线性代数(一) 行列式

前言

行列式在线性代数中具有非常重要的地位,很多线性代数的问题都可以转化为计算行列式来解决。

集合

集合的表示方法：常用的有列举法和描述法。

• 列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，例如{1,2,3,4}
• 描述法: 通过列出集合中全体元素所共有有的性质或就满足的条件来刻画集合的方法。通常用$S=\{x\in A|P(x)\}$的形式表示要是由集合A中具有性质P的所有元素所有元素组成的集合
  

幂集

S为集合，令$2^S=B=\{X|X\subseteq S\}$ 即称$2^S$为S的幂集.

假如S为有限集，|S|=3, 即$2^S$的个数为$2^{|S|}$ = 8

数集

数集就是数的集合。

• Z+：所有正整数组成的集合
• Z:全体整数组成的集合称为整数集
• Q:全体有理数组成的集合
• R:全体实数组成的集合
• C:全体复数组成的集合

利用Z集合构造出新的重要复数集合
$Z[i]=\{a+bi|a,b\in Z\}$

数域

设K为至少包含两个元素的数集，若K关于数的加法，乘法及其逆运算都封闭，则称数集K关于加法和乘法组成的代数结构(K,+,*)为一个数域。

简单的讲就是K中的数通过加与乘的运算（代数运算）得到在结果还在K中，则称K是一个数域

行列式

矩阵的行列式，determinate（简称det），是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量。是为求解线性方程组而引入的。

2,3阶行列式

计算方式：对角线法则

注：要先移动第1，2列至右侧，然后画对角线。

n阶行列式

对角线法则只适用于2，3阶行列式，对于N阶定义如下

偶排列里面经过一次交换，会变成奇排列， 123 -> 132 即 t(123)=0 变成 t(132) = 1，奇排列交换同理。

• 性质1 行列式与它的转置行列式相等
  注：行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

• 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号
  推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零

• 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式.
  推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．

• 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
  注：利用性质3提取公因子，利用性质2的推论可得0

• 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则等于对应的两个行列式之和.
  ∣ a 11 a 12 + b 12 a 13 a 21 a 22 + b 22 a 23 a 31 a 32 + b 32 a 33 ∣ = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ + ∣ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} + b_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} + b_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} + b_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{vmatrix} ​a11​a21​a31​​a12​+b12​a22​+b22​a32​+b32​​a13​a23​a33​​ ​= ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​ ​+ ​b11​b21​b31​​b12​b22​b32​​b13​b23​b33​​ ​

• 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
  ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∣ a 11 a 12 + k a 13 a 13 a 21 a 22 + k a 23 a 23 a 31 a 32 + k a 33 a 33 ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} + ka_{13} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} + ka_{23} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} + ka_{33} & a_{33} \end{vmatrix} ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​ ​= ​a11​a21​a31​​a12​+ka13​a22​+ka23​a32​+ka33​​a13​a23​a33​​ ​
  注：用性质5把右边式子拆成两方式式，用性质4证明有一个是0

拉普拉斯展开定理

除了上述使用排序的方式得到N阶展开式，也可以通过 拉普拉斯展开定理 使用低阶行列式来表示高阶行列式。当表示到2，3阶时，用对角线法转换，从而得到最终的表示式。

拉普拉斯展开定理:
行列式等待它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
$$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}(i=1,2,...,n)$$

将式子反向转化成 行列式，再根据性质：有两行元素相等时，此行列式为0。

行列式的解方程- 克拉默法则

1. 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 .
2. 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.
   
3. 如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.
4. 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零

简化计算

三角行列式和对角行列式能快速的计算出det.如何通过基本变化得到

另外，也可以利用基本变化性质简化拉普拉斯展开定理。即当换到
∣ 1 2 1 3 0 4 − 2 − 19 0 − 2 − 3 − 14 0 − 6 − 1 − 5 ∣ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 3\\ 0 & 4 & -2 & -19\\ 0 & -2 & -3 & -14\\ 0 & -6 & -1 & -5 \end{vmatrix} ​1000​24−2−6​1−2−3−1​3−19−14−5​ ​ 就可以直接转化为

1 ∗ ∣ 2 1 3 4 − 2 − 19 − 2 − 3 − 14 − 6 − 1 − 5 ∣ 1 * \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3\\ 4 & -2 & -19\\ -2 & -3 & -14\\ -6 & -1 & -5 \end{vmatrix} 1∗ ​24−2−6​1−2−3−1​3−19−14−5​ ​