代数结构：模（Module）
参考书籍
- Rings and Modules，https://alistairsavage.ca/mat3143/
- Advanced Modern Algebra - Joseph J. Rotman
模（Modules）
定义
环 R R R， R − R- R−模是一个加群（交换加法群） ( M , + ) (M,+) (M,+)，伴随有环作用（action，也叫作数乘）
R × M → M ( r , u ) ↦ r u R \times M \rightarrow M\\ (r,u) \mapsto ru\\ R×M→M(r,u)↦ru
这个环作用满足：
- 右分配律： r ( u + v ) = r u + r v r(u+v)=ru+rv r(u+v)=ru+rv
- 左分配律： ( r + s ) v = r v + s v (r+s)v=rv+sv (r+s)v=rv+sv
- 对 R R R的结合律： r ( s v ) = ( r s ) v r(sv)=(rs)v r(sv)=(rs)v
- 稳定性： 1 R v = v 1_Rv=v 1Rv=v
其中 r , s ∈ R r,s \in R r,s∈R， u , v ∈ M u,v \in M u,v∈M。这种定义叫做左模，记做 R M _RM RM（类似的可以定义右模，记做 M R M_R MR，但结构完全一致，不讨论）
性质
由于 M M M是交换群，因此可以定义和（sum）， ∑ i = 1 n r i v i \sum_{i=1}^n r_iv_i ∑i=1nrivi
对于环 R R R的零元 0 R 0_R 0R和单位元 1 R 1_R 1R以及群 M M M的单位元 0 M 0_M 0M，有
- 0 R v = 0 M 0_Rv=0_M 0Rv=0M， r 0 M = 0 M r0_M=0_M r0M=0M
- ( − r ) v = r ( − v ) = − ( r v ) (-r)v=r(-v)=-(rv) (−r)v=r(−v)=−(rv)
方便起见，之后的零元、单位元都不再标注 R , M R,M R,M下标。
例子
- Z − \mathbb Z- Z−模就是任意一个交换群，环作用是数乘。
- 域 F F F，那么 F − F- F−模就是线性空间，环作用是数乘。
- 令 V V V是域 F F F上的向量空间， T ∈ E n d F ( V ) T \in End_F(V) T∈EndF(V)是线性算子。那么， V V V是 F [ x ] − F[x]- F[x]−模，这里的环作用是 p ( x ) v : = p ( T ) ( v ) p(x)v:=p(T)(v) p(x)v:=p(T)(v)
- 左正则模（left regular module），环 R R R作为加群是自身的左模，环作用是环的左乘法。
- 令 M 1 , ⋯ , M n M_1,\cdots,M_n M1,⋯,Mn都是 R − R- R−模，它们的卡氏积（cartesian product） M 1 × ⋯ × M n M_1\times \cdots \times M_n M1×⋯×Mn也是 R − R- R−模，算子为 ( v 1 , ⋯ , v n ) + ( u 1 , ⋯ , u n ) = ( v 1 + u 1 , ⋯ , v n + u n ) (v_1,\cdots,v_n)+(u_1,\cdots,u_n)=(v_1+u_1,\cdots,v_n+u_n) (v1,⋯,vn)+(u1,⋯,un)=(v1+u1,⋯,vn+un)，环作用为 c ( v 1 , ⋯ , v n ) = ( c v 1 , ⋯ , c v n ) c(v_1,\cdots,v_n)=(cv_1,\cdots,cv_n) c(v1,⋯,vn)=(cv1,⋯,cvn)。易知， R n R^n Rn是 R − R- R−模。
- 环 R R R，集合 M a t n ( R ) Mat_n(R) Matn(R)，它对于两个算子矩阵加和矩阵乘做成了一个环。那么 R n R^n Rn是 M a t n ( R ) − Mat_n(R)- Matn(R)−模，环作用是矩阵左乘。
子模（Submodule）
定义
令 M M M是任意的 R − R- R−模，子集 N ⊆ M N \subseteq M N⊆M叫做 R − R- R−子模，如果满足
- 包含单位元： 0 ∈ N 0 \in N 0∈N
- 加法封闭： u , v ∈ N u,v \in N u,v∈N，那么 u + v ∈ N u+v \in N u+v∈N
