微分几何笔记(9) —— 切丛，余切丛

继续上篇的内容。

9.1 切丛

在上篇中我们已经定义了 $n$ 维光滑流形 $M$ 上每一点处的切空间，把每一点处的切空间无交并起来就得到了所谓的切丛 (Tangent bundle) 。一个很形象的比喻就是将底空间 $M$ 想象为土地，一点处的切空间视作长出来的草，那么切丛就是整个连带着土地的草丛。

定义 9.1.1 光滑流形 $M$ 的切丛 $TM$ 是指：
$$TM=\underset{p\in M}{⨆}{T}_{p}M.$$

切丛中的元素首先当然是切空间 $T_{p}M$，但习惯把 $T_{p}M$ 中的元素 $(p,v)$ 也称为切丛中的元素，我们有一个自然的将切丛中每一个切空间映到他的基点的投影映射：
$$\pi :TM\to M,(p,v)\mapsto p.$$
我们经常用 ${\pi }^{-1}(p)$ 这个记法来表示流形 $p$ 点处的切空间。我们知道有限维线性空间本身就是光滑流形，因此切空间是光滑流形，切丛中的所有基点 $p$ 也构成光滑流形 $M$。对于把切空间粘在一起构成的切丛，他的拓扑我们可以从 ${\pi }^{-1}$ 把 $M$ 上的开集拉回到切丛上得到，那么更进一步我们能够赋予微分结构吗？

命题 9.1.2 切丛 $TM$ 是 $2n$ 维光滑流形。

证明思路：
首先可以验证，$TM$ 是满足第二可数以及 $\text{Hausdorff}$ 的。
那么接下来就要找到 $TM$ 上的一组相容坐标卡，对于原本 $M$ 上的坐标卡 $(U,\phi )$，$U$ 诱导到 $TM$ 上，${\pi }^{-1}(U)\subset TM$ 为开集，再把 $\phi$ 诱导到 ${\pi }^{-1}(U)$ 上：
$$\tilde{\phi }:{\pi }^{-1}(U)\to {\mathbb{R}}^{2n},\tilde{\phi }(v^i\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_p)=({\phi }^1(p),\dots ,{\phi }^n(p),v^1,\dots ,v^n).$$

这显然是单射，且 $\tilde{\phi }$ 把 ${\pi }^{-1}(U)$ 映为 ${\mathbb{R}}^{2n}$ 中开集，对 $M$ 上的任意两个坐标卡 $(U,\phi ),(V,\psi )$，对应切丛上的 $({\pi }^{-1}(U),\tilde{\phi }),({\pi }^{-1}(V),\tilde{\psi })$，有：
$$\tilde{\phi }({\pi }^{-1}(U)\cap {\pi }^{-1}(V))=\phi (U\cap V)\times {\mathbb{R}}^n.$$
所以 $\tilde{\phi }$ 把交集映成开集。再考虑转移函数 $\tilde{\psi }\circ {\tilde{\phi }}^{-1}:\phi (U\cap V)\times {\mathbb{R}}^n\to \psi (U\cap V)\times {\mathbb{R}}^n$，
$$\tilde{\psi }\circ {\tilde{\phi }}^{-1}(x^1,\dots ,x^n,v^1,\dots ,v^n)=({\tilde{x}}^1(x),\dots ,{\tilde{x}}^n(x),v^i\frac{\partial {\tilde{x}}^1}{\partial x^i}(x),\dots ,v^i\frac{\partial {\tilde{x}}^n}{\partial x^i}(x)).$$

由笔记 (7) 中的判定定理 7.2.3 即知 $TM$ 是 $2n$ 维光滑流形。

我们从坐标卡的构造中看到，切丛是局部微分同胚于 $U\times {\mathbb{R}}^n$，从直观上看也是相当自然的。
在上述证明中，我们看到如果流形 $M$ 有整体的坐标卡，那么我们可以取 $U=M$，从而其切丛也会有 $M\times {\mathbb{R}}^n$ 这种相当简单的结构。但这只是充分条件，不是必要条件。比方说圆周 $S^1$，在每一点 $(\cos \theta ,\sin \theta ),\theta \in \mathbb{R}$ 处切空间的基底为 $(-\sin \theta ,\cos \theta )$，所以 $T{S}^1=S^1\times {\mathbb{R}}^1$，但是因为 ${\mathbb{R}}^1$ 与 $S^1$ 不同胚，$S^1$ 是不能被一个坐标卡覆盖住的。

