近世代数——Part2 群:循环群

循环群

定义

回顾一下循环群的定义,当我们说群可以由一个元素生成,我们就可以说这个群是循环群,具体的: G = { a n ∣ n ∈ Z } G=\{a^n\mid n\in Z\} G={annZ}
a a a叫做 G G G的生成元,记为 G = ⟨ a ⟩ G=\langle a\rangle G=a

例子

  • 整数加法群是由 1 1 1 − 1 -1 1生成的,幂 n n n相当于乘 n n n:即 1 2 = 2 , 1 0 = 0 , 1 − 1 = − 1 1^2=2,1^0=0,1^{-1}=-1 12=2,10=0,11=1,群元素相乘的意义上的计算。
  • Z n Z_n Zn是循环群,生成元是 1 1 1 n − 1 n-1 n1,彼此互逆;另外根据 n n n的取值,还可能有其他生成元。如 Z 8 = ⟨ 3 ⟩ = ⟨ 5 ⟩ Z_8=\langle 3 \rangle = \langle 5\rangle Z8=3=5
  • U ( 10 ) U(10) U(10)也是循环群,但 U ( 8 ) U(8) U(8)不是循环群。

Theorem 4.1

设元素 a a a属于群 G G G,如果 a a a有无限阶, a i = a j ↔ i = j a^i=a^j\leftrightarrow i=j ai=aji=j;如果 a a a有有限阶 n n n a i = a j ↔ n ∣ i − j a^i=a^j\leftrightarrow n\mid i-j ai=ajnij

证明:当 a a a无限阶时,说明 a a a的任何正整数次幂都不会为 e e e,那么假设给定不等的 i < j ii<j a i = a j → a j − i = e a^i=a^j\to a^{j-i}=e ai=ajaji=e,显然矛盾。那么说明 i = j i=j i=j
a a a有限阶时,即 a n = e a^n=e an=e,如果不等的 i , j i,j i,j使 a i = a j a^i=a^j ai=aj,那么 i − j ≥ n i-j\ge n ijn,否则根据上面证明依旧会导出 a a a的更小的阶。将 i − j i-j ij写为 q n + r , 0 < r < n qn+r,0qn+r,0<r<n,那么 e = a i − j = a q n a r = a r e=a^{i-j}=a^{qn}a^r=a^r e=aij=aqnar=ar,由于 r < n rr<n,且 n n n是阶,那么必然有 r = 0 r=0 r=0,QED

Corollary 1

对于任何群都有 ∣ a ∣ = ∣ ⟨ a ⟩ ∣ |a|=|\langle a\rangle| a=a

这其实是Theorem 4.1的特例,即:无限阶元素生成的元素各不相等(仍然是无限阶),阶为 n n n的元素只能生成 n n n个元素的群(相当于幂在模 n n n的意义上才有区别)。

Corollary 2

对群 G G G n n n阶元素 a ∈ G a\in G aG来说, a k = e → n ∣ k a^k=e\rightarrow n\mid k ak=enk

这依旧是Theorem 4.1的特例,取 i , j i,j i,j k , 0 k,0 k,0即可

Corollary 3

如果 a , b a,b a,b属于一个有限群且 a b = b a ab=ba ab=ba,那么 ∣ a b ∣   ∣   ∣ a ∣ ∣ b ∣ |ab|\ \mid\ |a||b| ab  a∣∣b

依旧用Theorem 4.1考虑,设 ∣ a b ∣ = n |ab|=n ab=n,显然 ( a b ) 0 = e , ( a b ) ∣ a ∣ ∣ b ∣ = a ∣ a ∣ ∣ b ∣ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ = e (ab)^0=e,(ab)^{|a||b|}=a^{|a||b|}b^{|a||b|}=e (ab)0=e(ab)a∣∣b=aa∣∣bba∣∣b=e,根据定理4.1 必有: n ∣   ∣ a ∣ ∣ b ∣ n\mid\ |a||b| n a∣∣b

定理理解

根据定理和推论内容,以及证明过程,我们可以隐约把握到一些特殊的地方。这个定理的有限情况实际上在说这么一层意思: ⟨ a ⟩ \langle a\rangle a中的乘积运算,和模 n n n加法的操作很相像,即如果 i + j m o d    n = k i+j\mod{n}=k i+jmodn=k,那么 a i a j = a k a^ia^j=a^k aiaj=ak,故这个 a a a生成的循环群和 Z n Z_n Zn存在相似性;在阶无限情况下则和 Z Z Z存在相似性。

