数学｜牛顿迭代法

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法使用函数 的泰勒级数的前面几项来寻找方程 的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程 的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。

上面的描述过于偏学术化，我们知道有些一元多次方程的最终解可能非常难求，如果直接求解的话，可能根本就没有解方程的办法，但是我们可以利用牛顿迭代法本质上可以求出方程的近似的一个或者多个解。
原理

我们设方程函数,改方程可以转化为我们只需要求出函数的解，就可以求出的解。

牛顿迭代公式

设是的根，选取作为的初始近似值，则我们可以过点做曲线的切线,我们知道切线与轴有交点，我们已知切线的方程为我们求的它与轴的交点为. 我们在以斜率为做斜线，求出与轴的交点，重复以上过程直到无限接近于0即可。其中第n次的迭代公式为：