- 环作用封闭： r ∈ R , u ∈ N r \in R,u \in N r∈R,u∈N，那么 r u ∈ N ru \in N ru∈N
如果 N ⊂ M N \sub M N⊂M，那么它是真子模（proper submodule）
性质
N N N是 M M M的子群，也是加法和环作用被限制在 N N N内部的 R − R- R−模。
M M M的平凡子模：零子模 { 0 } \{0\} {0}、自身 M M M。
单模（simple module）：没有非零真子模，或者说没有非平凡子模。也叫作不可约模。
令 S S S是 R − R- R−模 M M M的子集，那么集合
N = { ∑ i = 1 k r i u i ∣ k ∈ N , r i ∈ R , u i ∈ S } N=\{\sum_{i=1}^k r_iu_i | k \in \mathbb N,r_i \in R, u_i \in S\} N={i=1∑kriui∣k∈N,ri∈R,ui∈S}
它是包含 S S S的最小 R − R- R−子模。我们说 S S S生成（Generate / Span）了 N N N，记做 < S > R _R <S>R或者 R S RS RS或者 S p a n R ( S ) Span_R(S) SpanR(S)。如果 M M M可以由有限多的元素生成，那么叫做有限生成的（finitely type）
循环模（cyclic module）：由单个元素 u u u生成的模，即 < u > R _R <u>R
如果 N 1 , ⋯ , N k N_1,\cdots,N_k N1,⋯,Nk都是 M M M的 R − R- R−子模，那么
-
它们的和， N 1 + ⋯ + N k : = { ∑ i = 1 k u i : u i ∈ N i } N_1+\cdots+N_k:=\{\sum_{i=1}^k u_i:u_i \in N_i\} N1+⋯+Nk:={∑i=1kui:ui∈Ni}
-
它们的交， N 1 ∩ ⋯ ∩ N k : = { u : u ∈ N i , ∀ i } N_1 \cap \cdots \cap N_k:=\{u:u \in N_i,\forall i\} N1∩⋯∩Nk:={u:u∈Ni,∀i}
都是 M M M的 R − R- R−子模。当 R = F R=F R=F是域，退化成线性子空间的交、和；当 R = Z R=\mathbb Z R=Z，退化成交换子群的交、和。
容易看到， < u 1 , ⋯ , u k > R = R u 1 + ⋯ R u k
零化子：令 M M M是一个 R − R- R−模，子集 X ⊆ M X \subseteq M X⊆M，定义
a n n ( X ) : = { r ∈ R : r u = 0 , ∀ u ∈ X } ann(X):= \{r \in R: ru=0 ,\forall u \in X\} ann(X):={r∈R:ru=0,∀u∈X}
令 R R R是整环， M M M是 R − R- R−模。一个元素 u ∈ M u \in M u∈M，如果存在非零元 r ∈ R r \in R r∈R使得 r u = 0 ru=0 ru=0，我们把 u u u叫做扭元/挠元（torsion），令 M t o r M_{tor} Mtor表示所有的扭元集合。如果 M M M的所有元素都是扭元，我们把 M M M叫做扭模（torsion module）。如果 M M M只有唯一的扭元 0 M ∈ M 0_M \in M 0M∈M，我们说 M M M是扭自由的（torsion free）。
M t o r M_{tor} Mtor是 R − R- R−子模。如果 M M M是有限生成的扭模，那么存在非零元 r ∈ R r \in R r∈R，使得 r M = 0 rM=0 rM=0（因为整环 R R R可交换，将生成元对应的 r i r_i ri的乘积作为 r r r即可）
例子
- Z − \mathbb Z- Z−子模，就是交换群的子群。
- 正则模 R R R的 R − R- R−子模，就是它的左理想。
- Z − \mathbb Z- Z−单模，当仅当它是一个单群（只有平凡正规子群）。
- 域 F F F上向量空间 V V V的 F [ x ] − F[x]- F[x]−子模，就是 T − T- T−不变子空间 U U U，即 T ( U ) ⊆ U T(U) \subseteq U T(U)⊆U
- M M M是循环模，当仅当它是循环群。
- a n n ( X ) ⊆ R ann(X) \subseteq R ann(X)⊆R是环 R R R的左理想。