基于以上理由,可以说 Z n Z_n Zn Z Z Z是所有循环群的“原型”,对这两个原型的研究将有助于理解所有循环群(实际上后面章节Chapter 6会说,这实际上是同构)。

Theorem 4.2

a a a是阶 n n n的群元素, k k k是正整数,那么: ⟨ a k ⟩ = ⟨ a gcd ⁡ ( n , k ) ⟩ \langle a^k\rangle=\langle a^{\gcd(n,k)}\rangle ak=agcd(n,k) ∣ a k ∣ = n / gcd ⁡ ( n , k ) |a^k|=n/\gcd(n,k) ak=n/gcd(n,k)

证明:这是两个结论。

  • 对于前者,自然想到的是 gcd ⁡ ( n , k ) = n s + k t \gcd(n,k)=ns+kt gcd(n,k)=ns+kt a gcd ⁡ ( n , k ) = a k t a^{\gcd(n,k)}=a^{kt} agcd(n,k)=akt,问题就变成了要证明 a k t a^{kt} akt a k a^k ak生成同一个群,显然 ⟨ a k t ⟩ ⊆ ⟨ a k ⟩ \langle a^{kt}\rangle\subseteq \langle a^k\rangle aktak,因为后者能生成前者。现在再回到 gcd ⁡ ( n , k ) \gcd(n,k) gcd(n,k),设公约数为 d d d,那么 k = d r k=dr k=dr,显然 ⟨ a k ⟩ ⊆ ⟨ a d ⟩ \langle a^k\rangle\subseteq \langle a^d\rangle akad,故 ⟨ a k ⟩ ⊆ ⟨ a d ⟩ = ⟨ a gcd ⁡ ( n , k ) ⟩ = ⟨ a k t ⟩ ⊆ ⟨ a k ⟩ \langle a^k\rangle\subseteq \langle a^d\rangle=\langle a^{\gcd(n,k)}\rangle =\langle a^{kt}\rangle\subseteq\langle a^k\rangle akad=agcd(n,k)=aktak,故两集合相等。
  • 对于后者,先根据前者的结论以及Corollary 1将结论化简为 ∣ a d ∣ = n / d |a^d|=n/d ad=n/d,首先 ( a d ) n / d = e (a^d)^{n/d}=e (ad)n/d=e,那么 ∣ a d ∣ ≤ n / d |a^d|\le n/d adn/d;如果存在 i < n / d i< n/d i<n/d使得 a d i = e a^{di}=e adi=e,那么将导出 d i < n didi<n才是 a a a的阶,矛盾,故阶就是 n / d n/d n/d

定理应用例子

  • 对于 ∣ a ∣ = 30 |a|=30 a=30,找到 ⟨ a 26 ⟩ , ⟨ a 17 ⟩ , ⟨ a 18 ⟩ , ∣ a 26 ∣ , ∣ a 17 ∣ , ∣ a 18 ∣ \langle a^{26}\rangle, \langle a^{17}\rangle, \langle a^{18}\rangle, |a^{26}|,|a^{17}|,|a^{18}| a26,a17,a18,a26,a17,a18
    根据定理Theorem 4.2, ⟨ a 26 ⟩ = ⟨ a 2 ⟩ = { e , a 2 , a 4 , ⋯   , a 28 } \langle a^{26}\rangle=\langle a^{2}\rangle=\{e,a^2,a^4,\cdots ,a^{28}\} a26=a2={e,a2,a4,,a28}; 阶 30 / 2 = 15 30/2=15 30/2=15
    ⟨ a 17 ⟩ = ⟨ a ⟩ = { e , a , a 2 , ⋯   , a 29 } \langle a^{17}\rangle =\langle a\rangle=\{e,a,a^2,\cdots , a^{29}\} a17=a={e,a,a2,,a29};阶 30 / 1 = 30 30/1=30 30/1=30
    ⟨ a 18 ⟩ = ⟨ a 6 ⟩ = { e , a 6 , a 12 , ⋯   , a 24 } \langle a^{18}\rangle = \langle a^6\rangle=\{e,a^6,a^{12},\cdots ,a^{24}\} a18=a6={e,a6,a12,,a24};阶 30 / 6 = 5 30/6=5 30/6=5

