[SCOI2010]生成字符串

题面
首先打广告: 由于这题需要用到逆元，所以!!!

如果不会逆元的请看这里$----->$ 详解数论从入门到入土
想更好地把逆元应用到欧拉函数、欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理请看这里$----->$数论1
想更好地把逆元应用到组合数、扩展欧几里得请看这里$----->$数论2
okk 上题解

这道题应用到了小学奥数 概率论中的一个比较骚的操作
可以考虑把$1$的个数与$0$的个数的和看成$x$坐标，$1$的个数与$0$的个数的差看成$y$坐标，那么如下图：

向右上走（$x$坐标加$1$，$y$坐标加$1$）就表示这个字符选择$1$。
向右下走（$x$坐标加$1$，$y$坐标减$1$）就表示这个字符选择$0$。
那么显然从$(0,0)$走$n+m$步正好到$(n+m,n-m)$的方案数就是$C(n+m,m)$。
可以理解为从$n+m$步中抽出$m$步向右下走
考虑限制条件:任意前缀中$1$的个数不少于$0$的个数，也就是这条路径不能经过直线$y=-1$ 那么我们又要用一个东西叫做反射原理:

从点$A$到点$B$的路径中 经过这个点下方直线$l$的方案数，就等于点$A$关于直线$l$对称的点$A^{\prime }$到点$B$的方案数。
很好理解对吧 画画图就可以看出来了

所以从$(0,0)$到$(n+m,n-m)$经过$y=-1$的方案数 就是$(0,-2)$ 到点$(n+m,n-m)$的方案数
即从$(0,-2)$向右上走$n+1$步 向右下走$m-1$步的方案数 就等于$C(n+m,m-1)$

那么符合题意的方案数就是总方案数减去不符合题意的方案数:
$C(n+m,m)-C(n+m,m-1)$
直接$O(n)$预处理逆元就行
如果不会逆元的请看这里$----->$ 详解数论从入门到入土
想更好地把逆元应用到欧拉函数、欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理请看这里$----->$数论1
想更好地把逆元应用到组合数、扩展欧几里得请看这里$----->$数论2

#include
using namespace std;
#define N int(1e6+100)
typedef long long ll;
const ll mod=20100403;
ll n,m,inv[N<<1],fac[N<<1],facinv[N<<1];
ll C(ll n, ll m){return fac[n]*facinv[m]%mod*facinv[n-m]%mod;}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    inv[1]=fac[0]=fac[1]=facinv[1]=facinv[0]=1;
    for(int i=2;i<n+m+100;i++)
    {
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
        facinv[i]=facinv[i-1]*inv[i]%mod;
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    }
    printf("%lld\n",(C(n+m,m)-C(n+m,m-1)+mod)%mod);
}