线性代数(四) 特征值&相似矩阵

前言

前面主要讲述的是方程组和矩阵的关系，现在了解下矩阵和矩阵的关系

方阵的特征值与特征向量

假设A为n阶方阵，对于一个数 $\lambda$

若存在：非零列向量 $\alpha$，使得：$A\alpha =\lambda \alpha$

• $\lambda$叫做矩阵A的一个特征值

• $\alpha$叫做对应特征值的特征向量

• 由于$\alpha$是非零列向量
• 把$\lambda$作为未知量， $A-\lambda E=0$
• 因为存在$\lambda$解 => $|A-\lambda E|=0$

求解特征方程

给一个n阶矩阵A写出特征矩阵
$$\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 1& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-\lambda & -2\\ 1& 1-\lambda \end{array}\right)$$
将特征矩阵转为特征行列式
∣ 4 − λ − 2 1 1 − λ ∣ = − ∣ 1 1 − λ 4 − λ − 2 ∣ = − ∣ 1 1 − λ 0 − 2 − ( 1 − λ ) ∗ ( 4 − λ ) ∣ = 0 \begin{vmatrix} 4- \lambda & -2\\ 1 & 1-\lambda\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 1 & 1-\lambda\\ 4- \lambda& - 2\end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 1 & 1-\lambda\\ 0 & -2-(1-\lambda) *(4- \lambda) \end{vmatrix} = 0 ​4−λ1​−21−λ​ ​=− ​14−λ​1−λ−2​ ​=− ​10​1−λ−2−(1−λ)∗(4−λ)​ ​=0
求出根
$${\lambda }^2-5\lambda +6=0⟹{\lambda }_1=2,{\lambda }_2=3$$
求解特征值对应的特征向量

• 将${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=3$ 代入 $（A-\lambda E）\alpha =0$
• 
• 
  基本性质
  

• 特征值和特征向量，就是类似于 给“坐标” 求他的坐标系的问题。
• 特征值$\lambda$用于消除“坐标”某一维度，得到 特征向量为这一维度的 “坐标系”
• 如果出现了$\lambda$N重根，则得到的特征向量 “坐标系” 包含N个维度

• 方阵的行列式=方阵的全部特征值之积
• 方阵主对角线元素之和=方阵的全部特征值之和

相似矩阵

相似矩阵的定义，可以用坐标系变换的视角来理解

1. 需要把：A和B看做是两个变换
2. 那么 $A=P^{-1}BP$具体是指：
   • A是P坐标系下的一个<变换>
   • 该<变换>若在标准坐标系下观察则是B变换

例如：在标准坐标系下有一个伸缩变换为B,在P坐标系下相同的伸缩变换观察到的是A

若A和B相似，因观察的视角不同，但本质是相同的变换

相似矩阵的性质

若A和B相似，即$A\backsim BB\backsim A$

1. 相似矩阵的行列式值相同
2. 相似矩阵的特征值相同
3. 相似矩阵的秩相同
4. 相似矩阵的迹相同
5. 相似矩阵的可逆性相同

主要参考

《11.3 求解特征值和特征向量（基础解系法）》
《11.4 特征值与特征向量的性质》
《11.5特征值与矩阵的迹》
《1.6 特征根的代数重数与几何重数》
《11.7 相似矩阵到底在说什么》