概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布

文章目录

  • Ch2. 一维随机变量及其分布
    • 1.一维随机变量
      • 1.随机变量
      • 2.分布函数 F ( x ) F(x) F(x)
        • (1)定义
        • (2)分布函数的性质 (充要条件)
        • (3)分布函数的应用——求概率
          • 3.最大最小值函数
    • 2.一维离散型随机变量及其概率分布(分布律)
    • 3.一维连续型随机变量及其概率分布(概率密度)
    • 4.一般类型(混合型)随机变量及其分布
    • 5.常见的随机变量分布类型:八大分布
      • 1.离散型 (5种)
        • ①0-1分布
        • 二项分布 X~B(n,p)
        • 泊松分布
        • ④几何分布
        • ⑤超几何分布
      • 2. 连续型 (3种)
        • 均匀分布
        • 指数分布
        • 正态分布
          • 独立可加性 (XY独立且同类型分布)
    • 6.一维随机变量函数的分布
  • Ch3. 多维随机变量及其分布
    • 1.二维(n维)随机变量
      • 1.多维随机变量
      • 2.多维随机变量的分布函数
        • (1)联合分布函数
        • (2)边缘分布函数
    • 2.二维离散型随机变量及其分布
      • (1)联合分布律
      • (2)边缘分布律
      • (3)条件分布律
    • 3.二维连续型随机变量及其分布
      • (1)二维随机变量的概率密度 f(x,y):联合概率密度
        • (1)定义
        • (2)性质
      • (2)边缘分布
        • 1.边缘概率分布
        • 2.边缘概率密度
      • (3)条件分布
        • 1.条件概率密度
        • 2.条件分布函数
      • (4)二维均匀分布
      • (5)二维正态分布
    • 4.独立性 【随机变量的独立性
      • (1)定义 (相互独立的充要条件)
      • (2)独立的性质
    • 5.二维随机变量 函数的分布
      • (1)(离散型,离散型)→离散型
      • (2)(连续型,连续型)→连续型
        • ①分布函数法
        • ②卷积公式
      • (3)(离散型,连续型)→连续型
        • 离散+连续:全概率公式

Ch2. 一维随机变量及其分布

1.一维随机变量

1.随机变量

①X=X(ω)
②一般用大写字母表示

在这里插入图片描述

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2.分布函数 F ( x ) F(x) F(x)

(1)定义

1.定义:
称函数 F ( x ) = P { X ≤ x }   ( − ∞ < x < + ∞ ) F(x)=P\{ X≤x\} \ (-∞F(x)=P{Xx} (<x<+) 为随机变量X的分布函数,或称 X服从F(x)分布,记为X~F(x)


(2)分布函数的性质 (充要条件)

0 ≤ F ( x ) ≤ 1 0≤F(x)≤1 0F(x)1:分布函数是事件的概率,满足有界性
F ( x ) 单调不减 F(x)单调不减 F(x)单调不减:x从-∞取到+∞的过程中,F(x)单调不减,从0逐渐变大到1
F ( x ) 右连续 F(x)右连续 F(x)右连续:F(a+0)=F(a)
lim ⁡ x → − ∞ F ( x ) = F ( − ∞ ) = 0 , lim ⁡ x → + ∞ F ( x ) = F ( + ∞ ) = 1 \lim\limits_{x→-∞}F(x)=F(-∞)=0,\lim\limits_{x→+∞}F(x)=F(+∞)=1 xlimF(x)=F()=0x+limF(x)=F(+)=1

若函数F(x)满足性质②-④,则F(x)必为某个随机变量的分布函数。

f ( x ) = F ′ ( x ) f(x)=F'(x) f(x)=F(x)

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(3)分布函数的应用——求概率

1.一元分布函数:
P { X ≤ a } = F ( a ) P\{X≤a\}=F(a) P{Xa}=F(a)

P { X < a } = F ( a − ) P\{XP{X<a}=F(a)

P { X = a } = P { X ≤ a } − P { X < a } = F ( a ) − F ( a − ) P\{X=a\}=P\{X≤a\}-P\{X<a\}=F(a)-F(a^-) P{X=a}=P{Xa}P{Xa}=F(a)F(a)
【一点处的概率,用于离散型、混合型随机变量】

P { X = a } = 0 ,即 F ( a ) − F ( a − ) P\{X=a\}=0,即F(a)-F(a^-) P{X=a}=0,即F(a)F(a),即要求左连续。

P { X > a } = 1 − P { X ≤ a } = 1 − F ( a ) P\{X>a\}=1-P\{X≤a\}=1-F(a) P{X>a}=1P{Xa}=1F(a)


因为分布函数统一用F字母,所以不同分布函数是用F的不同角标来区分,如X和Y不同分布,则分布函数为 F X ( z ) 、 F Y ( z F_X(z)、F_Y(z FX(z)FY(z)


2.二元分布函数:
F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { Z ( X , Y ) ≤ z } F_Z(z) = P\{Z≤z\}=P\{Z(X,Y)≤z\} FZ(z)=P{Zz}=P{Z(X,Y)z}


3.最大最小值函数

P { m a x { X , Y } ≤ a } = P { X ≤ a , Y ≤ a } P\{max\{X,Y\}≤a\}=P\{X≤a,Y≤a\} P{max{X,Y}a}=P{XaYa}

P { m i n { X , Y } ≥ a } = P { X ≥ a , Y ≥ a } P\{min\{X,Y\}≥a\}=P\{X≥a,Y≥a\} P{min{X,Y}a}=P{XaYa}

