NJUPT《 概率论与数理统计 》

一）考试范围

♂♂♂ Ch1
1.事件之间的关系与运算,事件的表述;
2.概率的公理化定义,概率的性质;
3.古典概型的定义,概率的计算;
4.条件概率,三大公式应用;
(1)乘法公式
(2)全概率公式
(3)贝叶斯公式
5.独立性
6.贝努利试验和二项概率。
♂♂♂ Ch2
1.随机变量;
2.离散型随机变量及其分布律;
3.分布函数及其性质
4.连续型随机变量的密度函数及其性质:
5.常用分布:
1)二项分布B(n,p)
2)泊松分布π(λ)
3)均匀分布U(a,b)
4)指数分布E(λ)
5)正态分布N(μ,σ²)
标准正态分布N(0,1)
6.一维随机变量的函数的分布
(1)分布函数法
(2)公式法
♂♂♂ Ch3
1.二维随机变量、联合分布函数
2.二维离散型随机变量及其分布律、分布函数;
3.二维连续型随机变量、概率密度函数及其性质;
1)二维均匀分布(会求密度函数)
2)二维正态分布
4.边缘分布
1)离散型
关于X的边缘分布
关于Y的边缘分布
2)连续型
关于X的边缘密度函数
关于Y的边缘密度函数
5.条件分布
离散/连续
6.独立性
7.二维随机变量函数的分布
1)二维连续型随机变量函数和X+Y的分布
2)泊松分布和二项分布的可加性
3)M=max(x,y)及N=min(x,y)的分布
♂♂♂ Ch4
1.数学期望的定义
2.数学期望的性质
3.二维随机变量的数学期望
4.随机变量函数的数学期望
一维离散型随机变量函数的期望
一维连续型随机变量函数的期望
二维离散型随机变量函数的期望
二维连续型随机变量函数的期望
5.方差的定义
6.方差的性质
7.几种常见分布的期望和方差
8.会求相互独立的正态随机变量线性组合的期望、方差
9.协方差,相关系数
10.协方差的性质
11.相关系数的性质
12.协方差矩阵
♂♂♂ Ch5
1.切比雪夫不等式
2.依概率收敛的定义
3.切比雪夫大数定律,贝努利大数定律,辛钦大数定律;
4.中心极限定理
♂♂♂ Ch6
1.常用统计量
均值,方差,标准差,k阶矩,k阶中心距
2.经验分布函数
3.三个重要的抽样分布
1)X²分布
2)t分布
3)F分布
4.正态总体样本均值,样本方差的分布
♂♂♂ Ch7
1.矩估计法
2.最大似然估计法
3.置信区间
♂♂♂ Ch8
假设检验
均值 / 波动性

二）考前复习

【考试真题1】

【考试真题2】

【考试真题3】

1）事件的概率

2）一维随机变量

3）一维随机变量的函数

4）常见的五种分布

5）离散型二维变量

6）连续型二维变量

7）随机变量的数字特征

8）中心极限定理

9）矩估计

10）最大似然估计量

11）区间估计

12）假设检验

三、学习笔记

第一章 随机事件

• 随机试验，样本空间

A）样本空间
试验所有可能结果的集合
B）随机事件
基本事件，必然事件，不可能事件
C）随机事件关系
包含，相等，和 ∪，积 ∩，差 ，互斥，对立

D）随机事件关系运算

• 随机事件的概率

A）频率：fn(A) = N(A)/n
N(A) 是发生 A 的试验次数，n 是总次数
频率：非负性，规范性，可加性
B）概率：P(A) = ∫(n->∞) fn(A)
概率：非负性，规范性，可列可加性
C）P(A1∪A2∪...∪An) = ΣP(Ai) - ΣP(AiAj) + ΣP(AiAjAk) - ...
例如：① P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)

② P(a1∪a2∪a3) = P(a1) + P(a2) + P(a3) - P(a1a2) - P(a1a3) - P(a2a3) + P(a1a2a3)

• 古典概率模型

① 样本空间样本点个数有限
② 每一次试验的每一个事件发生概率相同

• 条件概率，全概率公式，贝叶斯公式

A）条件概率
在事件 B 发生的条件下 A 发生的概率，记为 P (A | B)

