数论基础之模运算

数论基础之模运算

这篇罗列一下模运算的定义，即最基本的运算定理

首先回顾一下整除的性质

a是b的倍数 = b整除 a = b|a
定理：对任意整数a和b，$b\ne 0$,唯一存在一对整数 q和r，使得 0$\le$r $\le$|b|, a=qb+r
整数的基本性质
性质1. 若a|b, b|c，则a|c
性质2.若a|b，则a|bc
性质3.若a|b，a|c，则a|b+c
性质4.若a整除b1,b2…bn,则a|$\Lambda 1$b1+ $\Lambda 2$b2+…$\Lambda n$bn,其中$\Lambda$为任意整数
性质5. 若在同一等式中，除某项外，其余各项都是a的倍数，则此项也是a的倍数。（实质是性质4的推广）
性质6.若a|b，b|a，则b=±a
性质7.设a=qb+c，则a，b的公因数与b，c的公因数是完全相同的。（由性质5得出）

模运算的基本定义与性质

定义 设a，b为二整数，m为任意非0整数
若m|a-b，则 a合同于b模m ： a$\equiv$b(mod m)

合同为整除的另一种表示法，故整除的性质可用
特别的，若b=0,则a$\equiv$ 0(mod m)表示 m|a ， mb$\equiv$ 0(mod m)这是成立的

性质1 a$\equiv$a
性质2 若a$\equiv$b,则b$\equiv$a
性质3 若a$\equiv$b,b$\equiv$c,则a$\equiv$c
性质4 若a$\equiv$b(mod m),c$\equiv$d(mod m),则a±c$\equiv$b±d(mod m),ac$\equiv$bd(mod m)
性质5 若a$\equiv$b(mod m),则a±k$\equiv$b±k(mod m),其中k为整数
性质6 若a+b$\equiv$c(mod m)，则a$\equiv$c-b(mod m) 可以移项
性质7 若a$\equiv$b(mod m),则 ac$\equiv$bc(mod m),可以乘任意一个整数
性质8 若a$\equiv$c(mod m),则 a^n$\equiv$bn(mod m) 0$\le$n,可以幂等
性质9 若c≠0而ac$\equiv$bc(mod mc),则a$\equiv$b(mod m)
性质10 若c和m互质，则由ac$\equiv$bc（mod m）可以推出 a$\equiv$b(mod m)
性质11 若ac$\equiv$bc(mod m),且（c，m）=d，则 a$\equiv$b（mod m/d）