P { a < m a x { X , Y } ≤ b } = P { a < U ≤ b } = P { U ≤ b } − P { U ≤ a } = P { X ≤ b , Y ≤ b } − P { X ≤ a , Y ≤ a } P\{aP{a<max{X,Y}b}=P{a<Ub}=P{Ub}P{Ua}=P{XbYb}P{XaYa}



例题1:08年7.   Z=max{X,Y}与Z=min{X,Y}的分布函数
在这里插入图片描述

分析:
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F 2 ( x ) : Z = m a x { X , Y } F²(x):Z=max\{X,Y\} F2(x)Z=max{X,Y},独立,同分布
F ( x ) F ( y ) : Z = m a x { X , Y } F(x)F(y):Z=max\{X,Y\} F(x)F(y)Z=max{X,Y},独立,不同分布
1 − [ 1 − F ( x ) ] 2 : Z = m i n { X , Y } 1-[1-F(x)]²:Z=min\{X,Y\} 1[1F(x)]2Z=min{X,Y},独立,同分布
1 − [ 1 − F ( x ) ] [ 1 − F ( y ) ] : Z = m i n { X , Y } 1-[1-F(x)][1-F(y)]:Z=min\{X,Y\} 1[1F(x)][1F(y)]Z=min{X,Y},独立,不同分布

答案:A


例题1变式——将Z改为 Z = m i n { X , Y } Z=min\{X,Y\} Z=min{X,Y},再求Z的分布函数

分析:主要是看①max还是min,②是否同分布。就看这两个。最大值是乘积,最小值是 1-[ ],同分布无角标,不同分布有角标

①分布函数的定义:分布函数F与概率P的关系
②最大值最小值的定义
③独立:P的乘积可拆为乘积的P,同理F可拆
④同分布:角标可以抹去了,合并。

答案:
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4.习题


习题1:10年7.
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分析: P X = 1 = F ( 1 ) − F ( 1 − 0 ) = 1 − e − 1 − 1 2 = 1 2 − e − 1 P{X=1}=F(1)-F(1-0)=1-e^{-1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-e^{-1} PX=1=F(1)F(10)=1e121=21e1

答案:C


习题2:19年14.   分类讨论、数学期望
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分析:
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答案: 2 3 \dfrac{2}{3} 32


习题3:09年8.
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分析:
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答案:B


习题4:23李林四(一)9.
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分析:
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答案:D


习题5:16年22(3)



常见的两类随机变量——离散型随机变量、连续型随机变量

2.一维离散型随机变量及其概率分布(分布律)

1.离散型随机变量:如果随机变量X只能取有限个或可列个值 x 1 , x 2 , . . . x_1,x_2,... x1,x2,...,则称X为离散型随机变量


2.分布律
(1)分布律的定义
P { X = x i } = p i , i = 1 , 2 , . . . P\{X=x_i\}=p_i,i=1,2,... P{X=xi}=pii=1,2,...为离散型随机变量X的分布律 或 X的概率分布,记为 X ∼ p i X \sim p_i Xpi。其函数图形为“步步高的阶梯函数”。

离散型随机变量的概率分布分布律。可用矩阵或表格表示。

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(2)分布律的性质(充要条件)
p k ≥ 0 p_k≥0 pk0
②规范性(归一性): ∑ i = 1 + ∞ p i = 1 \sum\limits_{i=1}^{+∞}p_i=1 i=1+pi=1


3.特点
(1)分布函数 F ( x ) = ∑ x i ≤ x p i F(x)=\sum\limits_{x_i≤x}p_i F(x)=xixpi,即F(x) = x扫过的离散点的概率之和。F(x)是“步步高的阶梯函数”。
(2)归一性: ∑ i = 1 n p i = 1 \sum\limits_{i=1}^np_i=1 i=1npi=1
(3)概率:
①一点处概率: P { X = a } = F ( a ) − F ( a − 0 ) P\{X=a\}=F(a)-F(a-0) P{X=a}=F(a)F(a0)
②区间上概率: P { X ∈ B } = ∑ x i ∈ B p i P\{X∈B\}=\sum\limits_{x_i∈B}p_i P{XB}=xiBpi


4.离散型随机变量的概率分布(分布律

①先求该离散型随机变量的取值范围,一一列举
Z=XY的取值范围:-1,0,1

求每一个取值的概率
P{XY=-1}=…
P{XY=0}=…
P{XY=1}=…

列分布律

Z=XY -1 0 1
P


例题1:23李林四(一)16.   数学期望+分布律
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分析:
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答案: 3 − 3 2 \dfrac{3-\sqrt{3}}{2} 233



3.一维连续型随机变量及其概率分布(概率密度)

1.定义:
若随机变量X的分布函数可表示为 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t   ( − ∞ < x < + ∞ ) F(x)=\int_{-∞}^xf(t)dt \ (-∞F(x)=xf(t)dt (<x<+)
其中f(x)是非负可积函数,则称X为连续型随机变量,称f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数,简称概率密度,记为 X~f(x)


2.概率密度f(x)的性质、充要条件:
①非负性: f ( x ) ≥ 0 f(x)≥0 f(x)0

归一性: ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-∞}^{+∞}f(x){\rm d}x=1 +f(x)dx=1

P { a < X ≤ b } = F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x P\{aP{a<Xb}=F(b)F(a)=abf(x)dx

④在f(x)的连续点x处, F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x) = f(x) F(x)=f(x)

其中①② 非负性和归一性,是f(x)成为概率密度的充要条件

已知f(x)为概率密度,则 f ( a x + b ) 为概率密度 ⇔ a = ± 1 f(ax+b)为概率密度\Leftrightarrow a=±1 f(ax+b)为概率密度a=±1
【若|a|≠1,或f(x²) 或f²(x)均不是概率密度】