P (A | B) = P (AB) / P (B)
B）乘法公式
若 P (A) ＞ 0，则 P (AB) = P(A) P(B|A)
若 P (B) ＞ 0，则 P (AB) = P(B) P(A|B)
C）① 划分
S 是随机试验 E 的样本空间，B1、B2、...、Bn 是 S 的一组事件
若 Bi 两两不相容，S = B1∪B2∪...∪Bn，则 Bi 为样本空间 S 的一个划分
② 全概率公式
对任一事件 A，有 P(A) = Σ P(Bi) P(A | Bi)
③ 贝叶斯公式
对任一事件 A，有 P(Bi|A) = P(Bi)P(A|Bi) / ΣP(Bj)P(A|Bj)
④ 先验条件：根据经验发生 B 的概率，记作 P(Bi)
后验条件：在 A 发生的条件下 B 发生的概率，记作 P(Bi | A)

• 事件的独立性，贝努里试验

A）相互独立
A、B是试验的两个事件，若 P(AB) = P(A) P(B)，则称 A、B 相互独立
A、B、C是试验的三个事件，若 P(AB) = P(A) P(B)，P(AC) = P(A) P(C)
P(BC) = P(B) P(C)，P(ABC) = P(A) P(B) P(C)，则称 A、B、C 相互独立
B）贝努里试验
① 贝努里试验只关心某事件 A 是否发生，P(A) = p (0＜p＜1)，P(A’) = 1 - p
n 重贝努里试验：把贝努里试验独立地重复做 n 次

② 二项概率公式

第二章 一维随机变量

• 一维随机变量

A）概念
S = {e} 为样本空间，在 S 上的单值函数 X(e) 称为随机变量，简记为 X
B）分类
离散型随机变量：X 可能值为有限个
非离散型随机变量：X 可能值为无限个
连续型随机变量：属于非离散型随机变量

• 离散型随机变量

A）概率分布
P(X = xk) = pk，且 k = 1、2、3 ...
B）常见分布
① (0 - 1) 分布
P(X = k) = p^k (1-p)^1-k，且 k = 0、1

② 二项分布

③ 几何分布

④ 泊松分布

• 分布函数

A）随机变量：F(x) = P(X ≤ x)
① P(x1 < X ≤ x2) = P(X ≤ x2) - P(X ≤ x1) = F(x2) - F(x1)
② F(x) 在 x = x0 连续，则 P(X = x0) = 0
B）离散型随机变量：F(x) = Σ P(X = xk)

• 连续型随机变量

A）概率密度

B）常见分布

• 函数分布

A）离散型随机变量

B）连续型随机变量

第三章 多维随机变量

• 二维随机变量，分布函数

① 二维随机变量
设 S = {e} 为随机试验 E 的样本空间
X = X(e)，Y = Y(e) 是随机变量，则有序数组 (X, Y) 为二维随机变量
② 分布函数
F (x, y) = P (X≤x, Y≤y) 为二维随机变量 (X, Y) 的分布函数
③ 二维离散型随机变量
如果 (X, Y) 取值为有限个，则称其为二维离散型随机变量
P (X=xi, Y=yj) = pij 为二维离散型随机变量 (X, Y) 的分布律，也可以用表格表示

④ 二维连续型随机变量

⑤ 常见分布

• 二维随机变量的边缘分布

① 边缘分布函数
二维随机变量的分量 X、Y 也有自己的分布函数 Fx(x)、Fy(y) ，称为边缘分布函数
Fx (x) = P(X ≤ x) = P(X ≤ x, Y ≤ +∞) = F(x, +∞)
Fy (y) = P(Y ≤ y) = P(X ≤ +∞, Y ≤ y) = F(+∞, y)
P (X=xi) = pi ，P (Y=yj) = pj 为分量 X ，Y 的分布律，也可以用表格表示
② 边缘概率密度

• 二维随机变量的条件分布

A）二维离散型随机变量

B）二维连续型随机变量

• 二维随机变量的独立性

① 分布函数：F (x, y)，边缘分布函数：FX(x) 、FY(y)
若 F (x, y) = FX(x) FY(y)，则二维随机变量 X 与 Y 相互独立
② 分布律：P (X = xi , Y = yj) = pij 、P (X = xi) = pi 、P (Y = yj) = pj
若 pij = pi pj，则二维随机变量 X 与 Y 相互独立

• 二维随机变量函数的分布

四、思维导图