Corollary 1

有限循环群元素的阶整除群的阶

这是Theorem 4.2的直接结论

Corollary 2

对于 ∣ a ∣ = n |a|=n a=n
⟨ a i ⟩ = ⟨ a j ⟩   i i f .   gcd ⁡ ( n , i ) = gcd ⁡ ( n , j ) \langle a^i\rangle=\langle a^j\rangle\ \mathrm{iif.}\ \gcd(n,i)=\gcd(n,j) ai=aj iif. gcd(n,i)=gcd(n,j)
∣ a i ∣ = ∣ a j ∣   i i f .   gcd ⁡ ( n , i ) = gcd ⁡ ( n , j ) |a^i|=|a^j|\ \mathrm{iif.}\ \gcd(n,i)=\gcd(n,j) ai=aj iif. gcd(n,i)=gcd(n,j)

  • 对于推论第一项,因为 ⟨ a i ⟩ = ⟨ a gcd ⁡ ( n , i ) ⟩ , ⟨ a j ⟩ = ⟨ a gcd ⁡ ( n , j ) ⟩ \langle a^i\rangle=\langle a^{\gcd(n,i)}\rangle , \langle a^j\rangle=\langle a^{\gcd(n,j)}\rangle ai=agcd(n,i),aj=agcd(n,j),公约数相等当然这两个生成群相等;另一个方向上,根据Theorem 4.1的推论1,生成群相等,则生成元的阶相等,那么 ∣ a gcd ⁡ ( n , i ) ∣ = ∣ a gcd ⁡ ( n , j ) ∣ |a^{\gcd(n,i)}|=|a^{\gcd(n,j)}| agcd(n,i)=agcd(n,j),那么根据Theorem 4.2的后一个结论, n / gcd ⁡ ( n , i ) = n / gcd ⁡ ( n , j ) n/\gcd(n,i)=n/\gcd(n,j) n/gcd(n,i)=n/gcd(n,j),可得公约数相等。
  • 对于后一项,直接可以计算出两个阶为 n / gcd ⁡ ( n , i ) n/\gcd(n,i) n/gcd(n,i) n / gcd ⁡ ( n , j ) n/\gcd(n,j) n/gcd(n,j),这个证明实际上只是上一项的一部分。

Corollary 3

∣ a ∣ = n |a|=n a=n
⟨ a ⟩ = ⟨ a j ⟩   i i f .   gcd ⁡ ( n , j ) = 1 \langle a\rangle=\langle a^j\rangle\ \mathrm{iif.}\ \gcd(n,j)=1 a=aj iif. gcd(n,j)=1
∣ a ∣ = ∣ ⟨ a j ⟩ ∣   i i f .   gcd ⁡ ( n , j ) = 1 |a|=|\langle a^j\rangle|\ \mathrm{iif.}\ \gcd(n,j)=1 a=aj iif. gcd(n,j)=1

这个和推论2证法一致。实际上就是前一个推论的特例

Corollary 4

Z n = ⟨ k ⟩   i i f .   gcd ⁡ ( n , k ) = 1 Z_n=\langle k\rangle\ \mathrm{iif.}\ \gcd(n,k)=1 Zn=k iif. gcd(n,k)=1

这又是推论3的特例

定理理解

这些定理和推论揭示了一些新的,重要的,之前可能有模糊感觉但不确定的性质。
推论3说明了,一旦循环群一个生成元被找到,那么所有生成元都能轻易确定。即如果找到一个生成元 a a a,那么让 a a a取和群阶互质的的数作为 a a a的幂,得到的元素也是生成元。
例如: ∣ U ( 50 ) ∣ = 20 |U(50)|=20 U(50)=20,由 3 3 3生成,那么 3 3 m o d    50 , 3 7 m o d    50 , ⋯   , 3 19 m o d    5 3^{3}\mod{50},3^{7}\mod{50},\cdots ,3^{19}\mod{5} 33mod50,37mod50,,319mod5都是此群的生成元。

循环群的子群

Theorem 4.3 循环群基本定理

循环群的子群都是循环群;
并且,如果 ∣ ⟨ a ⟩ ∣ = n |\langle a\rangle|=n a=n ⟨ a ⟩ \langle a\rangle a的子群的阶必定是 n n n的约数;
再者,对于 n n n的正约数 k k k ⟨ a ⟩ \langle a\rangle a必定有一个确定的 k k k阶子群 ⟨ a n / k ⟩ \langle a^{n/k}\rangle an/k