商模（Quotient module）
定义
令 N N N是 M M M的 R − R- R−子模，商模 M / N = { u + N : u ∈ M } M/N=\{u+N:u \in M\} M/N={u+N:u∈M}是 N N N的陪集的集合，它是一个 R − R- R−模，环作用为
r ( u + N ) : = r u + N r(u+N) := ru+N r(u+N):=ru+N
两个陪集相等 u + N = v + N ⟺ u+N = v+N \iff u+N=v+N⟺元素的差 u − v ∈ N u-v \in N u−v∈N
例子
- Z − \mathbb Z- Z−模 M M M，对于任意子群 N N N，商群 M / N M/N M/N是商模。
- 左正则模 R R R，对于任意左理想 I I I，商环 R / I R/I R/I是商模。
- 域 F F F上向量空间 V V V，对于任意的子空间 U U U，商空间 V / U V/U V/U是商模。
自由模（Free module）
定义
线性无关： R − R- R−模 M M M，子集 S ⊆ M S \subseteq M S⊆M，不同的元素 u 1 , ⋯ u n ∈ S u_1,\cdots u_n \in S u1,⋯un∈S，我们说它们是 R R R上线性无关的（linearly independent），如果方程
r 1 u 1 + ⋯ + r n u n = 0 r_1u_1+\cdots+r_nu_n=0 r1u1+⋯+rnun=0
有唯一解 r 1 = ⋯ = r n = 0 R r_1=\cdots=r_n=0_R r1=⋯=rn=0R。注意， r 1 ∈ R r_1 \in R r1∈R可能有非平凡左零因子 s 1 r 1 = 0 s_1r_1=0 s1r1=0，因此即使单个元素 r 1 u 1 ∈ M r_1u_1 \in M r1u1∈M，它本身可能就是线性相关的， s 1 ( r 1 u 1 ) = ( s 1 r 1 ) u 1 = 0 u 1 = 0 s_1(r_1u_1)=(s_1r_1)u_1=0u_1=0 s1(r1u1)=(s1r1)u1=0u1=0；所有的扭元都和自身线性相关。
基：如果 S S S是 R R R上线性无关的，且 S S S可以生成 M M M，那么它是 M M M作为 R − R- R−模的一组基。（必须限制” R R R上“，不同的环下相关性不一致）
自由模：如果模 M M M拥有一组基，那么它是自由 R − R- R−模。
性质
自由模 M M M一组基，就是最小生成集 S S S
无限环 R R R下，有限模 M M M是自由模 ⟺ M = { 0 } \iff M=\{0\} ⟺M={0}（因为任意非零元 u ∈ M u \in M u∈M的循环模 < u > R _R <u>R是有限群，而环作用同构于群的自同态，因此有无限多的 r ∈ R r \in R r∈R使得 r u = 0 ru=0 ru=0）
例子
-
R n R^n Rn是 R − R- R−自由模，基 S = { e 1 , ⋯ , e n } S=\{e_1,\cdots,e_n\} S={e1,⋯,en}，这里 e i e_i ei是单位正交向量。
-
环 R R R， M a t m × n ( R ) Mat_{m \times n}(R) Matm×n(R)是自由 R − R- R−模（环作用是数乘）， S = { e i j } S=\{e_{ij}\} S={eij}是一组基，这里 e i j e_{ij} eij是位置 ( i , j ) (i,j) (i,j)是 1 1 1其他位置都为 0 0 0的矩阵。
-
自由模的子模不一定自由。令 R = Z / ( 6 ) R=Z/(6) R=Z/(6)，易知 M = R 2 M=R^2 M=R2是 R − R- R−自由模， S = { e 1 , e 2 } S=\{e_1,e_2\} S={e1,e2}是一组基；令 y = 2 e 1 + 2 e 2 y=2e_1+2e_2 y=2e1+2e2，则子模 N = < y > R N=
_R N=<y>R不自由，因为 3 y = 0 , 3 ∈ R 3y=0,3 \in R 3y=0,3∈R
模的直和
定义
令 M 1 , ⋯ , M k M_1,\cdots,M_k M1,⋯,Mk是 R − R- R−模 M M M的子模，说它们和是直的（direct），如果方程
u 1 + ⋯ + u k = 0 u_1+\cdots+u_k=0 u1+⋯+uk=0
