约数相关习题+代码

约数

1.约数的定义

约数，又称因数。 整数 $a$ 除以整数 $b$ ($b\ne 0$) 除得的商正好是整数而没有余数，即 $b|a$。我们就说 $a$ 能被 $b$ 整除，或 $b$ 能整除 $a$ 。 $a$ 称为 $b$ 的倍数，$b$ 称为 $a$ 的约数。

2.习题

1.求一个数所有的约数

我们可以从枚举从$1$ 到 $\sqrt{x}$，x能被i整除的话我们就可以获取两个约数。（需要注意当 $i=x/i$的特殊情况，这种情况，我们只需要记录一个约数）

时间复杂度:$O(\sqrt{n})$

C++代码：

vector<int> get(int x){
    vector<int> res;
    for(int i = 1;i <= x / i;i++){
        if(x % i==0){
            res.push_back(i);
            //如果 i != x/i，才添加第二个约数
            if(i != x/i) res.push_back(x/i);
        }
    }
    sort(res.begin(),res.end());
    return res;
}

java代码：

 public static List<Integer> get(int x){
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        for(int i = 1;i <= x/i;i++){
            if(x % i == 0){
                list.add(i);
                if(i != x/i) list.add(x/i);
            }
        }
        Collections.sort(list);
        return list;
    }

2.求约数的个数

由唯一分解定理：任一大于 $1$ 的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。例如：$20=2\times 2\times 5$，$8=2\times 2\times 2$。

一个数 $x$ 必然可以以这样的形式表示出来 $x=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times \dots p_n^{a_n}$（$p$ 是质因子，$a$是该质因子的个数）。例如：$36=2^2\times 3^2$

所以 $x$ 的约数个数就可以得出为：$(a_1+1)\times (a_2+1)\times ...（a_n+1)$。例如：若$c=a^2\times b^2$，那么 $c$ 的因子有（$1，b，b^2，a，ab，a{b}^2，a^2，a^{2}b，a^2{b}^2$）共 $9$ 个。

时间复杂度：$O(n\times \sqrt{a})$

C++代码：

void divide(int x){
    //哈希表记录质因子 以及 它的个数
    unordered_map<int,int> cnt;
    int old = x;
    //分解质因数
    for(int i = 2;i <= x/i;i++){
        if(x % i==0){
            while(x % i == 0){
                cnt[i]++;
                x /= i;
            }
        }
    }
    if(x > 1) cnt[x]++;
    
    //计算约数个数
    int ans = 1;
    //枚举哈希表，k代表枚举到的质因子，v代表质因子k的个数
    for(auto &[k,v]:cnt){
        ans *= (v + 1); 
    }
    printf("%d 的约数个数为 %d\n",old,ans);
}

java代码：

public static void divide(int x){
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        int old = x;
        for(int i = 2;i <= x/i;i++){
            if(x % i == 0){
                while(x % i == 0){
                    map.put(i,map.getOrDefault(i,0)+1);
                    x /= i;
                }
            }
        }
        if(x > 1) map.put(x,1);

        int ans = 1;
        for(Integer key:map.keySet()){
            int v = map.get(key);
            ans *= (v + 1);
        }
        System.out.println(old +" 的约数个数为： "+ans);
    }

3.求约数之和

约数之和的公式为：$sum=(p_1^0+p_1^1+...+p_1^{a_1})\times (p_2^0+p_2^1+...+p_2^{a_2})\times ...(p_n^0+p_n^1+...+p_n^{a_n})$
例如：$c=a^2\times b^2$,那么 $c$ 的约数有：$(1，b，b^2，a，ab，a{b}^2，a^2，a^{2}b，a^2{b}^2)$ 共 $9$ 个，化简可得 $sum=(1+a+a^2）\times (1+b+b^2)$

时间复杂度：$O(n\times \sqrt{a})$

C++代码：

//用 long long 防止溢出
typedef long long LL;

//数据可能非常大，所以需要进行取模处理
const int MOD = 1e9+7;
void divide(int x){
    int old = x;
    //记录质因子，和它的个数
    unordered_map<int,int> cnt;
    for(int i = 2;i <= x/i;i++){
        if(x % i==0){
            while(x % i == 0){
                cnt[i]++;
                x /= i;
            }
        }
    }
    if(x > 1) cnt[x]++; 
    