定理理解

这个定理第一部分是符合直观的,重要的后两部分,这后两部分合起来说的意思是告诉我们循环群所有子群是什么样的。

定理证明

首先证明循环群的子群都是循环群,如果循环群仅包含单位元,那么按定义也是循环群,如果包含生成元 a a a,那么这个子群就是它本身,当然也是循环群;考虑完这两个平凡子群后,现考虑 G = ⟨ a ⟩ G=\langle a\rangle G=a G G G的子群 H H H中必然都是形式 a t a^t at的元素,那么断言其中最小的幂 a m a^m am将生成 H H H。假设子群中存在另一个元素 a t = a m q + r = a m q a r a^t=a^{mq+r}=a^{mq}a^r at=amq+r=amqar,显然 a m q a^{mq} amq可由 a m a^m am生成,那么再结合条件 a t a^t at可由 a m a^m am生成,可推知 a r a^r ar可由 a m a^m am生成,那么 r = 0 r=0 r=0,QED
假设群 G G G的阶是 n n n,现在我们知道循环群子群也有一个元素生成,这个元素可以写成 a t a^t at,那么根据Theorem 4.2 ⟨ a t ⟩ = ⟨ a gcd ⁡ ( n , t ) ⟩ \langle a^t\rangle=\langle a^{\gcd(n,t)} \rangle at=agcd(n,t),阶 ∣ a t ∣ = n / gcd ⁡ ( n , t ) |a^t|=n/\gcd(n,t) at=n/gcd(n,t),后者说明子群的阶必然是 n n n的约数,也暗示子群的形式。

推论: Z n Z_n Zn的子群

对于 n n n的正约数 k k k ⟨ n / k ⟩ \langle n/k\rangle n/k Z n Z_n Zn独一无二的 k k k阶子群;更进一步,这些子群也是 Z n Z_n Zn仅有的子群。

这个推论仅仅是基本定律的特例,另外要注意的是,这里说的是子群只有这么多,但同一个子群可能有不同形式。

Theorem 4.4 循环群各阶元素的个数

如果 d d d n n n的约数, n n n阶循环群的 d d d阶元素的个数为 ϕ ( d ) \phi(d) ϕ(d),我们有 ϕ ( d ) = ∣ U ( d ) ∣ \phi(d)=|U(d)| ϕ(d)=U(d),其中 ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n)是欧拉 ϕ \phi ϕ函数。

这个定理可以结合前面的定理和推论得出,循环群基本定理说明,群元素的子群都是循环群,其中一个生成元 a a a的阶是 n n n的约数 d d d,且这个 d d d阶子群是唯一的,那么 d d d阶元素说的是这个 d d d阶子群的生成元个数,这样,所有的 a j   s . t .   gcd ⁡ ( n , j ) = 1 a^{j}\ \mathrm{s. t.}\ \gcd(n,j)=1 aj s.t. gcd(n,j)=1都是这个子群的生成元,根据这个定义,可知正好生成元个数满足 U ( n ) U(n) U(n)的定义。

推论:有限群的同阶元素个数

(注意,这个推论扩展到了所有有限群)有限群中,阶 d d d元素个数是 ϕ ( d ) \phi(d) ϕ(d)的倍数。

显然,如果有限群没有阶 d d d元素,这个推论是成立的,因为倍数就是 0 0 0
如果有限群中有 d d d阶元素 a a a,那么循环群 ⟨ a ⟩ \langle a\rangle a中肯定有 ϕ ( d ) \phi(d) ϕ(d) d d d阶元素。如果所有 d d d阶元素都在 ⟨ a ⟩ \langle a\rangle a内,那么显然 d d d阶元素个数就是 ϕ ( d ) \phi(d) ϕ(d),如果有其他 d d d阶元素 b b b,那么 ⟨ b ⟩ \langle b\rangle b同样有 ϕ ( d ) \phi(d) ϕ(d) d d d阶元素, d d d阶元素个数就是 2 ϕ ( d ) 2\phi(d) 2ϕ(d)(因为两个不同子群不会有 d d d阶的交集,只要意识到子群的交集也是子群,这个子群肯定小于 d d d阶)。

欧拉 ϕ \phi ϕ函数的计算

根据定义,似乎并不好计算欧拉 ϕ \phi ϕ函数的具体值,然而存在一个有趣的特性可以帮助计算: ϕ ( p n ) = p n − p n − 1 \phi(p^n)=p^n-p^{n-1} ϕ(pn)=pnpn1,且对于互质的数 m , n m,n m,n,有 ϕ ( m n ) = ϕ ( m ) ϕ ( n ) \phi(mn)=\phi(m)\phi(n) ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n),把握这两个性质可以很快计算出结果。例如
ϕ ( 40 ) = ϕ ( 8 ) ϕ ( 5 ) = ( 2 3 − 2 2 ) × 4 = 16 \phi(40)=\phi(8)\phi(5)=(2^3-2^2)\times 4=16 ϕ(40)=ϕ(8)ϕ(5)=(2322)×4=16

你可能感兴趣的:(读书笔记——近世代数,代数,抽象代数)