数学建模之机理分析

一、针对问题的机理建模方法
定义
机理分析：通过对系统内部原因（机理）的分析研究，从而找出其发展变化规律的一种科学研究方法。

1. 机理方法概述

（1）自身存在的发展规律和理由–分析事物的内在因素，研究其内在关系，得到内在规律—机理模型。
（2）如何从事物的内在因素和条件中研究其内在关系与规律？？------机理分析建模方法。
（3）利用机理分析方法所建立的模型有：代数方程、函数方程、微分方程、积分方程和一般的动力学模型等。
一般不能直接应用某种现成的方法得到模型，或直接套用现成的模型得到结论。

2. 机理建模的基本方法
类比分析法：根据一些物理定律，经济规律，数学原理等建立不同事物之间的类比关系，建立问题的数学模型。
量纲分析法：通过分析问题相关物理量的量纲，根据量纲一致性原则建立各物理量之间的关系。
几何分析法：针对实际问题，利用平面几何、立体几何、解析几何的原理等建立模型。
逻辑分析法：一句问题的客观条件和实际情况，利用逻辑推理和逻辑运算建立模型
比较分析法：对照各个事物，确定事务间的共同点和差异点，通过文字描述、图表等方式对事物特征进行分析，建立模型。
推理分析法：在掌握一定的已知事实，数据信息或者因素相关性的基础上，通过因果关系或其他相关关系顺次，逐步地推论得出新结论，建立模型。

3. 机理分析建模流程
针对实际问题-----了解问题背景----分析问题-----明确相关因素和参数-----分析其内在关系—用适当数学方法—建立关联模型–选用实际数据–确定未知数据—求解模型—用结果解释实际问题—用实际数据或模拟检验模型—进一步扩展模型。

例：人才吸引力评价（2018深圳杯A题）—中国大学生在线可看此论文
将定性分析转换成定量分析
发展前景
经济收入
社会环境
问题的关键：首先搞清楚：什么是人才吸引力？水平如何？优势与不足？如何提升？
（1）柯布–道格拉斯函数
人才吸引力：发展前景、经济收入、社会环境
发展前景：历史数据、当前数据
经济收入：人均收入、物价水平
社会环境：空气环境指数、

（2）万有引力定律

（3）类欧姆定律

例：出租车模型
（1）建立合理性模型，并分析不同时空出租车资源的供求匹配程度。
（2）分析相关公司的出租车补贴方案是否对缓解打车难问题有帮助？
（3）试创建一个打车软件服务平台，计一个补贴方案，并论证其合理性
深圳杯的题目----深圳一天的数据 都可以查到
关系的问题===核心问题
基例—情景—数据
1.目前出租车资源的配置是否合理？
2.如何实现出租车供求关系的良好匹配？
3.打车软件是否能有效解决打车难问题？

解决问题：分析与出租车供求相关的因素和关系机理，建立问题的机理模型。
需要收集某区域或城市出租车的相关数据，通过对数据的分析研究，统计挖掘出相关规律，来支持所建立的数学哦行和模型的结论。
出租车运行轨迹数据----------------不需要
优秀论文：-----------中国大学生在线可看到
（1）匹配指标如何建立？出租车里程利用率和供求比率的经验公式
（2）某城市的滴滴数据补贴的前后数据分析，客观形成好单和坏单
要分阶段进行讨论考虑，而不是单单说有利还是无利

通过机理分析建立分区动态实时补贴模型，给出符合实际的补贴方案：针对司机和乘客不同的设计。
在各区各时段的补贴保持平衡的前提下，建立平衡补贴的方程组模型。

二、针对实景的情景建模方法
情景建模或情境建模：情景描述、用数学模型来描述现实生活中的真情和实景
类似于情景剧：尽量反映真人、真事、真情、实景、实时、实效。情境建模的六个要素：
何人：情境中的主体人物
何时：情景的发生时间
何地：发生地点
何为：主体人物要做什么？
何故：主体人物为什么做？
何能：如何做才能达到好的效果？

《出租车问题》–层次分析、模糊评价、综合评价的方法直接不阅卷
尽量采用一种方法贯穿始终，不要每个问题一个模型。。。。

三、针对数据的数据建模方法
实际中大量信息或海量信息回应着大量的数据或海量数据，从这些数据中寻求所需要的问题答案—数据建模（分析）问题。
（1）数据分析需要的五个方面基础能力
可视化分析、语义殷勤、数据处理、数据挖掘、评估与预测分析
（2）数据分析技术
数据采集与储存、数据处理、统计分析、数据挖掘、评估预测
（3）数据建模流程
数据导入与预处理–统计分析–深度数据挖掘—做出评估、预测分析
通过实际对象过去的

1.数据建模的数据预处理方法
（1）数据类型的一致化处理
一般问题的数据指标可能有“极大型”，“极小型”，“中间型”，“区间型”指标，
极大型：期望取值越大越好；极小型：期望取值越小越好
中间型：期望值取均值
区间型：取值落在某一个确定的区间
（2）数据指标的无量纲化处理
常用方法：标准差方法、极值差方法、功效系数方法、
（3）定性指标的量化处理
如：教学质量、科研水平、工作绩效、人员素质、满意度、信誉、态度、观念等，很多问题都涉及到定性或模糊指标的定量处理问题。
（4）定量指标的量化处理
按国家的评价标准，对于指标的评价一般分为五个等级，如A,B,C,D,E，如何将其量化？
如：可以将其 【很满意，满意，较满意，不太满意，很不满意】将其等级依次对应为5-4-3-2-1
为取连续量化，取偏大性柯西分布何对数函数作为隶属函数。
根据图的规律，对于任何一个评价值，都可以给出一个合适的量化值。—也可根据实际情况设置为偏大型量化