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F 1 ( x ) F 2 ( x ) F_1(x)F_2(x) F1(x)F2(x) m a x { X 1 , X 2 } max\{X₁,X₂\} max{X1,X2}的分布函数, f 1 ( x ) F 2 ( x ) + F 1 ( x ) f 2 ( x ) f_1(x)F_2(x)+F_1(x)f_2(x) f1(x)F2(x)+F1(x)f2(x)为它的概率密度
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3.求解f(x)
①F(x)求导:先求F(x),则 f ( x ) = F ′ ( x ) f(x)=F'(x) f(x)=F(x)
②由二维概率密度求边缘概率密度:已知f(x,y)表达式,则 f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f_X(x)=\int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy fX(x)=+f(x,y)dy


4.特点
(1)分布函数 F ( x ) = P { X ≤ x } = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=P\{X≤x\}=\int_{-∞}^xf(t)dt F(x)=P{Xx}=xf(t)dt,记为 X ∼ f ( x ) X\sim f(x) Xf(x)。F(x)是连续函数。
(2)f(x)非负、可积,且有归一性: ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-∞}^{+∞}f(x){\rm d}x=1 +f(x)dx=1
(3)概率:
①一点处概率: P { X = a } = 0 P\{X=a\}=0 P{X=a}=0 。(即<、≤的概率相等)
②区间上概率: P { X ∈ B } = ∫ B f ( x ) d x P\{X∈B\}=\int_Bf(x){\rm d}x P{XB}=Bf(x)dx


5.概率P分布函数F概率密度f的关系
P { X ≤ a } = F ( a ) = ∫ − ∞ a f ( x ) d x P\{X≤a\}=F(a)=\int_{-∞}^af(x)dx P{Xa}=F(a)=af(x)dx
P { X > a } P\{X>a\} P{X>a} = 1 − P { X ≤ a } = 1 − F ( a ) =1-P\{X≤a\}=1-F(a) =1P{Xa}=1F(a) = ∫ a + ∞ f ( x ) d x =\int_a^{+∞}f(x)dx =a+f(x)dx
P P P{ a < X ≤ b aa<Xb } = F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x = F(b)-F(a) =\int_a^bf(x)dx =F(b)F(a)=abf(x)dx

F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=\int_{-∞}^xf(t)dt F(x)=xf(t)dt
f ( x ) = F ′ ( x ) f(x)=F'(x) f(x)=F(x)

f可以唯一确定F,但F不能推出f。如U(a,b)和U[a,b],f的x一个开区间,一个闭区间,都能得到同样的F(x)



例题1:02年10.
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分析:
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A. ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ ( f 1 ( x ) + f 2 ( x ) ) d x = ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( x ) d x + ∫ − ∞ + ∞ f 2 ( x ) d x = 2 ≠ 1 ∴ f 1 ( x ) + f 2 ( x ) \int_{-∞}^{+∞}f(x)dx=\int_{-∞}^{+∞}(f_1(x)+f_2(x))dx=\int_{-∞}^{+∞}f_1(x)dx+\int_{-∞}^{+∞}f_2(x)dx=2≠1 \quad ∴f_1(x)+f_2(x) +f(x)dx=+(f1(x)+f2(x))dx=+f1(x)dx++f2(x)dx=2=1f1(x)+f2(x)不是概率密度
B. ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( x ) f 2 ( x ) d x ≠ 1 ∴ f 1 ( x ) f 2 ( x ) \int_{-∞}^{+∞}f(x)dx=\int_{-∞}^{+∞}f_1(x)f_2(x)dx≠1\quad ∴f_1(x)f_2(x) +f(x)dx=+f1(x)f2(x)dx=1f1(x)f2(x)不是概率密度
C. F ( + ∞ ) = F 1 ( + ∞ ) + F 2 ( + ∞ ) = 2 ≠ 1 ∴ F 1 ( x ) + F 2 ( x ) F(+∞)=F_1(+∞)+F_2(+∞)=2≠1 \quad ∴F_1(x)+F_2(x) F(+)=F1(+)+F2(+)=2=1F1(x)+F2(x)不是分布函数

D.① 0 ≤ F 1 ( x ) F 2 ( x ) ≤ 1 0≤F_1(x)F_2(x)≤1 0F1(x)F2(x)1
F 1 ( x ) F 2 ( x ) F_1(x)F_2(x) F1(x)F2(x)单调不减
F 1 ( x ) F 2 ( x ) F_1(x)F_2(x) F1(x)F2(x)右连续
F ( + ∞ ) = F 1 ( + ∞ ) F 2 ( + ∞ ) = 1 , F ( − ∞ ) = F 1 ( − ∞ ) F 2 ( − ∞ ) = 0 F(+∞)=F_1(+∞)F_2(+∞)=1,F(-∞)=F_1(-∞)F_2(-∞)=0 F(+)=F1(+)F2(+)=1F()=F1()F2()=0
F 1 ( x ) F 2 ( x ) F_1(x)F_2(x) F1(x)F2(x)必为某个随机变量的分布函数。

答案:D


例题2:11年7.
在这里插入图片描述

分析:
①如果对乘法的求导法则熟悉,则会发现D的 f 1 ( x ) F 2 ( x ) + f 2 ( x ) F 1 ( x ) = [ F 1 ( x ) F 2 ( x ) ] ′ f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x) = [F_1(x)F_2(x)]' f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)=[F1(x)F2(x)]
②验证性质: ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( x ) F 2 ( x ) + f 2 ( x ) F 1 ( x ) d x = F 1 ( x ) F 2 ( x ) ∣ − ∞ + ∞ = 1 × 1 − 0 × 0 = 1 \int_{-∞}^{+∞}f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x)\rm dx=F_1(x)F_2(x)|_{-∞}^{+∞}=1×1-0×0=1 +f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)dx=F1(x)F2(x)+=1×10×0=1
满足 f ( x ) ≥ 0 f(x)≥0 f(x)0 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-∞}^{+∞}f(x){\rm d}x=1 +f(x)dx=1,为概率密度

答案:D



6.习题


习题1:2016年23.

