数学建模之机理分析

一、针对问题的机理建模方法
定义
机理分析:通过对系统内部原因(机理)的分析研究,从而找出其发展变化规律的一种科学研究方法。

1. 机理方法概述

(1)自身存在的发展规律和理由–分析事物的内在因素,研究其内在关系,得到内在规律—机理模型。
(2)如何从事物的内在因素和条件中研究其内在关系与规律??------机理分析建模方法。
(3)利用机理分析方法所建立的模型有:代数方程、函数方程、微分方程、积分方程和一般的动力学模型等。
一般不能直接应用某种现成的方法得到模型,或直接套用现成的模型得到结论。

2. 机理建模的基本方法
类比分析法:根据一些物理定律,经济规律,数学原理等建立不同事物之间的类比关系,建立问题的数学模型。
量纲分析法:通过分析问题相关物理量的量纲,根据量纲一致性原则建立各物理量之间的关系。
几何分析法:针对实际问题,利用平面几何、立体几何、解析几何的原理等建立模型。
逻辑分析法:一句问题的客观条件和实际情况,利用逻辑推理和逻辑运算建立模型
比较分析法:对照各个事物,确定事务间的共同点和差异点,通过文字描述、图表等方式对事物特征进行分析,建立模型。
推理分析法:在掌握一定的已知事实,数据信息或者因素相关性的基础上,通过因果关系或其他相关关系顺次,逐步地推论得出新结论,建立模型。

3. 机理分析建模流程
针对实际问题-----了解问题背景----分析问题-----明确相关因素和参数-----分析其内在关系—用适当数学方法—建立关联模型–选用实际数据–确定未知数据—求解模型—用结果解释实际问题—用实际数据或模拟检验模型—进一步扩展模型。

例:人才吸引力评价(2018深圳杯A题)—中国大学生在线可看此论文
将定性分析转换成定量分析
发展前景
经济收入
社会环境
问题的关键:首先搞清楚:什么是人才吸引力?水平如何?优势与不足?如何提升?
(1)柯布–道格拉斯函数
人才吸引力:发展前景、经济收入、社会环境
发展前景:历史数据、当前数据
经济收入:人均收入、物价水平
社会环境:空气环境指数、

(2)万有引力定律

(3)类欧姆定律

例:出租车模型
(1)建立合理性模型,并分析不同时空出租车资源的供求匹配程度。
(2)分析相关公司的出租车补贴方案是否对缓解打车难问题有帮助?
(3)试创建一个打车软件服务平台,计一个补贴方案,并论证其合理性
深圳杯的题目----深圳一天的数据 都可以查到
关系的问题===核心问题
基例—情景—数据
1.目前出租车资源的配置是否合理?
2.如何实现出租车供求关系的良好匹配?
3.打车软件是否能有效解决打车难问题?

解决问题:分析与出租车供求相关的因素和关系机理,建立问题的机理模型。
需要收集某区域或城市出租车的相关数据,通过对数据的分析研究,统计挖掘出相关规律,来支持所建立的数学哦行和模型的结论。
出租车运行轨迹数据----------------不需要
优秀论文:-----------中国大学生在线可看到
(1)匹配指标如何建立?出租车里程利用率和供求比率的经验公式
(2)某城市的滴滴数据补贴的前后数据分析,客观形成好单和坏单
要分阶段进行讨论考虑,而不是单单说有利还是无利

通过机理分析建立分区动态实时补贴模型,给出符合实际的补贴方案:针对司机和乘客不同的设计。
在各区各时段的补贴保持平衡的前提下,建立平衡补贴的方程组模型。

二、针对实景的情景建模方法
情景建模或情境建模:情景描述、用数学模型来描述现实生活中的真情和实景
类似于情景剧:尽量反映真人、真事、真情、实景、实时、实效。情境建模的六个要素:
何人:情境中的主体人物
何时:情景的发生时间
何地:发生地点
何为:主体人物要做什么?
何故:主体人物为什么做?
何能:如何做才能达到好的效果?

《出租车问题》–层次分析、模糊评价、综合评价的方法直接不阅卷
尽量采用一种方法贯穿始终,不要每个问题一个模型。。。。

三、针对数据的数据建模方法
实际中大量信息或海量信息回应着大量的数据或海量数据,从这些数据中寻求所需要的问题答案—数据建模(分析)问题。
(1)数据分析需要的五个方面基础能力
可视化分析、语义殷勤、数据处理、数据挖掘、评估与预测分析
(2)数据分析技术
数据采集与储存、数据处理、统计分析、数据挖掘、评估预测
(3)数据建模流程
数据导入与预处理–统计分析–深度数据挖掘—做出评估、预测分析
通过实际对象过去的

1.数据建模的数据预处理方法
(1)数据类型的一致化处理
一般问题的数据指标可能有“极大型”,“极小型”,“中间型”,“区间型”指标,
极大型:期望取值越大越好;极小型:期望取值越小越好
中间型:期望值取均值
区间型:取值落在某一个确定的区间
(2)数据指标的无量纲化处理
常用方法:标准差方法、极值差方法、功效系数方法、
(3)定性指标的量化处理
如:教学质量、科研水平、工作绩效、人员素质、满意度、信誉、态度、观念等,很多问题都涉及到定性或模糊指标的定量处理问题。
(4)定量指标的量化处理
按国家的评价标准,对于指标的评价一般分为五个等级,如A,B,C,D,E,如何将其量化?
如:可以将其 【很满意,满意,较满意,不太满意,很不满意】将其等级依次对应为5-4-3-2-1
为取连续量化,取偏大性柯西分布何对数函数作为隶属函数。
根据图的规律,对于任何一个评价值,都可以给出一个合适的量化值。—也可根据实际情况设置为偏大型量化