并且切丛是可定向的微分流形，具体计算请参考回答：
切丛为什么是可定向流形？
其中主要想法是转移函数的雅可比矩阵是分块对角矩阵，根据如上写出的转移函数表达式可以看到，两个分块矩阵的行列式相同，所以转移函数的雅可比恒正，因此可定向。

9.2 余切丛

类似的，我们也可以给余切丛 $T^{\ast }M={\bigcup }_{p\in M}{T}_p^{\ast }M$ 一个微分结构，其中 $T_p^{\ast }M$ 是以 $\{d{x}^i{|}_p\}$ 为基底的 $n$ 维线性空间。

命题 9.1.3 余切丛 $T^{\ast }M$ 是 $2n$ 维光滑流形。

证明：

我们可以讨论两个坐标卡 $(U,\varphi ;x^i),(V,\phi ;y^i)$ 相交部分的坐标变换，他们的基分别记为 $\{d{x}^i{|}_p\},\{d{y}^i{|}_p\}\subset T_p^{\ast }M$，将 $U$ 上的基用 $V$ 线性表出：
$$d{x}^i{|}_p=a_{k}d{y}^k{|}_p,\forall 1\le i\le n.$$
根据切空间的坐标变换，我们有：
$$\frac{\partial }{\partial y^l}{|}_p=\frac{\partial x^j}{\partial y^l}(y_0)\frac{\partial }{\partial x^j}{|}_p，$$
两边作用 $d{x}^i{|}_p$，因为 $(d{x}^i,\frac{\partial }{\partial x^j}{|}_p)={\delta }_{ij}$，所以得到：
$$d{x}^i(\frac{\partial }{\partial y^l}{|}_p)=d{x}^i(\frac{\partial x^j}{\partial y^l}(y_0)\frac{\partial }{\partial x^j}{|}_p)=\frac{\partial x^j}{\partial y^l}{\delta }_{ij}=\frac{\partial x^i}{\partial y^l}=a_{k}d{y}^k(\frac{\partial }{\partial y^l}{|}_p)=a_l,$$
稍微把 $a$ 的指标从 $l$ 换 为 $j$，就得到了对于余切空间的坐标变换公式：
$$d{x}^i{|}_p=\frac{\partial x^i}{\partial y^j}d{y}^j{|}_p.$$

接着再仿照上文中 $TM$ 是 $2n$ 维流形的证明，就知道 $T^{\ast }M$ 仍然是 $2n$ 维光滑流形，坐标卡的取法为：
$$({\pi }^{-1}(U),\phi ;x^i):\phi (v_{i}d{x}^i{|}_p)=(x^1(p),\dots ,x^n(p),v_1,\dots ,v_n),$$
对两个坐标卡 $({\pi }^{-1}(U),\phi ;x^i),({\pi }^{-1}(V),\psi ;y^i)$ 转移函数为：
$$\psi \circ {\phi }^{-1}(x^1,\dots ,x^n,v_1,\dots ,v_n)=(y^1(x),\dots ,y^n(x),\frac{\partial x^1}{\partial y^j}{v}_j,\dots ,\frac{\partial x^n}{\partial y^j}{v}_j),$$

第二可数以及 $\text{Haudorff}$ 亦可以验证。

更进一步，仿照 $TM$ 是可定向流形，我们也可以证明 $T^{\ast }M$ 为可定向流形，其中关键一步是在考虑转移函数的雅可比时，根据余切丛上的坐标变换，后 $n$ 个分量的雅可比恰好是前 $n$ 个分量雅可比的倒数，所以转移函数的雅可比恒为 $1$，因此可定向。

参考：
[Lee13] John M. Lee. Introduction to Topological Manifolds, 2nd edn. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 218. Springer-Verlag, New York, 2000.

[Song20] 厦门大学宋翀老师讲义.