求概率密度,先求分布函数,再求导。

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答案:
(1)FT(t) = P{T≤t} = P{ max{X1,X2,X3}≤t } = P{ X1≤t,X2≤t,X3≤t } = P{X1≤t}·P{X2≤t}·P{X3≤t} = P3{X≤t} = F3X(t)

(2)aT为θ的无偏估计 ⇦⇨ E(aT)=θ




4.一般类型(混合型)随机变量及其分布

1.定义
在这里插入图片描述

2.解题
只能用定义 F ( X ) = P { X ≤ x } F(X)=P\{X≤x\} F(X)=P{Xx},分区间讨论。最好画图。注意自变量取遍(-∞,+∞)

3.类型
①离散型→离散型
②连续型→连续型 或 混合型

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5.常见的随机变量分布类型:八大分布

1.离散型 (5种)

①0-1分布

0-1分布的概率分布为:
P { X = 1 } = p , P { X = 0 } = 1 − p P\{X=1\}=p,P\{X=0\}=1-p P{X=1}=pP{X=0}=1p

或 ② P { X = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1 P{X=k}=pk(1p)1kk=0,1

在这里插入图片描述


二项分布 X~B(n,p)

n重伯努利实验:干一件事,要么成功,要么失败。成功概率为p,失败概率为1-p。则干这件事n次,成功了k次的概率为

P { X = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k ( k = 0 , 1 , 2 , . . . , n ) P\{X=k\}={\rm C}_n^kp^k(1-p)^{n-k} \qquad (k=0,1,2,...,n) P{X=k}=Cnkpk(1p)nk(k=0,1,2,...,n)
其中, C n k = n ⋅ ( n − 1 ) ⋅ . . . ⋅ ( n − k + 1 ) k ! {\rm C}_n^k=\dfrac{n·(n-1)·...·(n-k+1)}{k!} Cnk=k!n(n1)...(nk+1)



习题1:09年14.   二项分布的期望与方差、E(S²)=D(X)、无偏估计
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分析:
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答案:-1


习题2:16年8.
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分析:
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答案:A


习题3:01年19.    考点:二项分布、泊松分布、条件概率



泊松分布

若随机变量X的概率分布为
P { X = k } = λ k k ! e − λ ( k = 0 , 1 , 2 , . . . ; λ > 0 ) P\{X=k\}=\dfrac{λ^k}{k!}e^{-λ} \qquad (k=0,1,2,...;λ>0) P{X=k}=k!λkeλ(k=0,1,2,...;λ>0)
则称X服从参数为λ的泊松分布(Poisson),记作 X ∼ P ( λ ) X\sim P(λ) XP(λ)。E(X)=λ,D(X)=λ。

λ称为强度。泊松分布的数学期望 E(X)=λ。


应用:
①某场合下,单位时间内源源不断的质点来流的数量
②稀有事件发生的概率


泊松分布由二项分布近似而来。
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习题1:01年19.    考点:二项分布、泊松分布、条件概率
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分析:
X服从泊松分布,X~P(λ)
Y服从二项分布,Y~B(n,p)



④几何分布

【几何分布 G ( p ) G(p) G(p),首中即停止的伯努利试验。】

若X的概率分布为 P { X = k } = ( 1 − p ) k − 1 p ( k = 1 , 2 , . . . ; 0 < p < 1 ) P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p \qquad (k=1,2,...;0P{X=k}=(1p)k1p(k=1,2,...;0<p<1),则称X服从参数为p的几何分布,记为 X ∼ G ( p ) X\sim G(p) XG(p)

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几何分布是离散型的等待分布



例题1:  几何分布推广,首二中即停止: P = C k − 1 1 ( 1 − p ) k − 2 p 2 P=C_{k-1}^1(1-p)^{k-2}p^2 P=Ck11(1p)k2p2

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答案:
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⑤超几何分布

超几何分布 H ( n , N , M ) H(n,N,M) H(n,N,M)

P { X = k } = C M k C N − M n − k C N n P\{X=k\}=\dfrac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} P{X=k}=CNnCMkCNMnk

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2. 连续型 (3种)

均匀分布

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均匀分布,是一维的几何概型


指数分布

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1.指数分布的概率密度
若连续型 随机变量X的概率密度为
f ( x ) = { λ e − λ x , x > 0 0 , x ≤ 0 f(x)=\begin{cases} λe^{-λx}, & x>0\\ 0, & x≤0 \end{cases} f(x)={λeλx,0,x>0x0
其中λ>0为常数,则称X服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ)


2.指数分布的分布函数
F ( x ) = { 1 − e − λ x , x > 0 0 , x ≤ 0 F(x)=\begin{cases} 1-e^{-λx}, & x>0\\ 0, & x≤0 \end{cases} F(x)={1eλx,0,x>0x0

