树状数组

问题

年终，呵呵保险公司的市场部突然变得非常清闲。为了避免被老板批评，市场部决定自己给自己找事情做。至于具体要做什么事，经过一周的争论也没有得出一个让大家都满意的结果。正在一筹莫展时，老板突然给市场部划出一笔不小的年终活动经费。索性，市场部经理一拍脑袋说，不如给客户们送点福利，既给自己找到了事情做，又会增加客户的好感度，一举两得。迫于经理的权力，市场部的大小员工，只能拍手说好。最后，市场部决定要为客户发放一波礼品，以来提高公司的口碑和声望，并让客户切身的感受到呵呵公司的温暖。后，经过多次调研和讨论，最终礼品确定为以下几种：

• iPhone X （64GB）深空灰 ￥8388
• NVIDIA GTX 1060（6GB）￥2199
• Kingston DDR4 2133 8GB ￥759
• 苏泊尔不粘锅烹饪炒菜锅 ￥159
• 3M扫把思高易扫净扫把套装 ￥56
• 得力DELI 170mm办公剪刀 ￥3.5

不过，由于技术部一直特别繁忙，当市场部请求客户信息数据时，技术人员根本懒得理他们。经过市场部的多次软磨硬泡，技术人员迫于无奈，最终给出形如下表的客户信息，表中包含客户的姓名、地址、电话和注册时间：

name	addrees	phone	register_time
Alice	Shanghai	13387253309	2012-01-03
Bob	Beijing	13549662818	2015-09-16
Tom	Guangzhou	15691891573	2016-03-24

现在，市场部的具体需求是，在不超出活动预算的情况下，为客户发放上述几种礼品。市场部可能会向同一个客户发放多个礼品，但不一定每个客户都能分配到礼品。同时，市场部希望能够随时查看当前分配计划下，所花费的总预算是多少，以及某个注册时间区间内，所有用户分配到的礼品预算和是多少。

比如，对于上表用户的一个分配计划如下：

name	addrees	phone	register_time	gift
Alice	Shanghai	13387253309	2012-01-03	-
Bob	Beijing	13549662818	2015-09-16	Kingston DDR4 2133 8GB ￥759
Tom	Guangzhou	15691891573	2016-03-24	3M扫把思高易扫净扫把套装 ￥56

那么总预算为￥759 + ￥56 = ￥815，而 [2012-01-03, 2015-09-16] 时间段的用户预算为￥759。

由于分配计划会一直发生变动，所以上述的统计均需满足实时性。

另外，市场部在讨论活动计划时浪费了太多的时间，所以他们希望预算统计的算法要尽量快。

解决方案

观察上表，在不考虑礼品分配策略及发放的情况下，我们可以忽略name、address和phone三列，与需求相关的仅仅是register_time和gift，前者影响统计条件，后者影响预算结果。而对于这两列，我们可以使用离散映射的方式，对其做简单处理，以便计算。转化后，信息表如下：

register_time	gift
1	0
2	759
3	56

根据呵呵公司市场部的需求，总预算依旧是将所有礼品的金额加和，而时间区间内的预算统计则是区间礼品金额加和。因此，我们可以简化需求模型：

• 实时计算gift总额
• 实时计算某个连续区间内gift总额

显然，第二个需求完全包含了第一个需求，因为第一个需求可以看做在总区间内求gift总额。为此，该问题转化为一个求区间和的模型。但与求区间和问题不同的是，单条记录的gift金额会发生不断的变化。如果仅仅维护前缀和，那么每次修改的代价都将是O(N)，总时间复杂度将是O(NM)，不能够使人满意。

而后，我们决定采用树状数组来解决这个问题。考虑由8个客户信息组成的表，构建树状数组结构如下图：

image.png

其中A数组代表了按照register_time排序后，每个客户的礼物金额。C数组的计算方式如下：

• C[1] = A[1];
• C[2] = A[1] + A[2];
• C[3] = A[3];
• C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];
• C[5] = A[5];
• C[6] = A[5] + A[6];
• C[7] = A[7];
• C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];
• C[i] = A[i - 2^k + 1] + A[i - 2^k + 2] + … + A[i]; （其中k为i从低位到高位连续0的个数，比如i = (8)₁₀ = (1000)₂ 时，k = 3）

用C语言实现2^k的计算，即lowbit

int lowbit(int i)
{
    return i & (-i);
}

对于第一个需求，即查询连续区间内的数值和，比如求A[3 ~ 7]，那么A[3 ~ 7] = SUM[7] - SUM[2]

• SUM[7] = C[7] + C[6] + C[4]
• SUM[2] = C[2]

可以证明，SUM[i]的计算复杂度为O(log₂N)

求和的C语言实现如下，即sum

int sum(int i)
{
    int result = 0;
    for (;i > 0;i -= lowbit(i))
    {
        result += C[i];
    }
    return result;
}

至此，我们完成了求区间和这一需求。另一个问题是，如何在更新时减小维护的时间复杂度。假设需要对第i条记录增加一个金额为j的礼品，那么C语言的实现如下，即add

int add(int i, int j)
{
    for (;i < N;i += lowbit(i))
    {
        C[i] += j;
    }
}

同样，维护的时间复杂度为O(log₂N)，总的时间复杂度为O(Mlog₂N)

至此，呵呵保险公司的所有需求被解决。