的唯一解是 u 1 = ⋯ = u k = 0 M u_1=\cdots=u_k=0_M u1=⋯=uk=0M，此时将 M 1 + ⋯ + M k M_1+\cdots+M_k M1+⋯+Mk写作 M 1 ⊕ ⋯ ⊕ M k M_1 \oplus \cdots \oplus M_k M1⊕⋯⊕Mk
直和的等价定义： M i ∩ ( M i + 1 + ⋯ + M k ) = { 0 } M_i \cap (M_{i+1}+\cdots+M_k) = \{0\} Mi∩(Mi+1+⋯+Mk)={0}，即每个子模 M i M_i Mi与其他的所有子模的和 ∑ j ≠ i M j \sum_{j \neq i}M_j ∑j=iMj的交集只是零子模。
性质
直和分解： M = M 1 ⊕ ⋯ ⊕ M k ⟺ M=M_1 \oplus \cdots \oplus M_k \iff M=M1⊕⋯⊕Mk⟺对于任意的 u ∈ M u \in M u∈M，都存在唯一的解 u 1 ∈ M 1 , ⋯ , u k ∈ M k u_1 \in M_1,\cdots,u_k \in M_k u1∈M1,⋯,uk∈Mk，使得 u = u 1 + ⋯ + u k u=u_1+\cdots+u_k u=u1+⋯+uk成立。
不可分解模： R − R- R−模 M M M叫做不可分解的（indecomposable），如果 M M M无法写作两个非零子模的直和。
任意的单模都是不可分解模（单模只有一个非零子模，它本身）。
基、循环模、直和：自由 R − R- R−模 M M M，那么 { u 1 , ⋯ , u n } \{u_1,\cdots,u_n\} {u1,⋯,un}是一组基 ⟺ M = R u 1 ⊕ ⋯ ⊕ R u n \iff M=Ru_1 \oplus \cdots \oplus Ru_n ⟺M=Ru1⊕⋯⊕Run并且 u i , ∀ i u_i,\forall i ui,∀i都不是扭元。
投影模：我们说一个 R − R- R−模 P P P是投影的（projective），如果它是某自由模的直和项，即存在一个 R − R- R−模 M M M使得 P ⊕ M P\oplus M P⊕M是自由 R − R- R−模。
例子
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令 M 1 , ⋯ , M n M_1,\cdots,M_n M1,⋯,Mn都是 R − R- R−模，它们的笛卡尔积 M = M 1 × ⋯ × M n M=M_1\times \cdots \times M_n M=M1×⋯×Mn拥有子模
M i ′ = { ( 0 , ⋯ , 0 , u i , 0 , ⋯ , 0 ) : u i ∈ M i } M_i'=\{(0,\cdots,0,u_i,0,\cdots,0): u_i \in M_i\} Mi′={(0,⋯,0,ui,0,⋯,0):ui∈Mi}
满足 M = M 1 ′ ⊕ ⋯ ⊕ M k ′ M=M_1' \oplus \cdots \oplus M_k' M=M1′⊕⋯⊕Mk′，且有同构关系 M i ≅ M i ′ M_i \cong M_i' Mi≅Mi′，映射取做 u ↦ ( 0 , ⋯ , 0 , u i , 0 , ⋯ , 0 ) u \mapsto (0,\cdots,0,u_i,0,\cdots,0) u↦(0,⋯,0,ui,0,⋯,0)。因此，笛卡尔积是直和。 -
不可分解模不一定是单模。例如正则模 Z \mathbb Z Z：它是不可分解的，因为任意真子模的交 m Z ∩ n Z = l c m ( m , n ) Z ≠ { 0 } m\mathbb Z \cap n\mathbb Z = lcm(m,n)\mathbb Z \neq \{0\} mZ∩nZ=lcm(m,n)Z={0}；但它不是单模，因为 m Z m\mathbb Z mZ是非零真子模。
-
任意自由模都是投影的，我们简单选取 M = { 0 } M=\{0\} M={0}即可。
-
投影模自身不一定是自由模。例如环作用是矩阵左乘的 M a t n ( C ) − Mat_n(\mathbb C)- Matn(C)−模 C n \mathbb C^n Cn，它是投影模（考虑 n n n次笛卡尔积，满秩矩阵都不是扭元），但它不是自由模（对于任意的 x ∈ C n x \in \mathbb C^n x∈Cn，都有无穷多矩阵 A ∈ M a t n ( C ) A \in Mat_n(\mathbb C) A∈Matn(C)可以使得 A x = 0 Ax=0 Ax=0，其实 A A A就是正交补空间中的任意 n n n个向量）