指数分布是连续型等待分布。
指数分布的λ是失效率,指数分布的数学期望 E ( X ) = 1 λ E(X)=\dfrac{1}{λ} E(X)=λ1


3.指数分布的无记忆性
P { X > s + t ∣ X > t } = P { X > s + t } P { X > t } = e − λ ( s + t ) e − λ t = e − λ s = P { X > s } P\{X>s+t|X>t\}=\dfrac{P\{X>s+t\}}{P\{X>t\}}=\dfrac{e^{-λ(s+t)}}{e^{-λt}}=e^{-λs}=P\{X>s\} P{X>s+tX>t}=P{X>t}P{X>s+t}=eλteλ(s+t)=eλs=P{X>s}

P { X > X 1 ∣ X > X 2 } = P { X > X 1 − X 2 } P\{X>X_1|X>X_2\}=P\{X>X_1-X_2\} P{X>X1X>X2}=P{X>X1X2}
②指数分布的λ是失效率,在失效率λ不变的情况下,该理想元件是无损耗的。因此工作1年失效的概率和工作2年失效的概率相等,因此有无记忆性。



习题1:19年22(1)
概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第28张图片

分析:Z = 指数分布×两点分布

答案:
(1) E(X)~1,∴ F ( x ) = { 1 − e − x , x > 0 0 , x ≤ 0 F(x)=\begin{cases} 1-e^{-x}, & x>0\\ 0, & x≤0 \end{cases} F(x)={1ex,0,x>0x0

f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) f_Z(z)=F_Z'(z) fZ(z)=FZ(z)

对于FZ(z):
FZ(z) = P{Z≤z} = P{XY≤z} = P{Y=-1}·P{XY≤z|Y=-1} + P{Y=1}·P{XY≤z|Y=1} = p·P{-X≤z} + (1-p)·P{X≤z}

对于P{-X≤z} :
P{-X≤z} = P{-z≤X} = P{X≥-z} = 1-P{X≤-z} =1-FX(-z) [连续型随机变量,某一点的概率为0]

∴FZ(z) =p·[1-FX(-z)] + (1-p)·FX(z)

对z的取值进行分类讨论:
当z>0时,FZ(z) =p·[1-0] + (1-p)·(1-e-z) = p+(1-p)·(1-e-z)
当z≤0时,FZ(z) =p·[1-(1-ez)] + (1-p)·0 = pez

F Z ( z ) = { p + ( 1 − p ) ⋅ ( 1 − e − z ) , z > 0 p e z , z ≤ 0 F_Z(z) =\begin{cases} p+(1-p)·(1-e^{-z}) , & z>0\\ pe^z, & z≤0 \end{cases} FZ(z)={p+(1p)(1ez),pez,z>0z0

f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) { ( 1 − p ) ⋅ e − z , z > 0 p e z , z ≤ 0 f_Z(z) =F_Z'(z)\begin{cases} (1-p)·e^{-z} , & z>0\\ pe^z, & z≤0 \end{cases} fZ(z)=FZ(z){(1p)ez,pez,z>0z0



正态分布

若X的概率密度为:
f ( x ) = 1 2 π σ e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ( − ∞ < x < + ∞ ) f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-μ}{σ})^2}=\dfrac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{{(x-μ^)}^2}{2σ^2}} \quad(-∞f(x)=2π σ1e21(σxμ)2=2π σ1e2σ2(xμ)2(<x<+)
其中-∞<μ<+∞,σ>0,则称X服从参数为N(μ,σ²)的正态分布,或称X为正态变量,记为 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(μ,σ²) XN(μ,σ2)

①f(x)关于x=μ对称。
x = μ x=μ x=μ时,f(x)取最大值 f ( μ ) = 1 2 π σ f(μ)=\dfrac{1}{\sqrt{2π}σ} f(μ)=2π σ1,只与 σ σ σ有关。

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1.标准正态分布
X~N(0,1),则标准正态分布的概率密度φ(x)为:
φ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 , ( − ∞ < x < + ∞ ) Ф ( x ) = ∫ − ∞ x 1 2 π e − x 2 2 d x ∫ − ∞ + ∞ φ ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − x 2 2 d x = 1 φ(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}},\quad (-∞φ(x)=2π 1e2x2(<x<+)Ф(x)=x2π 1e2x2dx+φ(x)dx=+2π 1e2x2dx=1

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上α分位点
若X~N(0,1),点 μ α μ_α μα右侧概率为α ( P { X > μ α } = α P\{X>μ_α\}=α P{X>μα}=α),则称 μ α μ_α μα为标准正态分布的上α分位点(上侧α分位数)

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公式:
概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第34张图片
推论:
Ф ( 0 ) = 1 2 Ф(0)=\dfrac{1}{2} Ф(0)=21
Ф ( x ) + Ф ( − x ) = 1 Ф(x)+Ф(-x)=1 Ф(x)+Ф(x)=1


结论:对于标准正态分布 X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0,1) XN(0,1)
P = ∫ − ∞ + ∞ φ ( x ) d x = 1 P=\int_{-∞}^{+∞}φ(x)dx=1 P=+φ(x)dx=1
E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x φ ( x ) d x = 0 E(X)=\int_{-∞}^{+∞}xφ(x)dx=0 E(X)=+xφ(x)dx=0
(理解1:φ(x)是偶函数,xφ(x)为奇函数,在对称区间上积分为0. 理解2: ∫ − ∞ + ∞ x φ ( x ) d x \int_{-∞}^{+∞}xφ(x)dx +xφ(x)dx即为标准正态分布的数学期望,X~N(0,1),则期望为0)


2.正态分布的独立可加性
若X与Y分别服从正态分布 N ( μ 1 , σ 1 2 ) N(μ_1,σ_1^2) N(μ1,σ12) N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(μ_2,σ_2^2) N(μ2,σ22),且X与Y相互独立。
Z = X − Y Z=X-Y Z=XY也服从正态分布, Z ∼ N ( μ 1 − μ 2 , σ 1 2 + σ 2 2 ) Z\sim N( μ_1-μ_2, σ_1^2+σ_2^2) ZN(μ1μ2,σ12+σ22)


独立可加性 (XY独立且同类型分布)

若X与Y独立,且满足以下5种同类型分布,则具有独立可加性.

