算法分析与设计期末总复习下（回溯，分支限界法部分）

这部分其实才是期末考的重点

回溯法

1、回溯法基本思想：
搜索：从根结点出发，按深度优先策略遍历解空间树，搜索满足约束条件的解。
剪枝：在搜索至树中任一结点时，先判断该结点对应的部分解是否满足条件（用约束函数在扩展节点处减去不满足约束的子树、用限界函数剪去找不到最优解的子树），也即判断该结点是否包含问题的解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的搜索，即剪枝（Pruning）；否则，进入以该结点为根的子树，继续按照深度优先的策略搜索。

2、算法步骤：
一般来讲，回溯法求解问题的基本步骤如下：
(1) 针对所给问题，定义问题的解空间；
(2) 确定易于搜索的解空间结构；
(3) 以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中利用Pruning函数剪去无效的搜索。

3、解空间
子集树：当所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间称为子集树。例如， 0-1背包问题所相应的解空间树就是一颗子集树。这类子集问题通常有2ⁿ个叶节点，其节点总个数为2⁽ⁿ⁺¹⁾-1。遍历子集树的任何算法均需要O(2ⁿ)的计算时间。

排列树 ：当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间树称为 排列树 。排列树通常有n!个叶子节点。因此遍历排列树需要O(n!)的计算时间。

4、解决01背包问题可以使用动态规划，不需要对接点进行排序；采用回溯法和分支限界法需要通过单位质量进行排序

分支限界法

0-1背包问题

一、动态规划

二、贪心法(背包问题)（略）

三、子集树—回溯法

1、算法思想

2、剪枝函数

3、时间复杂度：

4、代码：

四、分支限界法

1、算法思想：

2、代码：

3、应用

装载问题

一、贪心法

1、算法思想：

最轻的先装

2、代码

3、性质证明：

二、回溯法

1、算法思想：

(1)首先将第一艘轮船尽可能装满；
(2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。

2、剪枝策略：

3、时间复杂度：

在每个结点处算法花费O（1）时间，子集树中结点个数为O（2ⁿ），时间复杂度为O（n2ⁿ）；如果需要记录子集树的最优解的选择，则需要O（n）的递归栈空间，时间复杂度为O（n2ⁿ）。

4、代码

子集树—最大团问题：

一、回溯法

1、算法思想：

首先设最大团为一个空团，往其中加入一个顶点，然后依次考虑每个顶点，查看该顶点加入团之后仍然构成一个团，如果可以，考虑将该顶点加入团或者舍弃两种情况，如果不行，直接舍弃，然后递归判断下一顶点。对于无连接或者直接舍弃两种情况，在递归前，可采用剪枝策略来避免无效搜索。
为了判断当前顶点加入团之后是否仍是一个团，只需要考虑该顶点和团中顶点是否都有连接。

2、剪枝策略：

如果剩余未考虑的顶点数加上团中顶点数不大于当前解的顶点数，可停止继续深度搜索，否则继续深度递归
当搜索到一个叶结点时，即可停止搜索，此时更新最优解和最优值。

3、时间复杂度： O(n2ⁿ)

4、代码

5、应用

二、分支限界法—优先队列式

1、算法思想

2、应用

3、代码

排列树—N皇后问题

1、算法思想：

2、剪枝策略：

3、代码

4、应用

排列树–TSP问题

这个其实是重点，但是最后没时间了只是很潦草地看了一下

1、算法思想：

2、应用：

3、代码：

排列树–符号三角问题

1、算法思想：

2、剪枝策略：

3、算法复杂度：

4、代码：

排列树–图的m着色问题

1、算法思想

2、剪枝函数

3、时间复杂度

4、代码

随机化算法