最大公约数与最小公倍数

最大公约数与最小公倍数

一、定义

1. 最大公约数

设 $a_1,a_2,a_3,...,a_k$ 是 $k$ 个非 0 整数，如果 $\exists d\in Z,d\ne 0$ ，使得 $d\mid a_1,d\mid a_2,d\mid a_3,...,d\mid a_k$ ，则称 $d$ 是 $a_1,a_2,a_3,...,a_k$ 的公约数；

公约数中最大的一个称为最大公约数，记为 $\gcd (a_1,a_2,a_3,...,a_k)$ ，其永远存在，最少为 1 ；

当 $\gcd =1$ 时，称这 $n$ 个数是互质或互约的，公约数一定是最大公约数的约数；

2. 最小公倍数

设 $a_1,a_2,a_3,...,a_k$ 是 $k$ 个非 0 整数，如果 $\exists d\in Z,d\ne 0$ ，使得 $a_1\mid d,a_2\mid d,a_3\mid d,...,a_k\mid d$ ，则称 $d$ 是 $a_1,a_2,a_3,...,a_k$ 的公倍数；

公倍数中最下的一个称为最小公倍数，记为 $lcm(a_1,a_2,a_3,...,a_k)$ ，其永远存在;

公倍数一定是最小公倍数的倍数；

3. 定理

$lcm(a,b)\ast \gcd (a,b)=ab$ ；

证明如下，

将 $a,b$ 质因数分解，设 $a,b$ 质因数集合并集为 $\{P_1,P_2,...,P_n\}$ ；

则设 $a=P_1^{k_1}\ast P_2^{k_2}\ast ...\ast P_n^{k_n}(0\le k_i,k_i\in Z),b=P_1^{j_1}\ast P_2^{j_2}\ast ...\ast P_n^{j_n}(0\le j_i,j_i\in Z)$

$\therefore \gcd (a,b)=P_1^{\min (k_1,j_1)}\ast P_2^{\min (k_2,j_2)}\ast P_3^{\min (k_3,j_3)}\ast ...\ast P_n^{\min (k_n,j_n)}$

$lcm(a,b)=P_1^{\max (k_1,j_1)}\ast P_2^{\max (k_2,j_2)}\ast P_3^{\max (k_3,j_3)}\ast ...\ast P_n^{\max (k_n,j_n)}$

又 $\because \min (k_i,j_i)+\max (k_i,j_i)=k_i+j_i$

$\therefore \gcd (a,b)\ast lcm(a,b)=P_1^{k_1+j_1}\ast ...\ast P_n^{k_n+j_n}=a\ast b$

二、辗转相除法

1. 说明

辗转相除法用于求两个数的最大公约数，又称欧几里得算法，其原理是 $\gcd (a,b)=\gcd (b,amodb)$ ；

2. 证明

设 $\gcd (a,b)=p$ ，则

$a=kp,b=gp,(k,g)=1,k,g\in Z$

由模运算放缩性得，

$amodb=kpmodgp=p(kmodg)$

$\therefore \gcd (b,amodb)=\gcd (gp,(kmodg)\ast p)$

又 $\because (k,g)=1$

$\therefore \gcd (b,amodb)=p$

三、扩展欧几里得算法

1. 说明

已知整数 $a,b$ 时，一定 $\exists x,y\in Z$ 使得 $ax+by=\gcd (a,b)$ ；

证明如下，

设 $a{x}_1+b{y}_1=\gcd (a,b),b{x}_2+(amodb)y_2=\gcd (b,amodb)$

由欧几里得定理可得，$\gcd (a,b)=\gcd (b,amodb)$

$\therefore a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(amodb)y2$

整理得 $a{x}_1+b{y}_1=a{y}_2+b(x_2-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_2)$

$\therefore \exists x_1=y_2,y_1=x_2-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_2$