模同态
定义
令 M , N M,N M,N都是 R − R- R−模，从 M M M到 N N N的同态（homomorphism）是一个函数 ϕ : M → N \phi: M \rightarrow N ϕ:M→N，满足
- 加群的同态： ϕ ( u 1 + u 2 ) = ϕ ( u 1 ) + ϕ ( u 2 ) \phi(u_1+u_2) = \phi(u_1)+\phi(u_2) ϕ(u1+u2)=ϕ(u1)+ϕ(u2)， u 1 , u 2 ∈ M u_1,u_2 \in M u1,u2∈M
- 环作用下同态： ϕ ( r u ) = r ϕ ( u ) \phi(ru)=r \phi(u) ϕ(ru)=rϕ(u)， u ∈ M u \in M u∈M
如果是满射，那么叫做满同态。如果是双射，那么是模同构（isomorphism），记做 M ≅ N M \cong N M≅N
性质
环 R R R，令 ϕ : R m → R n \phi: R^m \rightarrow R^n ϕ:Rm→Rn是一个 R − R- R−模同态，那么存在唯一的矩阵 P ∈ R n × m P \in R^{n \times m} P∈Rn×m，使得
ϕ ( u ) = P u , ∀ u ∈ R m \phi(u) = Pu, \forall u \in R^m ϕ(u)=Pu,∀u∈Rm
这里的 P P P是由 m m m个列向量 L i : = ϕ ( e i ) L_i := \phi(e_i) Li:=ϕ(ei)组成的。令 m = n = 1 m=n=1 m=n=1，那么任意的同态映射可以表示为 ρ s ( r ) = s r , s ∈ R \rho_s(r) = sr,s \in R ρs(r)=sr,s∈R的形式。
令 ϕ : M → N \phi:M \rightarrow N ϕ:M→N和 ψ : N → P \psi:N \rightarrow P ψ:N→P是两个 R − R- R−模同态/同构，那么
- 映射的复合 ψ ∘ ϕ : M → P \psi \circ \phi: M \rightarrow P ψ∘ϕ:M→P是模同态/同构。
- 若 ϕ \phi ϕ可逆，那么逆映射 ϕ − 1 : N → M \phi^{-1}: N \rightarrow M ϕ−1:N→M是模同态/同构。
令 ϕ : M → N \phi:M \rightarrow N ϕ:M→N是 R − R- R−模同态，
-
核（kernel）： ker ( ϕ ) : = { u ∈ M : ϕ ( u ) = 0 } \ker(\phi):=\{u \in M: \phi(u)=0\} ker(ϕ):={u∈M:ϕ(u)=0}，是 M M M的 R − R- R−子模
-
像（image）： i m ( ϕ ) : = { ϕ ( u ) : ϕ ( u ) = 0 } im(\phi):=\{\phi(u): \phi(u)=0\} im(ϕ):={ϕ(u):ϕ(u)=0}，是 N N N的 R − R- R−子模
-
ϕ \phi ϕ是双射 ⟺ k e r ( ϕ ) = { 0 } \iff ker(\phi)=\{0\} ⟺ker(ϕ)={0}， ϕ \phi ϕ是满射 ⟺ i m ( ϕ ) = N \iff im(\phi)=N ⟺im(ϕ)=N
任意有限生成的 R − R- R−模 M = < v 1 , ⋯ , v n > R M=
令 ϕ : M → N \phi:M \rightarrow N ϕ:M→N是 R − R- R−模同态，若 M M M是自由模，且一组基为 { u 1 , ⋯ , u n } \{u_1,\cdots,u_n\} {u1,⋯,un}，那么 ϕ \phi ϕ是同构 ⟺ { ϕ ( u 1 ) , ⋯ , ϕ ( u n ) } \iff \{\phi(u_1),\cdots,\phi(u_n)\} ⟺{ϕ(u1),⋯,ϕ(un)}是 N N N的一组基。即，同构映射将基映射到相同大小的基。
例子
- Z − \mathbb Z- Z−模就是交换群，它们之间的模同态就是群同态。
- R = F R=F R=F是域，那么 F − F- F−模 M , N M,N M,N之间的模同态 ϕ : M → N \phi:M \rightarrow N ϕ:M→N，就是从线性空间 M M M到 N N N的线性映射。
- 模 M M M的子模 N N N，那么商映射 ϕ : u ↦ u + N \phi: u \mapsto u+N ϕ:u↦u+N是满同态。
