罗斯·利特尔伍德悖论

我们有无限个球和一个花瓶，现在我们要对它们进行一系列操作。每次操作都是一样的：往花瓶里放 10 个球，然后取出 1 个球。那么，无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？

有人或许会说，这个问题显然是荒谬的——这个过程需要耗费无穷的时间，我们不可能等到那个时候。那么，我们不妨换一个问法，避开所需时间无穷的问题：在差一分钟到正午 12 点时进行第 1 次操作，在差 30 秒（1/2 分钟）到正午 12 点时进行第 2 次操作，在差 1/2 n-1 分钟到 12 点时进行第 n 次操作。那么，12 点的时候，花瓶里有几个球呢？

无穷多个？还是一个都没有。在邹恒明的《算法之道》了曾提及这个问题，说明了取法的不同会造成最终的结果不同。

数学家 Allis 和 Koetsier 却不这么认为。他们认为，12 点时瓶子里没有球，因为我们第 1 次放进 1 至 10 号球，然后取出 1 号球，第 2 次放入 11 至 20 号球，然后取出 2 号球⋯⋯注意到，n 号球总是在第 n 次操作时被取出来了，因此无限操作下去，每个球都会被取出来！细心的读者会发现，这个说法也有问题：前面的证明假设我们取出的依次是 1 号球、2 号球、3 号球等等，如果我们改成依次取 10 号球、20 号球、30 号球，那么最后瓶子里又出现了无限个球了。哪种观点是正确的呢？于是逻辑学家詹姆斯·亨勒（James M. Henle）和托马斯·泰马祖科（Thomas Tymoczko）认为，花瓶里有任意个球。他们还给出了具体的构造方法，说明最终花瓶里的球可以是任意数目。

关于最后一个球都没有的取法似乎直观上难以接受，但又千真万却，多年之后许多人都强调了取法不同会带来不同的结果，却罕有人提及这是在无限次取球的前提下得到的结果，从有穷到无穷已经发生了本质的变化，这也是需要被强调的！