分布 X,Y独立 ⇨ 独立可加性
①二项分布 X~B(m,p), Y~B(n,p) X+Y~ B(m+n,p)
②泊松分布 X~P(λ₁), Y~P(λ₂) X+Y~ P(λ₁+λ₂)
③正态分布 X~N(μ₁,σ₁²), Y~N(μ₂,σ₂²) X ± Y ∼ N ( μ 1 ± μ 2 , σ 1 2 + σ 2 2 ) X±Y\sim N(μ₁±μ₂,σ²₁+σ₂²) X±YN(μ1±μ2σ12+σ22)
④卡方分布 X~χ²(m), Y~χ²(n) X+Y~ χ²(m+n)
⑤指数分布 X~E(λ₁), X~E(λ₂) m i n { X , Y } min\{X,Y\} min{X,Y} ∼ E ( λ 1 + λ 2 ) \sim E(λ₁+λ₂) E(λ1+λ2)

3.正态分布 μ,σ 对图像的影响
期望μ:对称轴位置
方差σ:方差越大,越分散(越不集中,在均值附近的面积越小)



例题1:23李林六套卷(三)9. 独立可加性
概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第35张图片

分析:
概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第36张图片

答案:C


习题1:17年14.   标准正态分布
在这里插入图片描述

分析:
概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第37张图片

答案:2


习题2:19年23(1)
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习题3:12年23.   正态分布的独立可加性
概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第39张图片

分析:
(3)注意样本与总体独立同分布

答案:
(1)∵X与Y相互独立且分别服从正态分布
∴由正态分布的独立可加性知 Z=X-Y 也服从正态分布,Z~N(0,3σ2)

(3) E ( σ ^ 2 ) = E ( ∑ i = 1 n Z i 2 3 n ) = 1 3 n E ( ∑ i = 1 n Z i 2 ) = 1 3 n ∑ i = 1 n E ( Z i 2 ) = 1 3 n ∑ i = 1 n E ( Z 2 ) = 1 3 n × n × [ D ( Z ) + E 2 ( Z ) ] = 1 3 × ( 3 σ 2 + 0 ) = σ 2 E(\hat{σ}^2)=E(\dfrac{{\sum\limits_{i=1}^n}Z_i^2}{3n})=\dfrac{1}{3n}E(\sum\limits_{i=1}^n{Z_i^2})=\dfrac{1}{3n}\sum\limits_{i=1}^nE({Z_i^2})=\dfrac{1}{3n}\sum\limits_{i=1}^nE({Z^2})=\dfrac{1}{3n}×n×[D(Z)+E^2(Z)]=\dfrac{1}{3}×(3σ^2+0)=σ^2 E(σ^2)=E(3ni=1nZi2)=3n1E(i=1nZi2)=3n1i=1nE(Zi2)=3n1i=1nE(Z2)=3n1×n×[D(Z)+E2(Z)]=31×(3σ2+0)=σ2
σ ^ 2 \hat{σ}^2 σ^2是σ2的无偏估计


习题4:13年07.   正态分布 μ,σ 对图像的影响
在这里插入图片描述

答案:A


习题5:06年14.   正态分布 μ,σ 对图像的影响

概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第40张图片

答案:A


习题6:16年7.   正态分布 μ,σ 对图像的影响
在这里插入图片描述

分析:将X标准化为标准正态分布
概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第41张图片

答案:B



6.一维随机变量函数的分布





Ch3. 多维随机变量及其分布

多维随机变量:联合、边缘、条件、独立性、函数分布

1.二维(n维)随机变量

1.多维随机变量

X:一维随机变量
(X,Y):二维随机变量
(X₁,X₂,…,Xn):n维随机变量

概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第42张图片


2.多维随机变量的分布函数

(1)联合分布函数

(1)概念
F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)=P\{X≤x,Y≤y\} F(x,y)=P{Xx,Yy} (-∞

概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第43张图片


(2)性质
③二维规范性/归一性:若为二维连续型随机变量, F ( + ∞ , + ∞ ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 F(+∞,+∞)=\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(x,y){\rm d}x{\rm d}y = 1 F(+,+)=++f(x,y)dxdy=1

概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第44张图片



例题1:10年22.(1)



(2)边缘分布函数

F X ( x ) = P { X ≤ x , Y ≤ + ∞ } = F ( x , + ∞ ) F_X(x)=P\{X≤x,Y≤+∞\}=F(x,+∞) FX(x)=P{Xx,Y+}=F(x,+)
F Y ( y ) = P { X ≤ + ∞ , Y ≤ y } = F ( + ∞ , y ) F_Y(y)=P\{X≤+∞,Y≤y\}=F(+∞,y) FY(y)=P{X+,Yy}=F(+,y)

