线性代数的学习和整理---番外1：EXCEL里角度，弧度，三角函数

目录

1 角的度量：角度和弧度

1.1 角度 angle

1.1.1 定义

1.1.2 公式

1.1.2 角度取值范围

1.2 弧长和弦长

1.3 弧度  rad

1.3.1 弧长和弧度定义的原理

1.3.2 定义

1.3.3 取值范围

1.3.4 取值范围

1.4 角度，弧度的换算

1.5 EXCEL里进行角度和弧度的换算

2 三角函数的计算

2.1 三角函数

2.1.1 定义

2.1.2 取值范围

2.2 EXCEL计算三角函数，需用用 弧度值，如sin(弧度)

3 高级三角函数和公式

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1 角的度量：角度和弧度

角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制。

1.1 角度 angle

1.1.1 定义

• 什么是角度：两条相交直线中的任何一条与另一条相叠合时必须转动的量的量度,转动在这两条直线的所在平面上并绕交点进行。
• 在美索不达米亚平原上，公元前的古巴比伦人把圆周的称为1度（记作1°），度下面又设有“分”和“秒”二个单位，60分为1度，60秒为1分。
• 角度的单位为度，度是用以度量角的大小的单位，符号为°。
• 一周角分为360等份，每份定义为1度(1°)。周角采用360这数字，因为它容易被整除。
• 360除了1和自己，还有22个真因数，包括了7以外从2到10的数字，所以很多特殊的角的角度都是整数。

1.1.2 公式

• 角度是一个数学概念。
• 可以描述角的大小，即两条相交直线中的任何一条与另一条相叠合时必须转动的量。
• 角度计算公式是tanB=(x2-x1)/(y2-y1)

1.1.2 角度取值范围

1. 理论上没有取值范围，180，360，720度
2. 但是根据到具体的图形里，某些图形的角度是有范围的。
3. 如果是圆形，那么角度∈[0,360]

1.2 弧长和弦长

• 弧长就是弧线的长度，是曲线。
• 弦长是扇形等图形里连接2个线段终点的线段，是直线。
• 圆形里，弦长=圆周长=2Πr
• 长度，当然长度是没有上限的，[0，+∞]

1.3 弧度  rad

1.3.1 弧长和弧度定义的原理

• 为什么要有弧度
• 角度是一个360度的度量，和半径用长度度量，完全是不同的度量标准。计算比较麻烦
• 弧度建立的思想，是为了统一弧长和半径，这2个单位都用长度度量，就只有长度这一个标准了。
• 这样弧度就=弧长/半径，也等于了一个长度单位了

1.3.2 定义

• 弧度，在数学和物理中，弧度是角的度量单位。缩写是rad。
• 定义：弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1)。
• 所以说，弧度是指在一个圆中，弧长除以半径的值，

1.3.3 取值范围

• |弧度|=弧长/半径

1.3.4 取值范围

• 弧度理论上没有范围，和长度对应，长度没有上限，弧度也可以没上限
• 但是具体到某些图形里，弧度的取值有范围限制

1. 圆形的弧长[0,2Πr]，对应圆形的弧度[0,2Π]

1.4 角度，弧度的换算

• 角度和弧度互相换算
• 因为一个正圆形，360度=2Π弧度

公式变形推导

1. 360度  =2Π弧度 = 2Π * (180/Π) 度 = 360度 
2. 2Π弧度 = 2Π * (180/Π) 度
3. 1弧度 =  (180/Π) 度

• 所以，其换算公式

1. Π=3.1415926，EXCEL用pi()返还Π
2. 弧度=角度*PI()/180 = 角度* 0.017453293
3. 角度=弧度*180/PI() = 弧度*57.29577951
4. 因此1弧度  =180/ Π   =57.29度
5. 因此1度     =Π/180    =0.017弧度

1.5 EXCEL里进行角度和弧度的换算

• 换算公式
• 弧度= 角度*PI()/180
• 弧度 = RADIANS(角度)   EXCEL的内置函数
• 具体计算下表

2 三角函数的计算

2.1 三角函数

2.1.1 定义

• 角度
• 弧长
• sin()
• cos()
• tan()
• cot()
• sec()
• css()

 

2.1.2 取值范围

• 三角函数的范围 [-1,1]

2.2 EXCEL计算三角函数，需用用 弧度值，如sin(弧度)

• EXCEL里计算三角函数，需用用 弧度值，而不是角度
• 如sin(弧度)
• 三角函数的范围 [-1,1]

 

3 高级三角函数和公式

两角和公式

• sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
• sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
• cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
• cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
• tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
• tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
• cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
• cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

• tan2A = 2tanA/(1-tan² A)
• Sin2A=2SinA•CosA
• Cos2A = Cos^2 A–Sin² A
• =2Cos² A—1
• =1—2sin^2 A

和差化积

• sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
• sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
• cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
• cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
• tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

积化和差

• sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
• cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
• sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
• cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]