 2 x 2 + 3 x 1 2 x 3 + 3 x 1 x 2 2 + 6 x 1 x 2 x 3 + 3 x 1 x 3 2 ) (x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1^2x_3+3x_1x_2^2+6x_1x_2x_3+3x_1x_3^2) (x13+3x12x2+3x12x3+3x1x22+6x1x2x3+3x1x32)
- ( x 2 3 + 3 x 2 2 x 3 + 3 x 2 x 3 2 ) (x_2^3+3x_2^2x_3+3x_2x_3^2) (x23+3x22x3+3x2x32)
- ( x 3 3 ) (x_3^3) (x33)
- σ 1 3 = ( ∑ i n x i ) 3 \sigma_1^3=(\sum_{i}^{n}x_i)^3 σ13=(∑inxi)3= ( x 1 3 + 3 x 1 2 x 2 + 3 x 1 2 x 3 ⋯ ) (x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1^2x_3\cdots) (x13+3x12x2+3x12x3⋯)+ ( x 2 3 + 3 x 2 2 x 3 + 3 x 2 x 3 2 ) (x_2^3+3x_2^2x_3+3x_2x_3^2) (x23+3x22x3+3x2x32)+ x 3 3 x_3^3 x33
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构造 f 1 = f − ϕ 1 = x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 − σ 1 3 f_1=f-\phi_1=x_1^3+x_2^3+x_3^3-\sigma_1^{3} f1=f−ϕ1=x13+x23+x33−σ13= − 3 ( x 1 2 x 2 + x 2 2 x 1 + ⋯ ) − 6 x 1 x 2 x 3 -3(x_1^2x_2+x_2^2x_1+\cdots)-6x_1x_2x_3 −3(x12x2+x22x1+⋯)−6x1x2x3, f 1 f_1 f1的首项 a n [ 1 ] = − 3 x 1 2 x 2 a_n^{[1]}=-3x_1^2x_2 an[1]=−3x12x2对应的有序数组为 ( 2 , 1 , 0 ) (2,1,0) (2,1,0),系数 a [ 1 ] = − 3 a^{[1]}=-3 a[1]=−3
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根据 f 1 f_1 f1的首项 a n [ 1 ] a_n^{[1]} an[1]构造 ϕ 2 \phi_2 ϕ2= − 3 σ 1 2 − 1 σ 2 1 − 0 σ 3 0 -3\sigma_1^{2-1}\sigma_2^{1-0}\sigma_3^{0} −3σ12−1σ21−0σ30= − 3 σ 1 σ 2 -3\sigma_1\sigma_2 −3σ1σ2= − 3 ( x 1 + x 2 + x 3 ) ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) -3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3) −3(x1+x2+x3)(x1x2+x1x3+x2x3)
- = − 3 [ ( x 1 2 x 2 + x 1 x 2 x 3 + x 1 2 x 3 ) + ( x 1 x 2 2 + x 1 x 2 x 3 + x 2 2 x 3 ) + ( x 1 x 2 x 3 + x 1 x 3 2 + x 2 x 3 2 ) ] -3[(x_1^2x_2+x_1x_2x_3+x_1^2x_3)+(x_1x_2^2+x_1x_2x_3+x_2^2x_3)+(x_1x_2x_3+x_1x_3^2+x_2x_3^2)] −3[(x12x2+x1x2x3+x12x3)+(x1x22+x1x2x3+x22x3)+(x1x2x3+x1x32+x2x32)]
- = − 3 ( x 1 2 x 2 + x 1 2 x 3 + x 1 x 2 2 + x 1 x 3 2 + x 2 2 x 3 + x 2 x 3 2 ) − 9 x 1 x 2 x 3 -3(x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2^2+x_1x_3^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2)-9x_1x_2x_3 −3(x12x2+x12x3+x1x22+x1x32+x22x3+x2x32)−9x1x2x3
- = − 3 ( x 1 2 x 2 + x 2 2 x 1 + ⋯ ) − 9 x 1 x 2 x 3 -3(x_1^2x_2+x_2^2x_1+\cdots)-9x_1x_2x_3 −3(x12x2+x22x1+⋯)−9x1x2x3
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构造 f 2 f_2 f2= f 1 − ϕ 2 f_1-\phi_2 f1−ϕ2= 3 x 1 x 2 x 3 3x_1x_2x_3 3x1x2x3,其首项为 3 x 1 x 2 x 3 3x_1x_2x_3 3x1x2x3,元组 ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) (1,1,1),系数 a n [ 3 ] = 3 a_{n}^{[3]}=3 an[3]=3
- 构造 ϕ 3 = 3 σ 1 1 − 1 σ 2 1 − 1 σ 3 1 \phi_3=3\sigma_1^{1-1}\sigma_2^{1-1}\sigma_3^{1} ϕ3=3σ11−1σ21−1σ31= 3 σ 3 3\sigma_3 3σ3= 3 x 1 x 2 x 3 3x_1x_2x_3 3x1x2x3
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构造 f 3 = f 2 − ϕ 3 f_3=f_2-\phi_3 f3=f2−ϕ3= 3 x 1 x 2 x 3 − 3 x 1 x 2 x 3 = 0 3x_1x_2x_3-3x_1x_2x_3=0 3x1x2x3−3x1x2x3=0
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x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 x_1^3+x_2^3+x_3^3 x13+x23+x33= ∑ i = 1 3 ϕ i \sum_{i=1}^{3}\phi_i ∑i=13ϕi= σ 1 3 − 3 σ 1 σ 2 + 3 σ 3 \sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3 σ13−3σ1σ2+3σ3
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