概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第45张图片
在这里插入图片描述

边缘分布函数,考试常考



常见的两类二维随机变量:离散型随机变量、连续型随机变量

2.二维离散型随机变量及其分布

(1)联合分布律

p i j = P { X = x i , Y = y j } i , j = 1 , 2 , . . . p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\} \quad i,j=1,2,... pij=P{X=xi,Y=yj}i,j=1,2,...
(X,Y)的分布律 或 X和Y的联合分布律,记为 ( X , Y ) ∼ p i j (X,Y)\sim p_{ij} (X,Y)pij

概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第46张图片

联合分布律的求法:求出每个P{ }的值,画分布律


例题1:09年22.(2)



(2)边缘分布律

联合分布律的右边缘 p i ⋅ p_{i·} pi、下边缘 p ⋅ j p_{·j} pj,称为X、Y的边缘分布律

联合分布律: p i j = P { X = x i , Y = y j } p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\} pij=P{X=xi,Y=yj}

边缘分布率:
p i ⋅ = P { X = x i } p_{i·}=P\{X=x_i\} pi=P{X=xi}
p ⋅ j = P { Y = y j } p_{·j}=P\{Y=y_j\} pj=P{Y=yj}


(3)条件分布律

条件 = 联合 边缘 条件=\dfrac{联合}{边缘} 条件=边缘联合

概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第47张图片


3.二维连续型随机变量及其分布

(1)二维随机变量的概率密度 f(x,y):联合概率密度

(1)定义

F(x,y)二维随机变量(X,Y)分布函数,若存在非负函数f(x,y),使得对于任意实数x、y,有 F ( x , y ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ x f ( u , v ) d u d v F(x,y)=\int_{-∞}^y\int_{-∞}^xf(u,v)dudv F(x,y)=yxf(u,v)dudv
则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称函数f(x,y)二维随机变量(X,Y)的概率密度随机变量X和Y的联合概率密度


(2)性质

1.非负性:f(x,y)≥0
2.规范性/归一性:
F ( x , y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(x,y)=\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dxdy=F(+∞,+∞)=1 F(x,y)=++f(x,y)dxdy=F(+,+)=1
3.设D是xOy平面上的一个区域,则(X,Y)落在D内的概率为
P { ( X , Y ) ∈ D } = ∬ D f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈D\}=\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y P{(X,Y)D}=Df(x,y)dxdy

举例: 若 Z = 2 X − Y ,则 F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { 2 X − Y ≤ z } = ∬ 2 x − y ≤ z f ( x , y ) d x d y 若Z=2X-Y,则F_Z(z)=P\{Z≤z\}=P\{2X-Y≤z\}=\iint\limits_{2x-y≤z}f(x,y)dxdy Z=2XY,则FZ(z)=P{Zz}=P{2XYz}=2xyzf(x,y)dxdy

当(X,Y)服从二维均匀分布时, P { ( X , Y ) ∈ D } = ∬ D f ( x , y ) d x d y = S ( D ) S ( A ) P\{(X,Y)∈D\}=\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y=\dfrac{S(D)}{S(A)} P{(X,Y)D}=Df(x,y)dxdy=S(A)S(D)

4.偏导
概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第48张图片


例题1:03年5.   二维连续型随机变量的分布:f(x,y)的性质注意积分区域的限:D∩定义域
概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第49张图片

分析:设D是xOy平面上的一个区域,则(X,Y)落在D内的概率为 P { ( X , Y ) ∈ D } = ∬ D f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈D\}=\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y P{(X,Y)D}=Df(x,y)dxdy
概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第50张图片

答案: 1 4 \dfrac{1}{4} 41


例题2:12年07.   f(x,y)的性质: P { ( X , Y ) ∈ D } = ∬ D f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈D\}=\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y P{(X,Y)D}=Df(x,y)dxdy
在这里插入图片描述
分析:
概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第51张图片
答案:A


例题3:16年22.(2)



(2)边缘分布

1.边缘概率分布

F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( u , v ) d v ] d u F_X(x)=F(x,+∞)=\int_{-∞}^x[\int_{-∞}^{+∞}f(u,v)dv]du FX(x)=F(x,+)=x[+f(u,v)dv]du
F Y ( y ) = F ( + ∞ , y ) F_Y(y)=F(+∞,y) FY(y)=F(+,y)

2.边缘概率密度

f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f_X(x) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y){\rm d}y fX(x)=+f(x,y)dy 【注意上下限是代y的取值,x是常数】

f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_Y(y) = \int_{-∞}^{+∞}f(x,y){\rm d}x fY(y)=+f(x,y)dx



例题1:由联合概率密度求边缘概率密度
口诀:求谁不积谁,后积先定限,限内画条线,先交写下限,后交写上限


例题2:10年22.(2)



(3)条件分布

1.条件概率密度

f X ∣ Y ( x   ∣   y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f_{X|Y}(x\ |\ y) = \dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)} fXY(x  y)=fY(y)f(x,y)

f Y ∣ X ( y   ∣   x ) = f ( x , y ) f X ( x ) f_{Y|X}(y\ |\ x) = \dfrac{f(x,y)}{f_X(x)} fYX(y  x)=fX(x)f(x,y) 【条件= 联合/边缘】

概率密度乘法公式:
在这里插入图片描述


2.条件分布函数

概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第52张图片


例题1:07年10.   条件概率密度

在这里插入图片描述

分析:
∵ 随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,则X与Y相互独立。
f X ∣ Y ( x   ∣   y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) f Y ( y ) = f X ( x ) f_{X|Y}(x\ |\ y) = \dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\dfrac{f_X(x)·f_Y(y)}{f_Y(y)}=f_X(x) fXY(x  y)=fY(y)f(x,y)=fY(y)fX(x)fY(y)=fX(x)