    LL res = 1;
    for(auto &[k,v]:cnt){
        LL t = 1;
        /*
         v = 1时，t = k + 1
         v = 2时，t = k^2 + k + 1;
         v = 3时，t = k^3 + k^2 + k + 1
        */
         //这里取模也是为了防止溢出
        while(v--) t = (t * k + 1)%MOD;
        res = res * t % MOD;
    }
        cout<<old<<"的约数之和为： "<<res<<"\n";
}

java代码：

   private static final int MOD = (int)Math.pow(10,9);
    public static void divide(int x){
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        int old = x;
        for(int i = 2;i <= x/i;i++){
            if(x % i == 0){
                while(x % i == 0){
                    map.put(i,map.getOrDefault(i,0)+1);
                    x /= i;
                }
            }
        }
        if(x > 1) map.put(x,1);

        long ans = 1;
        for(Integer key:map.keySet()){
            int v = map.get(key);
            long t = 1;
            while(v>0){
                t = (t * key + 1)% MOD;
                v--;
            }
            ans *= t;
        }
        System.out.println(old +" 的约数之和为： "+ans);
    }

3.例题

1.试除法求约数

题目链接

试除法求约数

题目描述

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，对于每个整数 $a_i$，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。

输出格式

输出共 $n$ 行，其中第 $i$ 行输出第 $i$ 个整数 $a_i$ 的所有约数。

数据范围

• $1\le n\le 100$
• $2\le a_i\le 2\times 10^9$

输入样例：

2
6
8 

输出样例：

1 2 3 6 
1 2 4 8 

时间复杂度: $O(n\times \sqrt{n})$

C++代码：

#include
using namespace std;

int n;

vector<int> get(int x){
    vector<int> res;
    for(int i = 1;i <= x / i;i++){
        if(x % i==0){
            res.push_back(i);
            if(i != x/i) res.push_back(x/i);
        }
    }
    return res;
}

int main(){
    cin>>n;
    while(n--){
        int x;
        cin>>x;
        auto t = get(x);
        sort(t.begin(),t.end());
        for(auto &num:t) printf("%d ",num);
        puts("");
    }
    return 0;
}

2.约数个数

题目链接

约数个数

题目描述

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 $10^9+7$ 取模。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 $10^9+7$ 取模。

输入样例：

3
2
6
8

输出样例：

12

时间复杂度： $O(n\times \sqrt{a})$

C++代码：

#include
using namespace std;

const int MOD = 1e9+7;
typedef long long LL;

unordered_map<int,int> cnt;
int n;

void divide(int x){
    for(int i = 2;i <= x/i;i++){
        if(x % i==0){
            while(x % i == 0){
                cnt[i]++;
                x /= i;
            }
        }
    }
    if(x > 1) cnt[x]++;
}

int main(){
    cin>>n;
    LL res = 1;
    while(n--){
        int x;
        cin>>x;
        divide(x);
    }
    for(auto &[k,v]:cnt) res = res * (v + 1) % MOD;
    
    cout<<res<<"\n";
    return 0;
}

3.约数之和

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 $10^9+7$ 取模。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案需对 $10^9+7$ 取模。

输入样例：

3
2
6
8

输出样例：

252

时间复杂度：$O(n\times \sqrt{a})$

C++代码：

#include
using namespace std;
typedef long long LL;

const int MOD = 1e9+7;
unordered_map<int,int> cnt;
int n;

void divide(int x){
    for(int i = 2;i <= x/i;i++){
        if(x % i==0){
            while(x % i == 0){
                cnt[i]++;
                x /= i;
            }
        }
    }
    if(x > 1) cnt[x]++; 
}

int main(){
    cin>>n;
    while(n--){
        int x;
        cin>>x;
        divide(x);
    }
    
    LL res = 1;
    for(auto &[k,v]:cnt){
        LL t = 1;
        while(v--) t = (t * k + 1)%MOD;
        res = res * t % MOD;
    }
    
    cout<<res<<"\n";
    return 0;
}