平均时间复杂度

简述

在数据结构与算法中，“时间复杂度”表示“随着数据规模的增长，他的增长趋势”，而时间复杂度，通过细化，可以分为：最好时间复杂度，最坏时间复杂度，平均时间复杂度，均摊时间复杂度。前两者分析起来较为简单，后两者需要稍微展开一下。

平均时间复杂度

平均时间复杂度，又称之为“加权平均时间复杂度”，“期望时间复杂度”，为什么叫加权呢？因为，通常计算平均时间复杂度，需要将概率考虑进去，也就是，在计算平均时间复杂度的时候，需要一个“加权值”，来真正的计算平均时间复杂度。

我们以代码为例，对平均时间复杂度进行分析：

// n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = I;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

代码很简单，表示在一个数组中，找到 x 这个数，最好复杂度是 O(1), 最坏是 O(n)。

那平均复杂度是怎么计算呢？

先说简单的平均值计算公式：

上面的代码，所有查找 x 的时间相加：1 + 2 + 3 +······ + n + n (这个 n 表示当 x 不存在时遍历 array 需要的次数) ， 另外，需要查找的次数为 n + 1 次，那么结果就是：

image.png

代入大 O 表达式，结果是 O(n)。

这个公式表达的是：计算所有可能出现的情况之和，然后除以可能出现的情况的次数。说白了，这是一个绝对平均的结果。表示每个结果都可能出现 n + 1 次。

这是一个较为粗暴的假设。

如果稍微使用一个简单的概率来计算呢？

这里有 2 个概率：

1. x 变量是否在数组中的概率，有 2 种情况—— 在与不在，所以，他的概率是 1/2.
2. x 变量出现在数组的概率，有n 种情况，但只会出现一次，所以是 1/n.

我们把两个概率进行相乘，结果是 1/(2n). 这个数，就是“加权值”。

如何使用加权值对上面代码的“复杂度”进行计算？

然后，我们在这公式上把 (n + 1)换成“权重”：也就是 1/2n。

结果为 3n + 1 / 4 。这个也就是“加权后的平均时间复杂度”，表示，执行了 1 + 2 + ···· + n + n 次的“加权平均值”。

如果使用大 O 表示法，去除系数，常数，低阶，那么他的最终结果就是 O(n)。

可以看到，前者使用的是分母没有做任何权重措施，仅仅是简单的 n + 1，而后者，我们做了简单的权重计算，认为出现的概率不是 n + 1，而是 1/2n。

可以说，加权值，是为了在前者的基础上，更加的准确。也就是说，要计算准确的平均时间复杂度，就需要准确的计算这个“权重值”，而权重值会受到数据范围，数据种类影响。因此需要在实际操作中，进行调参。

简单来说，就拿 “x 变量是否在数组中的概率” 这个值来说，不一定是 1/2 ，如果有这样一组数据{y, s, f, f, g, x, g, h}， 那么，他的概率还是 1/2吗，实际上只有 1/8，所以，还是得根据实际情况来。

均摊时间复杂度

个人认为，均摊时间复杂度就是“平均时间复杂度” 的一个特殊版本，相对而言也比较简单。

例如一段代码，在 n -1 种情况下，他的复杂度是 O（1），每 n - 1 次之后，他的时间复杂度是 O(n)。可以看到，这个代码他的最坏时间复杂度实际是固定频率出现的。所以，我们可以把 O（n） 的时间复杂度均摊到其他的 O(1) 复杂度中，得到最终的结果就是 O(1).

对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下，复杂度很高，而且这些操作存在连贯性和规律性，那么就进行均摊。另外，一般均摊时间复杂度就是最好时间复杂度。