勾股定理

勾股定理是我们这个学期学习的第1课。

那么你知不知道它的探究历程是什么样的？

首先我们要知道什么是三角形三角形，在我们的印象中，可能就是一个三条边三个角组成的一个封闭图形，但是这样说并不完全准确，我们应该说三角形是由三条线段首尾相连。围成的封闭图形叫做三角形。

而三角形的性质其实就是5个。

1.三角形内角和为180度

2.两边之和大于第三边

3.两边之差小于第3边

4.一个外角等于两个不相邻的内角和

5.三个外角相加等于360度。

我们可以发现这5条其实都是和边角有关的性质，那么对于一个直角三角形来说，它的边与它的角有哪些性质呢？

除了这5条之外，其实还有三条。

1.两个锐角互余

2.斜边最长

3.一个角为九十度

得知了这5条普通三角形的性质和三条特殊三角形（直角三角形）的性质，那么我们不妨猜测一下，直角三角形它的两条直角边和斜边有没有某种特殊的数量关系呢？

我们可以先画一个直角三角形，让它的两条直角边ab分别为4厘米和3厘米。然后你可以试着测量一下它的斜边C是多少，如果画图准确的话大概就是5厘米。

c为5厘米

我们可以猜想：两直角边的平方和等于第3条边的平方。

不妨来验证一下，3的平方加4的平方是不是等于5的平方？

3的平方是9，4的平方是16，5的平方是25，而9+16=25。

那么我们这个特例验证成功之后，我们并不能说服别人，因为没有证明给他们。

这里我们可以采用割补法。

画出这个图形之后，我们就可以进行歌谱法了，歌其实就是把这个大正方形割成4个小三角形和一个正方形。

这样一来我们就可以清晰的看出它这个正方形C方是由什么和什么构成的。

这个C方其实就是由4个直角三角形和一个小正方形组成的，而这4个直角三角形和我们中间画的那个三角形大小是一样的。所以说4个直角三角形的面积我们是可以求出来的。1/2×ab×4=2ab

求出来了4个直角三角形的面积，小正方形的面积我们也可以求出来。

c的平方-2ab=小正方形。

我们把整个式子列出来，其实就是这样的：

∵S小正方形=（a-b）²

  S小正方形=c²-2ab

∴（a-b）²=c²-2ab

    a²-2ab+b²=c²-2ab

∴a²+b²=c²

还有另一种方法就是用补的方法。我们再画出一个相同的图形来，但这次并不是继续把大正方形割，而是在这个大正方形的外面加上4个直角三角形，使它变成一个更大的正方形。

而这样的做法我们也可以来证明。

∵S大正方形=(a+b)²

S大正方形=1/2ab×4+c²

∴(a+b)²=2ab+c²

a²+2ab+b²=2ab+c²

a²+b²=c²

这样一来我们就证明了勾股定理也就是证明出来了两直角边的平方和等于第3边的平方和。

那勾股定理出来了，是不是也有勾股定理的逆定理呢？

勾股定理是我们知道一个直角三角形，然后去求它三边的关系而逆定理恰恰相反，逆定理就是我们知道三边的长度，然后我们要证明这个三角形是不是直角三角形。

如果三角形的三边，长ABC满足a²加b²等于c²，那么这个三角形是不是直角三角形呢？

已知：三角形ABC，a²+b²=c²

求证：∠C=90°

证明：作三角形A'B'C'，∠C'=90°

AC=A'C'=b，BC=B'C'=a

∴(A'B')²=(A'C')²+(B'C')²

=b²+a²

=c²

∴AB'=AB

在三角形ABC和三角形A'B'C'中

∵AB=A'B',AC=A'C'，BC=B'C'

∴三角形ABC ≌三角形A'B'C'（SSS）

∴∠C=90°

这就是整个的证明过程，那么我们用文字语言图形语言和符号语言来总结一下。

文字语言：如果三角形的两条直角边的平方之和等于斜边的平方，那这个三角形就是直角三角形。

图形语言：

符号语言： 在三角形ABC中，a²+b²=c²，∠C=90°。

这就是从勾股定理到勾股定理之逆定理的所有推理过程。

但是，我们的未来里还要学习很多的东西，比如说是开方。

开方分为很多种，开平方，开立方，开四次方，五次方，六次发等等，但。我们一般只用开平方和开立方，其他的并不常用。

这就是我们学习的勾股定理。