则 $x_1,y_1$ 这组解由 $x_2,y_2$ 得来，

当 $x_n,y_n$ 关于 $\gcd (a,0)$ 时，有

$a{x}_n+b{y}_n=\gcd (a,0)=a$

$\therefore x_n=1,y_n=0$

$\therefore \exists x_n,y_n$

$\therefore \exists x,y$

2. 代码

思路

则模拟每次证明的思路进行辗转相除后更新 $x,y$ 即可；

代码

int ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	int tot1, tot2;
	if (!b) {
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	tot1 = ex_gcd(b, a % b, x, y);
	tot2 = x;
	x = y;
	y = tot2 - a / b * y;
	return tot1;
}

四、裴蜀定理

1. 定理

对于不定方程 $ax+by=m$ ，其有解的充要条件为 $\gcd (a,b)\mid m$ ；

证明如下，

1. 必要性，即 $ax+by=m$ 有解，可得 $\gcd (a,b)\mid m$ ；

   $\because ax+by=m$ 有解

   $\therefore \exists x,y\in Z$ 使得 $ax+by=m$

   又 $\because \gcd \mid a,gcd\mid b$

   $\therefore gcd(a,b)\mid ax+by$

   $\therefore gcd(a,b)\mid m$

2. 充分性，即 $gcd(a,b)\mid m$ ，可得 $ax+by=m$ 有解；

   由扩展欧拉定理得， $ax+by=\gcd (a,b)$ 一定有解

   又 $\because gcd(a,b)\mid m$

   $\therefore ax+by=m$ 有解

2. 引理1

若 $a,b\in Z^{+}$ ，且 $(a,b)=1$ ，则 $\nexists k<b\in Z^{+}$ ，使得 $b\mid ka$ ；

使用反证法，证明如下，

若 $\exists 0<k<b\in Z$ ，使得 $b\mid ka$ ，则 $ka$ 中一定包含 $b$ 的所有质因子

又 $\because (a,b)=1$

$\therefore a$ 中不可能包含 $b$ 的质因子

$\therefore k$ 定为 $b$ 的倍数

与 $0<k<b$ 矛盾，假设不成立；

3. 推论

若 $a,b\in Z^{+}$ 且 $(a,b)=1$ ，则 $0,a,2a,3a,...,(b-1)a$ 分别 $modb$ 的余数互不相等；

证明使用反证法，如下，

如果存在 $ia,ja,(0<j<i<b)$ ，使得它们分别 $modb$ 的余数相等，则 $(i-j)\ast amodb==0$ 且 $0<i-j<b$ 与引理 1 矛盾，假设不成立；

4. 引理2

若 $(a,b)=1$ ，则 $\exists k\in Z$ 使 $k\ast amodb=1$ ；

证明如下，

根据推论， $0,a,2a,3a,...,(b-1)a$ 分别 $modb$ 的余数互不相等，且有 $b$ 个，在 $[0,b-1]$ 之间

$\therefore \exists k\in Z$ 使得 $k\ast amodb=1$ ；

五、费马小定理

如果 $p$ 为质数，且 $amodp\ne 0$ ，则 $a^{p-1}mod1$ ；

证明如下，

$(a\ast 2a\ast 3a\ast ...\ast (p-1)a)modp=(a^{p-1}\ast (p-1)!)modp$

又 $\because p$ 为质数，且 $a$ 不为 $p$ 的倍数，根据裴蜀定理推论有，

$amodp,2amodp,3amodp,...,(p-1)amodp$ 互不相等，且在 $[1,p-1]$ 之间

$\therefore (a\ast 2a\ast ...\ast (p-1)a)modp$

$=amodp\ast 2amodp\ast ...\ast (p-1)amodp$

$=(p-1)!modp$

$\therefore a^{p-1}\ast (p-1)!modp=(p-1)!modp$

又 $\because p$ 为质数

$\therefore (p,(p-1)!)=1$

$\therefore a^{p-1}mod1$