同构定理
第一同构定理
令 M , N M,N M,N都是 R − R- R−模，有一个模同态 ϕ : M → N \phi:M \rightarrow N ϕ:M→N，那么就存在模同构
i m ( ϕ ) ≅ M / k e r ( ϕ ) im(\phi) \cong M/ker(\phi) im(ϕ)≅M/ker(ϕ)
证明：构造映射
ψ : M / k e r ( ϕ ) → i m ( ϕ ) u + k e r ( ϕ ) ↦ ϕ ( u ) \psi: M/ker(\phi) \rightarrow im(\phi)\\ u+ker(\phi) \mapsto \phi(u) ψ:M/ker(ϕ)→im(ϕ)u+ker(ϕ)↦ϕ(u)
易证它是群同构，再证明它在环作用下同态，从而是模同构。
第二同构定理
令 M M M是 R − R- R−模，拥有子模 S , T S,T S,T，那么就存在模同构
( S + T ) / T ≅ S / ( S ∩ T ) (S+T)/T \cong S/(S \cap T) (S+T)/T≅S/(S∩T)
证明：构造映射
ϕ : S → ( S + T ) / T u ↦ u + T \phi: S \rightarrow (S+T)/T\\ u \mapsto u+T ϕ:S→(S+T)/Tu↦u+T
先证明 ϕ \phi ϕ是模同态且是满的，再证明 k e r ( ϕ ) = S ∩ T ker(\phi)=S \cap T ker(ϕ)=S∩T，从而应用第一同构定理。
第三同构定理
令 N ⊆ L ⊆ M N \subseteq L \subseteq M N⊆L⊆M是 R − R- R−模的上升链，那么就存在同构
M / L ≅ ( M / N ) / ( L / N ) M/L \cong (M/N)/(L/N) M/L≅(M/N)/(L/N)
证明：构造映射
ϕ : M / N → M / L u + N ↦ u + L \phi: M/N \rightarrow M/L\\ u+N \mapsto u+L ϕ:M/N→M/Lu+N↦u+L
先证明 ϕ \phi ϕ是模同态且是满的，再证明 k e r ( ϕ ) = L / N ker(\phi)=L/N ker(ϕ)=L/N，从而应用第一同构定理。
例子
- 若 R − R- R−模 M = M 1 ⊕ M 2 M=M_1\oplus M_2 M=M1⊕M2，那么有模同构 M / M 1 ≅ M 2 M/M_1 \cong M_2 M/M1≅M2（考虑满同态 ϕ : M 1 × M 2 → M 2 \phi:M_1 \times M_2 \rightarrow M_2 ϕ:M1×M2→M2）
- 若 M = < u > R M=_R M=<u>R是循环模，那么有模同构 M ≅ R / a n n ( u ) M \cong R/ann(u) M≅R/ann(u)（正则模 R R R，考虑映射 ϕ : R → M , r ↦ r u \phi:R \rightarrow M,r \mapsto ru ϕ:R→M,r↦ru）
内外直和
下面的内容参考Rotman的书籍。
令 R R R是交换环，令 S , T S,T S,T是 R − R- R−模，那么它们的直和记做 S ⊔ T S \sqcup T S⊔T，是笛卡尔积 S × T S \times T S×T，伴随如下坐标宽度的运算（with coordinatewise operations）
( s , t ) + ( s ′ , t ′ ) = ( s + s ′ , t + t ′ ) r ( s , t ) = ( r s , r t ) (s,t)+(s',t') = (s+s',t+t')\\ r(s,t) = (rs,rt) (s,t)+(s′,t′)=(s+s′,t+t′)r(s,t)=(rs,rt)
其中 s , s ′ ∈ S s,s' \in S s,s′∈S， t , t ′ ∈ T t,t' \in T t,t′∈T， r ∈ R r \in R r∈R
进一步，如下的关于 M , S , T M,S,T M,S,T的描述等价：
-
S ⊔ T ≅ M S \sqcup T \cong M S⊔T≅M
-
存在单的同态 i : S → M i:S \to M i:S→M和 j : T → M j: T \to M j:T→M，使得
