线性代数(四) 特征值&相似矩阵

前言

前面主要讲述的是方程组和矩阵的关系,现在了解下矩阵和矩阵的关系

方阵的特征值与特征向量

假设A为n阶方阵,对于一个数 λ \lambda λ

若存在:非零列向量 α \alpha α,使得: A α ⃗ = λ α ⃗ A\vec{\alpha}=\lambda\vec{\alpha} Aα =λα

  • λ \lambda λ叫做矩阵A的一个特征值

  • α ⃗ \vec{\alpha} α 叫做对应特征值的特征向量

线性代数(四) 特征值&相似矩阵_第1张图片

  • 由于 α ⃗ \vec\alpha α 是非零列向量
  • λ \lambda λ作为未知量, A − λ E = 0 A-\lambda E = 0 AλE=0
  • 因为存在 λ \lambda λ解 => ∣ A − λ E ∣ = 0 |A-\lambda E| = 0 AλE=0

求解特征方程

给一个n阶矩阵A写出特征矩阵
( 4 − 2 1 1 ) − ( λ 0 0 λ ) = ( 4 − λ − 2 1 1 − λ ) \begin{pmatrix} 4 & -2\\ 1 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4- \lambda & -2\\ 1 & 1-\lambda\end{pmatrix} (4121)(λ00λ)=(4λ121λ)
将特征矩阵转为特征行列式
∣ 4 − λ − 2 1 1 − λ ∣ = − ∣ 1 1 − λ 4 − λ − 2 ∣ = − ∣ 1 1 − λ 0 − 2 − ( 1 − λ ) ∗ ( 4 − λ ) ∣ = 0 \begin{vmatrix} 4- \lambda & -2\\ 1 & 1-\lambda\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 1 & 1-\lambda\\ 4- \lambda& - 2\end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 1 & 1-\lambda\\ 0 & -2-(1-\lambda) *(4- \lambda) \end{vmatrix} = 0 4λ121λ = 14λ1λ2 = 101λ2(1λ)(4λ) =0
求出根
λ 2 − 5 λ + 6 = 0 ⟹ λ 1 = 2 , λ 2 = 3 \lambda^2-5\lambda + 6 =0 \Longrightarrow \lambda_1=2 ,\lambda_2=3 λ25λ+6=0λ1=2,λ2=3
求解特征值对应的特征向量

  • λ 1 = 2 , λ 2 = 3 \lambda_1=2 ,\lambda_2=3 λ1=2,λ2=3 代入 ( A − λ E ) α ⃗ = 0 (A-\lambda E)\vec{\alpha} = 0 AλEα =0
  • 线性代数(四) 特征值&相似矩阵_第2张图片
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    基本性质
    线性代数(四) 特征值&相似矩阵_第4张图片
  • 特征值和特征向量,就是类似于 给“坐标” 求他的坐标系的问题。
  • 特征值 λ \lambda λ用于消除“坐标”某一维度,得到 特征向量为这一维度的 “坐标系”
  • 如果出现了 λ \lambda λN重根,则得到的特征向量 “坐标系” 包含N个维度

线性代数(四) 特征值&相似矩阵_第5张图片

  • 方阵的行列式=方阵的全部特征值之积
  • 方阵主对角线元素之和=方阵的全部特征值之和

相似矩阵

线性代数(四) 特征值&相似矩阵_第6张图片
相似矩阵的定义,可以用坐标系变换的视角来理解

  1. 需要把:A和B看做是两个变换
  2. 那么 A = P − 1 B P A=P^{-1}BP A=P1BP具体是指:
    • A是P坐标系下的一个<变换>
    • 该<变换>若在标准坐标系下观察则是B变换

例如:在标准坐标系下有一个伸缩变换为B,在P坐标系下相同的伸缩变换观察到的是A
线性代数(四) 特征值&相似矩阵_第7张图片

若A和B相似,因观察的视角不同,但本质是相同的变换

相似矩阵的性质

若A和B相似,即 A ∽ B B ∽ A A \backsim B \quad B \backsim A ABBA

  1. 相似矩阵的行列式值相同
  2. 相似矩阵的特征值相同
  3. 相似矩阵的秩相同
  4. 相似矩阵的迹相同
  5. 相似矩阵的可逆性相同

主要参考

《11.3 求解特征值和特征向量(基础解系法)》
《11.4 特征值与特征向量的性质》
《11.5特征值与矩阵的迹》
《1.6 特征根的代数重数与几何重数》
《11.7 相似矩阵到底在说什么》

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