状态空间模型与传递函数的转换关系+例题

传递函数是经典控制理论的工具，只能用于SISO和LTI系统；状态空间模型属于现代控制理论，对SISO和MIMO、LTI和非线性或时变系统都适用。既然考虑二者的互相转换，那么对象只可能是满足SISO和LTI的系统。

一、传递函数$\to$状态空间模型

传递函数的一般形式：

1.1 预处理

用长除法进行简化：

从而得到新的G(s)：

原来的G(s)是新的G(s)和d的并联，可以按并联系统处理。方便起见，下面先只考虑形似新的G(s)的传递函数。

1.2 从最简单的分子为1的传递函数入手

一个例子：

要求它的状态空间模型，首先写成输入输出关系：

对应的微分方程：

定义新的变量：

状态空间模型：

状态矩阵A：最底行对应传递函数分母的系数，符号相反；右上角是2阶单位阵。
输入矩阵B：只有最后一维非零，对应分子常数1。
输出矩阵C：只有第一维非零，1对应分子常数1。
直接转移矩阵D：为0，因为G(s)的分子次数小于分母。
模拟图：

画的时候左边是u，根据B中只有第三维是1，确定u通过加法流向$\dot{x_3}$，积分得到$x_3$。然后再画$\dot{x_2},x_2,\dot{x_1},x_1$。根据$\dot{x_3}$的构成画反馈。根据C得到$y=x_1$。

根据前面找到的规律，把上面的三阶传递函数，推广到一般情况：

对应的状态空间模型是

称为是传递函数G的状态空间实现。

1.3 分子不为1的传递函数

还是考虑分母是三阶的：

可以看成是：


对于内层

的部分，显然

对于外层

微分方程：

定义状态变量：

这里的$y_1$也就是分子为1时候的y。也就是说，分子不为1的时候，输出是原来y及其微分的线性组合。所以，对于分子不为1的传函，状态空间模型是

4个矩阵中只有C发生了变化：与传递函数的分子系数相对应。
相应的图为：

画的时候，将3个积分器的输出线性相加得到最后的输出。

仍然把3维的推广到n维，并且考虑长除法得到的商：

对应的状态空间模型为：

只要把G化成上面的形式，就可以直接观察系数写出模型的4个矩阵了，很方便。这个形式的模型称为“能控标准型”。

1.4 另一种思路：利用线性叠加原理

还是以3阶系统为例：

如果直接写成y和u的微分方程：

这时候，右边的u是有微分项的（而按1.2中的方法，由于内层的分子是1，避免了这个问题）。
如果先不看微分项，只考虑

它和前面分析过的分子为1的传递函数是一样的，即有

然后只考虑u的一阶微分项作为输入：

对比上一个方程，可以发现这个方程是上一个方程两边再做一次微分的结果，所以输出分量r和w有这样的关系：

同理，只考虑u的二阶微分的时候：

又满足：

根据叠加原理，总的输出是3个输入分量得到的3个输出分量的线性和：

b对应y-u微分方程右边的系数。

1.5 对复杂系统使用分解法

如果G的阶数比较高，可以把它分解成低阶的，先得到低阶的状态空间模型，再合成高阶的模型。可以用串联法、并联法等。

1.5.1 串联法

有的传递函数很容易因式分解，可以用串联法，例如：

因式分解：

看成是三个环节的串联，很容易得到它们各自的模型：

系数的求法用之前的方法就可以做，前两个环节由于阶数很低，熟练之后可以直接看出来。对于第三个环节，我们可以设$X_3(s)=\frac{1}{s+4}{U}_3(s)$而$Y(s)=(s+2)X_3(s)$，即可得：
$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_3& =-4x_3+u_3\\ y& ={\dot{x}}_3+2x_3\\ & =-4x_3+u_3+2x_3\\ & =-2x_3+u_3\end{array}$$
这三个环节有什么关联呢？u2=y1,u3=y2。所以

图：

1.5.2 并联法

考虑

分解得到

画图，分别求出两个环节的模型：

对于并联，两个环节之间的关系是：u=u1=u2,y=y1+y2。因此

这里的A是对角阵，所以并联得到的也称“对角型”。
系数的规律：
A中的系数值是传递函数极点-1和1，B的系数对应分子1和1。
实际上，对于

利用并联法得到的模型为：

状态图：

如果存在重极点，例如：

系数用留数定理求：

输入输出关系为：

令

得到系统状态方程和输出方程：


因此，模型为：

观察发现，如果存在重根，则A为若当型，n重根对应的若当块是n阶的，并且相应的B中的系数为0。
状态图为：

二、状态空间模型$\to$传递函数

设已知的状态空间模型为：

在零初始条件下，用拉普拉斯变换得到

所以

可见，传递函数是由状态空间模型唯一确定的。

三、对偶关系

在2中根据状态空间模型可以求出传递函数：

对于SISO系统，这是一个标量，所以，$G=G^T$。由此，可以得到：

这两种写法的形式是一样的，对比系数可以得出另一种模型写法：

这种写法的模型被称为原来模型的对偶系统模型。
对这个对偶模型再做一次对偶，可以得到原来的模型

这说明对偶关系是双向的，它们互为对偶。
我们上面写过能控标准型：

它也有它的对偶模型，即“能观标准型”：

两种模型的状态图：

四、例题

五、参考资料

[1] 浙江工业大学俞立老师课程ppt，网课见b站：现代控制理论 浙江工业大学 俞立，评论区有ppt的网盘链接
[2] 田玉平，蒋珉，李世华．自动控制原理[M]．北京：科学出版社，2006