M = i m ( i ) + i m ( j ) , i m ( i ) ∩ i m ( j ) = { 0 } M = im(i)+im(j),\,\, im(i) \cap im(j) = \{0\} M=im(i)+im(j),im(i)∩im(j)={0} -
存在同态 i : S → M i:S \to M i:S→M和 j : T → M j: T \to M j:T→M，使得对于任意的 m ∈ M m \in M m∈M，都存在唯一的 s ∈ S s \in S s∈S和 t ∈ T t \in T t∈T，满足
m = i s + j t m = is+jt m=is+jt -
存在同态 i : S → M i:S \to M i:S→M， j : T → M j: T \to M j:T→M， p : M → S p: M \to S p:M→S， q : M → T q: M \to T q:M→T，使得
p i = 1 S , q j = 1 T , q i = 0 , i p + j q = 1 M pi=1_S,\,\, qj=1_T,\,\, qi=0,\,\, ip+jq=1_M pi=1S,qj=1T,qi=0,ip+jq=1M
单同态 i , j i,j i,j叫做注入（injection），满同态 p , q p,q p,q叫做投影（projection）
internal direct sum
如果 S , T S,T S,T都是 M M M的子模，如果 M ≅ S ⊔ T M \cong S \sqcup T M≅S⊔T，伴随包含映射（the inclusions） i : S → M i:S \to M i:S→M和 j : T → M j:T \to M j:T→M，那么 M M M是它们的内直和（internal direct sum），记做 M = S ⊕ T M = S \oplus T M=S⊕T
一个子模 S ⊆ M S \subseteq M S⊆M叫做 M M M的直和分量（direct summand），如果存在一个子模 T T T，使得 M = S ⊕ T M = S \oplus T M=S⊕T
一个子模 S ⊆ M S \subseteq M S⊆M叫做 M M M的缩回（retract），如果存在 R − R- R−同态 ρ : M → S \rho:M \to S ρ:M→S，使得 ρ ( s ) = s , ∀ s ∈ S \rho(s)=s,\forall s \in S ρ(s)=s,∀s∈S，叫做收缩（retraction）
子模 S ⊆ M S \subseteq M S⊆M是 M M M的直和分量 ⟺ \iff ⟺存在一个收缩 ρ : M → S \rho:M \to S ρ:M→S
external direct sum
令 S 1 , ⋯ , S n S_1,\cdots,S_n S1,⋯,Sn都是 R − R- R−模，外直和（external direct sum）定义为
S 1 ⊔ ⋯ ⊔ S n S_1 \sqcup \cdots \sqcup S_n S1⊔⋯⊔Sn
它是 R − R- R−模，底层集合（underlying set）是笛卡尔积 S 1 × ⋯ × S n S_1\times \cdots \times S_n S1×⋯×Sn，运算为
( s 1 , ⋯ , s n ) + ( s 1 ′ , ⋯ , s n ′ ) = ( s 1 + s 1 ′ , ⋯ , s n + s n ′ ) r ( s 1 , ⋯ , s n ) = ( r s 1 , ⋯ , r s n ) (s_1,\cdots,s_n)+(s_1',\cdots,s_n') = (s_1+s_1',\cdots,s_n+s_n')\\ r(s_1,\cdots,s_n) = (rs_1,\cdots,rs_n) (s1,⋯,sn)+(s1′,⋯,sn′)=(s1+s1′,⋯,sn+sn′)r(s1,⋯,sn)=(rs1,⋯,rsn)
Exact Sequence
正合列
一个 R − R- R−模和 R − R- R−同态的序列
⋯ ⟶ M n + 1 ⟶ f n + 1 M n ⟶ f n + 1 M n − 1 ⟶ ⋯ \cdots \overset{}{\longrightarrow} M_{n+1} \overset{f_{n+1}}{\longrightarrow} M_n \overset{f_{n+1}}{\longrightarrow} M_{n-1} \overset{}{\longrightarrow} \cdots ⋯⟶Mn+1⟶fn+1Mn⟶fn+1Mn−1⟶⋯
被叫做正合列（exact sequence），如果满足