2.数据建模的综合评价方法
（1）线性加权综合法
权值构造不是绝对问题的本质，更关键的问题是在综合评价函数的构造。
不要把所有指标都进行综合评价，要认真分析需要的指标
**适用条件：各评价指标之间相互独立。**对不完全独立的情况，其结果将导致

（2）非线性加权综合法
适用条件：各指标间有较强关联性
主要特点：

如果有些指标是独立的，有些是关联性的，怎么处理呢？
可以独立的部分进行线性方法，关联性的使用非线性加权综合法，之后怎么综合量化分析呢？怎么融合？要根据实际问题进行分析。

（3）逼近理想点（TOPSIS）方法—逼近理想点的排序方法
首先设定系统指标的一个理想点，然后对于每一个被评价对象与理想点进行比较。按照值得大小对各被评价方案进行排序选优，其值越小方案越好。一般地，当=0时对应得方案最好。
具体可以看--------决策分析的书有详细讲解。

3.数据建模的动态加权方法
（1）动态加权问题
中小微企业的信贷决策问题—2020C题
问题：如何对N个系统做出评价呢？
（2）动态加权函数的设定
考虑到评价指标的“质差”
。分段变幂函数
。偏大型正态分布函数
。S型分布函数
（3） 动态加权模型

4.数据建模的综合排序方法
（1）综合排序问题
（2）综合排序方法
Borda函数方法：
5.数据建模的预测分析方法
依据研究对象过去何当前状态数据，预测未来的发展状况或 变化趋势：
（1）插值与拟合方法
（2）多元线性回归方法
（3）灰色预测GM（1，1）
（4）时间序列方法：
（5）神经网络方法
（6）机器学习方法
每种方法都有相应适用条件，切勿滥用。
6.数学建模的统计分析方法
通常所说的数据挖掘问题包括：事物的分类、聚类、估计、预测、相关性分组或关联规则、特征描述何可视化等，复杂数据类型挖掘。
往往需要对相关数据做必要的统计分析，常用方法：回归。。。

【案例：中小微企业的信贷策略】
实力+信誉风险
信贷风险进行量化分析—不能用评价方法，如层次分析，topsisi分析，模糊评价方法等。应该针对问题进行深入的分析，而不是用这些方法进行指标累计进行得到结果。
中小微企业和大型企业有什么区别？中小微企业资金没有，规模不够庞大，只有通过进销项发票的数据可参考—发票贷。（这是关键问题，复杂点）
问题核心：如何针对企业的信贷风险确定银行的最优信贷策略。
信贷策略：是否放贷、放贷金额、贷款利率和期限。
信贷风险：反映企业还款能力的指标，由企业经济实力和信誉指标两个方面构成。
企业实力：企业的上下游业务量和增长率，企业毛利率和增长率等。
企业信誉：企业的信誉评级和是否由违约记录
主要问题：如何量化企业的信贷风险？如何优化信贷策略？：指标不一定全部都要用

机理+情景+数据 三位一体的建模问题。
（1）数据分析与数据处理
（2）企业信贷风险的因素分析：信誉评级量化（D），是否违约量化（违约一票否决)，企业上游业务量，企业下游业务量，企业的毛利率等。
（3) 企业信贷风险的量化模型
（4）无信贷纪录企业的信誉评级
数据分析：
（1）进项发票：有效发票和作废发票，正数发票和负数发票
（2）数据的时间长度：不同企业数据的时间长度不同
充分利用数据信息，增强结果的客观性和真实性；不同企业度量指标的可比性。（不要丢掉数据量）
企业的实力指标：年平均值=12*月平均指标值
（3）数据的量级：不同企业不同数据的量级差异性大
。可使用动态加权

信誉度指标：C=XY（j=1,2,…123）由信誉评级和是否由违约构成
实力+信誉度指标：S=CS：企业的综合实力和信誉指标决定，对评级为D的和有违约记录的企业“一票否决”
信贷风险怎么度量：企业的实力和信誉决定了信贷风险，风险和实力+信誉指标不应该是线性关系，不难说明S曲线的关系。

利用生物学中常用的sigmoid函数：--------------------电子科技大学的学生论文
每个企业的信贷风险指标值

5.信贷策略的优化模型
附件三 流失率与利率的关系做拟合
目标函数：银行的信贷总收益最大化，并要考虑信贷风险最小化，取单位信贷额度的信贷风险最小。
约束条件：风险约束、额度约束、年利率约束等
同类企业风险可以相同，但是金额可以不同

三、无信贷记录企业的信贷决策模型
使用机器学习训练出内在指标的关系，由附件1中的企业信誉评级与经营实力指标的确定关系
解决方法：机器学习、logistic回归、多元线性回归等
机器学习：附件1大部分企业作为训练样本，少部分作为验证样本，或指明交叉验证的比例

四、突发事件下信贷决策模型
新冠疫情通常要考虑正负面两个方面的影响，如：旅游、服务、餐饮等是负面的影响，但是医药行业却大量受益，对哪些行业正面？哪些行业负面，并进行此模型进行修订。
突发事件可用到的模型：二项分布、possion分布，一般突发事件的影响可以用正态分布表述。
突发事件所产生的影响效果可使用均值带入模型求解，得到调整后的信贷策略，也可以用概率分布带入模型进行随机模型求解分析。
可从宏观和微观或者政策层面上做讨论。