概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第53张图片
答案:A


例题2:22年10.
在这里插入图片描述

答案:D


例题3:10年22.(2)



(4)二维均匀分布

设D是坐标平面xOy上面积为A的有界区域D,若二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f ( x , y ) = { 1 A , ( x , y ) ∈ D , 0 , ( x , y ) ∉ D f(x,y)= \left \{\begin{array}{cc} \dfrac{1}{A}, &(x,y)∈D,\\ 0, & (x,y)∉D \end{array}\right. f(x,y)={A1,0,(x,y)D(x,y)/D
则称(X,Y)在区域D上服从均匀分布,记为 (X,Y) ~ UD



例题1:16年22.
在这里插入图片描述

答案:查看李艳芳的讲解



(5)二维正态分布

1.定义:
若二维随机变量(X,Y)的概率密度为
概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第54张图片

则称(X,Y)为服从参数μ1212,ρ的二维正态分布,记作 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 ; σ 1 , σ 2 ; ρ ) (X,Y)\sim N(μ_1,μ_2;σ_1,σ_2;ρ) (X,Y)N(μ1,μ2;σ1,σ2;ρ)


2.性质
(1)二维正态分布:X与Y相互独立 ⇦⇨ X与Y不相关,ρXY=0

(2)若(X,Y)服从二维正态分布,则:
①X、Y各自服从一维正态分布:
即若有 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 ; σ 1 , σ 2 ; ρ ) (X,Y)\sim N(μ_1,μ_2;σ_1,σ_2;ρ) (X,Y)N(μ1,μ2;σ1,σ2;ρ),则 X ∼ N ( μ 1 , σ 1 ) X\sim N(μ_1,σ_1) XN(μ1,σ1) Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 ) Y\sim N(μ_2,σ_2) YN(μ2,σ2)

②X,Y的线性组合 a X + b Y ( a ≠ 0 或 b ≠ 0 ) aX+bY\quad (a≠0或b≠0) aX+bY(a=0b=0) 也服从正态分布



例题1:15年14.   二维正态分布, ρ = 0 ρ=0 ρ=0则X与Y独立

在这里插入图片描述
分析:
概率论与数理统计:第二、三章:一维~n维随机变量及其分布_第55张图片

答案: 1 2 \dfrac{1}{2} 21


例题2:11年14.
在这里插入图片描述

分析:∵ρ=0 ∴X与Y相互独立 ∴E(XY²)=E(X)·E(Y²)=E(X)·[D(X)+E²(Y)]=μ(σ²+μ²)

答案:μ(σ²+μ²)


例题3:07年10.



4.独立性 【随机变量的独立性

(1)定义 (相互独立的充要条件)

对于(X,Y)是二维随机变量:

①普通:
P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } ⋅ P { Y ≤ y } ⇔ X , Y 独立 P\{X≤x,Y≤y\}=P\{X≤x\}·P\{Y≤y\}\Leftrightarrow X,Y独立 P{XxYy}=P{Xx}P{Yy}X,Y独立
F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y ) ⇔ X , Y 独立 F(x,y)=F_X(x)·F_Y(y)\Leftrightarrow X,Y独立 F(x,y)=FX(x)FY(y)X,Y独立

②离散: ∀ i , j ∀i,j i,j,有 p i j = p i ⋅ ⋅ p ⋅ j ⇔ X , Y 独立 p_{ij}=p_{i·}·p_{·j}\Leftrightarrow X,Y独立 pij=pipjX,Y独立
ョ i , j ョi,j i,j,使得 p i j ≠ p i ⋅ ⋅ p ⋅ j p_{ij}≠p_{i·}·p_{·j} pij=pipj,则X,Y不独立

③连续: f ( x , y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) ⇔ X , Y 独立 f(x,y)=f_X(x)·f_Y(y)\Leftrightarrow X,Y独立 f(x,y)=fX(x)fY(y)X,Y独立


(2)独立的性质

两变量独立,则P{ }可拆:P{X≤a}·P{Y≤b} = P{X≤a,Y≤b}
注意,F要先转换为P,然后P可拆。

详情查看此文:https://blog.csdn.net/Edward1027/article/details/126604163



5.二维随机变量 函数的分布

常考三类多维随机变量

(1)(离散型,离散型)→离散型

比较简单


(2)(连续型,连续型)→连续型

①分布函数法

P { ( X , Y ) ∈ D } = ∬ D f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)∈D\}=\iint\limits_Df(x,y){\rm d}x{\rm d}y P{(X,Y)D}=Df(x,y)dxdy

F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { g ( x , y ) ≤ z } = ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P\{Z≤z\}=P\{g(x,y)≤z\}=\iint\limits_{g(x,y)≤z}f(x,y){\rm d}x{\rm d}y FZ(z)=P{Zz}=P{g(x,y)z}=g(x,y)zf(x,y)dxdy
f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) f_Z(z)=F_Z'(z) fZ(z)=FZ(z)


②卷积公式

卷积公式:专门针对 加、减、乘、除
口诀:积谁不换谁,换完求偏导 (对z求偏导,乘其系数的绝对值)

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(3)(离散型,连续型)→连续型

离散+连续:全概率公式

X和Y,一格离散,一个连续:Z=XY,先用全概率公式,再用独立性



例题1:基础30讲 3.11   离散+连续:全概率公式 (“全集分解思想”)
在这里插入图片描述

答案:
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习题1:09年8.   离散+连续:全概率公式
在这里插入图片描述

分析:
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答案:B


习题2:23李林4套卷(二)22.(1)   离散+连续:全概率公式
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答案:
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