树和二叉树

树的定义

树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。

树

把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

1. 每个节点有零个或多个子节点；
2. 没有父节点的节点称为根节点；
3. 每一个非根节点有且只有一个父节点；
4. 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。

树的基本术语

若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的"双亲"，子树的根是该结点的"孩子"。有相同双亲的结点互为"兄弟"。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。

• 结点的度：结点拥有的子树的数目。
• 叶子：度为零的结点。
• 分支结点：度不为零的结点。
• 树的度：树中结点的最大的度。
• 层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1。
• 树的高度：树中结点的最大层次。
• 无序树：如果树中结点的各子树之间的次序是不重要的，可以交换位置。
• 有序树：如果树中结点的各子树之间的次序是重要的, 不可以交换位置。
• 森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。

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二叉树的定义

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。

二叉树的五种形态

二叉树的性质

二叉树有以下几个性质：TODO(上标和下标)

• 性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2^(i-1) (i≥1)。
• 性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k≥1)。
• 性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)。
• 性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

满二叉树，完全二叉树和二叉查找树

1. 满二叉树
   定义：高度为h，并且由2^h –1个结点的二叉树，被称为满二叉树。
   

   满二叉树

2. 完全二叉树
   定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。
   特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。

堆是一种特殊的完全二叉树。

完全二叉树

3. 二叉查找树
   定义：二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。
   
   二叉查找树

在二叉查找树中：

• 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
• 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。

在实际应用中，二叉查找树的使用比较多。

二叉树的遍历

1. 若二叉树非空，则执行以下操作：
   (01) 访问根结点；
   (02) 先序遍历左子树；
   (03) 先序遍历右子树。

2. 若二叉树非空，则执行以下操作：
   (01) 中序遍历左子树；
   (02) 访问根结点；
   (03) 中序遍历右子树。

3. 若二叉树非空，则执行以下操作：
   (01) 后序遍历左子树；
   (02) 后序遍历右子树；
   (03) 访问根结点。

通过例子对以上三种遍历进行理解

二叉树遍历

对于上面的二叉树而言，

• 前序遍历结果： 3 1 2 5 4 6
• 中序遍历结果： 1 2 3 4 5 6
• 后序遍历结果： 2 1 4 6 5 3

出处https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3576328.html#a1