i m ( f n + 1 ) = k e r ( f n ) , ∀ n im(f_{n+1}) = ker(f_n),\forall n im(fn+1)=ker(fn),∀n
即前一个同态的像恰好是后一个同态的核，任意对象经连续的两次态射都得到零元。
性质
-
给定如下形式的序列
0 ⟶ A ⟶ f B 0 \overset{}{\longrightarrow} A \overset{f}{\longrightarrow} B 0⟶A⟶fB
它是正合的 ⟺ f \iff f ⟺f是单的（injective） -
给定如下形式的序列
B ⟶ g C ⟶ 0 B \overset{g}{\longrightarrow} C \overset{}{\longrightarrow} 0 B⟶gC⟶0
它是正合的 ⟺ g \iff g ⟺g是满的（surjective） -
给定如下形式的序列
0 ⟶ A ⟶ h B ⟶ 0 0 \overset{}{\longrightarrow} A \overset{h}{\longrightarrow} B \overset{}{\longrightarrow} 0 0⟶A⟶hB⟶0
它是正合的 ⟺ h \iff h ⟺h是一个同构（isomorphism）
短正合列
我们将形如
0 ⟶ A ⟶ f B ⟶ g C ⟶ 0 0 \overset{}{\longrightarrow} A \overset{f}{\longrightarrow} B \overset{g}{\longrightarrow} C \overset{}{\longrightarrow} 0 0⟶A⟶fB⟶gC⟶0
的正合列，叫做短正合列（short exact sequence），或者叫做 an extension of A by C， the middle module B is an extension.
性质
-
短正合列 0 ⟶ A ⟶ f B ⟶ g C ⟶ 0 0 \overset{}{\longrightarrow} A \overset{f}{\longrightarrow} B \overset{g}{\longrightarrow} C \overset{}{\longrightarrow} 0 0⟶A⟶fB⟶gC⟶0满足：
A ≅ i m ( f ) , B / i m ( f ) ≅ C A \cong im(f),\,\, B/im(f) \cong C A≅im(f),B/im(f)≅C -
如果 T ⊆ S ⊆ M T \subseteq S \subseteq M T⊆S⊆M是一列子模，那么存在如下短正合列：
0 ⟶ S / T ⟶ f M / T ⟶ g M / S ⟶ 0 0 \overset{}{\longrightarrow} S/T \overset{f}{\longrightarrow} M/T \overset{g}{\longrightarrow} M/S \overset{}{\longrightarrow} 0 0⟶S/T⟶fM/T⟶gM/S⟶0
其中 f : s + T ↦ s + T f:s+T \mapsto s+T f:s+T↦s+T是包含（the inclusion），而 g : m + T ↦ m + S g: m+T \mapsto m+S g:m+T↦m+S是陪集扩张（coset enlargement），有 k e r ( g ) = S / T = i m ( f ) ker(g) = S/T = im(f) ker(g)=S/T=im(f)
分裂的短正合列
一个短正合列
0 ⟶ A ⟶ i B ⟶ p C ⟶ 0 0 \overset{}{\longrightarrow} A \overset{i}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} C \overset{}{\longrightarrow} 0 0⟶A⟶iB⟶pC⟶0
是分裂的（split），如果存在映射 j : C → B j:C \to B j:C→B，满足 p j = 1 C pj = 1_C pj=1C（ p p p是右可逆的）
右分裂： p p p是右可逆的（注意 p p p是满射但不一定是单射）；左分裂： i i i是左可逆的（注意 i i i是单射但不一定是满射）；分裂：左右分裂的，将导致 B ≅ A ⊕ C B \cong A \oplus C B≅A⊕C
性质
如果短正合列是分裂的，那么
B ≅ A ⊔ C B \cong A \sqcup C B≅A⊔C
这里 ⊔ \sqcup ⊔是模的直和。