作者:Yx.Ac
出处:勇幸|Thinking (http://www.ahathinking.com)
昨天和今天学习了并查集和trie树,并练习了三道入门题目,理解更为深刻,觉得有必要总结一下,这其中的内容定义之类的是取自网络,操作的说明解释及程序的注释部分为个人理解。
并查集学习:
一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合,能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作,应用很多,如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属:实现Kruskar算法求最小生成树。
1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合
初始化后每一个元素的父亲节点是它本身,每一个元素的祖先节点也是它本身(也可以根据情况而变)。
2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合
查找一个元素所在的集合,其精髓是找到这个元素所在集合的祖先!这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合,只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合,也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先,具体见示意图
3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合
合并两个不相交集合操作很简单:
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先,将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图
1、Find_Set(x)时 路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找,但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时,每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度,有没有办法减小这个复杂度呢?
答案是肯定的,这就是路径压缩,即当我们经过"递推"找到祖先节点后,"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先,这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了,如下图所示;可见,路径压缩方便了以后的查找。
2、Union(x,y)时 按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中,这样合并之后树的高度会相对较小。
注意:
代码中路径压缩时秩不需变化的,正如Eillen所说,秩只是表示节点高度的一个上界
如果用秩进行计数,路径压缩也是不需要变化的
因为所属集合的根节点的秩在合并时已经更新,其他子节点的秩不用到也无需再变化;
int father[MAX]; /* father[x]表示x的父节点*/ int rank[MAX]; /* rank[x]表示x的秩*/ /* 初始化集合*/ void Make_Set(int x) { father[x] = x; //根据实际情况指定的父节点可变化 rank[x] = 0; //根据实际情况初始化秩也有所变化 } /* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/ int Find_Set(int x) { if (x != father[x]) { father[x] = Find_Set(father[x]); //这个回溯时的压缩路径是精华 } return father[x]; } /* 按秩合并x,y所在的集合 下面的那个if else结构不是绝对的,具体<strong>根据实际情况</strong>变化 但是,宗旨是不变的即,按秩合并,实时更新秩。 */ void Union(int x, int y) { x = Find_Set(x); y = Find_Set(y); if (x == y) return; if (rank[x] > rank[y]) { father[y] = x; rank[x] += rank[y]; }else { if (rank[x] == rank[y]) { rank[y]++; } father[x] = y; } }
注:学习并查集时非常感谢Slyar提供的资料,这里注明链接:http://www.slyar.com/blog/;另,本文于2009年记录于博客园:http://www.cnblogs.com/cherish_yimi/
另外,我认为写并查集时涉及到的路径压缩,最好用递归,一方面代码的可读性非常好,另一方面,可以更直观的理解路径压缩时在回溯时完成的巧妙。
作者:Yx.Ac
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