线性代数的学习和整理---番外1:EXCEL里角度,弧度,三角函数

目录

1 角的度量:角度和弧度

1.1 角度 angle

1.1.1 定义

1.1.2 公式

1.1.2 角度取值范围

1.2 弧长和弦长

1.3 弧度  rad

1.3.1 弧长和弧度定义的原理

1.3.2 定义

1.3.3 取值范围

1.3.4 取值范围

1.4 角度,弧度的换算

1.5 EXCEL里进行角度和弧度的换算

2 三角函数的计算

2.1 三角函数

2.1.1 定义

2.1.2 取值范围

2.2 EXCEL计算三角函数,需用用 弧度值,如sin(弧度)

3 高级三角函数和公式


1 角的度量:角度和弧度

角的度量单位通常有两种,一种是角度制,另一种就是弧度制。

1.1 角度 angle

1.1.1 定义

  • 什么是角度:两条相交直线中的任何一条与另一条相叠合时必须转动的量的量度,转动在这两条直线的所在平面上并绕交点进行。
  • 在美索不达米亚平原上,公元前的古巴比伦人把圆周的称为1度(记作1°),度下面又设有“分”和“秒”二个单位,60分为1度,60秒为1分。
  • 角度的单位为度,度是用以度量角的大小的单位,符号为°。
  • 一周角分为360等份,每份定义为1度(1°)。周角采用360这数字,因为它容易被整除。
  • 360除了1和自己,还有22个真因数,包括了7以外从2到10的数字,所以很多特殊的角的角度都是整数。

1.1.2 公式

  • 角度是一个数学概念。
  • 可以描述角的大小,即两条相交直线中的任何一条与另一条相叠合时必须转动的量。
  • 角度计算公式是tanB=(x2-x1)/(y2-y1)

1.1.2 角度取值范围

  1. 理论上没有取值范围,180,360,720度
  2. 但是根据到具体的图形里,某些图形的角度是有范围的。
  3. 如果是圆形,那么角度∈[0,360]

1.2 弧长和弦长

  • 弧长就是弧线的长度,是曲线。
  • 弦长是扇形等图形里连接2个线段终点的线段,是直线。
  • 圆形里,弦长=圆周长=2Πr
  • 长度,当然长度是没有上限的,[0,+∞]

1.3 弧度  rad

1.3.1 弧长和弧度定义的原理

  • 为什么要有弧度
  • 角度是一个360度的度量,和半径用长度度量,完全是不同的度量标准。计算比较麻烦
  • 弧度建立的思想,是为了统一弧长和半径,这2个单位都用长度度量,就只有长度这一个标准了。
  • 这样弧度就=弧长/半径,也等于了一个长度单位了

1.3.2 定义

  • 弧度,在数学和物理中,弧度是角的度量单位。缩写是rad。
  • 定义:弧长等于半径的弧,其所对的圆心角为1弧度。即两条射线从圆心向圆周射出,形成一个夹角和夹角正对的一段弧。当这段弧长正好等于圆的半径时,两条射线的夹角的弧度为1)。
  • 所以说,弧度是指在一个圆中,弧长除以半径的值,

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1.3.3 取值范围

  • |弧度|=弧长/半径

1.3.4 取值范围

  • 弧度理论上没有范围,和长度对应,长度没有上限,弧度也可以没上限
  • 但是具体到某些图形里,弧度的取值有范围限制
  1. 圆形的弧长[0,2Πr],对应圆形的弧度[0,2Π]

1.4 角度,弧度的换算

  • 角度和弧度互相换算
  • 因为一个正圆形,360度=2Π弧度

公式变形推导

  1. 360度  =2Π弧度 = 2Π * (180/Π) 度 = 360度 
  2. 2Π弧度 = 2Π * (180/Π) 度
  3. 1弧度 =  (180/Π) 度
  • 所以,其换算公式
  1. Π=3.1415926,EXCEL用pi()返还Π
  2. 弧度=角度*PI()/180 = 角度* 0.017453293
  3. 角度=弧度*180/PI() = 弧度*57.29577951
  4. 因此1弧度  =180/ Π   =57.29度
  5. 因此1度     =Π/180    =0.017弧度

1.5 EXCEL里进行角度和弧度的换算

  • 换算公式
  • 弧度= 角度*PI()/180
  • 弧度 = RADIANS(角度)   EXCEL的内置函数
  • 具体计算下表

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2 三角函数的计算

2.1 三角函数

2.1.1 定义

  • 角度
  • 弧长
  • sin()
  • cos()
  • tan()
  • cot()
  • sec()
  • css()

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2.1.2 取值范围

  • 三角函数的范围 [-1,1]

2.2 EXCEL计算三角函数,需用用 弧度值,如sin(弧度)

  • EXCEL里计算三角函数,需用用 弧度值,而不是角度
  • 如sin(弧度)
  • 三角函数的范围 [-1,1]

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3 高级三角函数和公式

两角和公式

  • sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
  • sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
  • cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
  • cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
  • tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
  • tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
  • cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
  • cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

  • tan2A = 2tanA/(1-tan² A)
  • Sin2A=2SinA•CosA
  • Cos2A = Cos^2 A–Sin² A
  • =2Cos² A—1
  • =1—2sin^2 A

和差化积

  • sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
  • sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
  • cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
  • cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
  • tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

积化和差

  • sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
  • cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
  • sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
  • cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]

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