2.数据建模的综合评价方法
(1)线性加权综合法
权值构造不是绝对问题的本质,更关键的问题是在综合评价函数的构造。
不要把所有指标都进行综合评价,要认真分析需要的指标
**适用条件:各评价指标之间相互独立。**对不完全独立的情况,其结果将导致

(2)非线性加权综合法
适用条件:各指标间有较强关联性
主要特点:

如果有些指标是独立的,有些是关联性的,怎么处理呢?
可以独立的部分进行线性方法,关联性的使用非线性加权综合法,之后怎么综合量化分析呢?怎么融合?要根据实际问题进行分析。

(3)逼近理想点(TOPSIS)方法—逼近理想点的排序方法
首先设定系统指标的一个理想点,然后对于每一个被评价对象与理想点进行比较。按照值得大小对各被评价方案进行排序选优,其值越小方案越好。一般地,当=0时对应得方案最好。
具体可以看--------决策分析的书有详细讲解。

3.数据建模的动态加权方法
(1)动态加权问题
中小微企业的信贷决策问题—2020C题
问题:如何对N个系统做出评价呢?
(2)动态加权函数的设定
考虑到评价指标的“质差”
。分段变幂函数
。偏大型正态分布函数
。S型分布函数
(3) 动态加权模型

4.数据建模的综合排序方法
(1)综合排序问题
(2)综合排序方法
Borda函数方法:
5.数据建模的预测分析方法
依据研究对象过去何当前状态数据,预测未来的发展状况或 变化趋势:
(1)插值与拟合方法
(2)多元线性回归方法
(3)灰色预测GM(1,1)
(4)时间序列方法:
(5)神经网络方法
(6)机器学习方法
每种方法都有相应适用条件,切勿滥用。
6.数学建模的统计分析方法
通常所说的数据挖掘问题包括:事物的分类、聚类、估计、预测、相关性分组或关联规则、特征描述何可视化等,复杂数据类型挖掘。
往往需要对相关数据做必要的统计分析,常用方法:回归。。。

【案例:中小微企业的信贷策略】
实力+信誉风险
信贷风险进行量化分析—不能用评价方法,如层次分析,topsisi分析,模糊评价方法等。应该针对问题进行深入的分析,而不是用这些方法进行指标累计进行得到结果。
中小微企业和大型企业有什么区别?中小微企业资金没有,规模不够庞大,只有通过进销项发票的数据可参考—发票贷。(这是关键问题,复杂点)
问题核心:如何针对企业的信贷风险确定银行的最优信贷策略。
信贷策略:是否放贷、放贷金额、贷款利率和期限。
信贷风险:反映企业还款能力的指标,由企业经济实力和信誉指标两个方面构成。
企业实力:企业的上下游业务量和增长率,企业毛利率和增长率等。
企业信誉:企业的信誉评级和是否由违约记录
主要问题:如何量化企业的信贷风险?如何优化信贷策略?:指标不一定全部都要用

机理+情景+数据 三位一体的建模问题。
(1)数据分析与数据处理
(2)企业信贷风险的因素分析:信誉评级量化(D),是否违约量化(违约一票否决),企业上游业务量,企业下游业务量,企业的毛利率等。
(3) 企业信贷风险的量化模型
(4)无信贷纪录企业的信誉评级
数据分析:
(1)进项发票:有效发票和作废发票,正数发票和负数发票
(2)数据的时间长度:不同企业数据的时间长度不同
充分利用数据信息,增强结果的客观性和真实性;不同企业度量指标的可比性。(不要丢掉数据量)
企业的实力指标:年平均值=12*月平均指标值
(3)数据的量级:不同企业不同数据的量级差异性大
。可使用动态加权

信誉度指标:C=XY(j=1,2,…123)由信誉评级和是否由违约构成
实力+信誉度指标:S=C
S:企业的综合实力和信誉指标决定,对评级为D的和有违约记录的企业“一票否决”
信贷风险怎么度量:企业的实力和信誉决定了信贷风险,风险和实力+信誉指标不应该是线性关系,不难说明S曲线的关系。

利用生物学中常用的sigmoid函数:--------------------电子科技大学的学生论文
每个企业的信贷风险指标值

5.信贷策略的优化模型
附件三 流失率与利率的关系做拟合
目标函数:银行的信贷总收益最大化,并要考虑信贷风险最小化,取单位信贷额度的信贷风险最小。
约束条件:风险约束、额度约束、年利率约束等
同类企业风险可以相同,但是金额可以不同

三、无信贷记录企业的信贷决策模型
使用机器学习训练出内在指标的关系,由附件1中的企业信誉评级与经营实力指标的确定关系
解决方法:机器学习、logistic回归、多元线性回归等
机器学习:附件1大部分企业作为训练样本,少部分作为验证样本,或指明交叉验证的比例

四、突发事件下信贷决策模型
新冠疫情通常要考虑正负面两个方面的影响,如:旅游、服务、餐饮等是负面的影响,但是医药行业却大量受益,对哪些行业正面?哪些行业负面,并进行此模型进行修订。
突发事件可用到的模型:二项分布、possion分布,一般突发事件的影响可以用正态分布表述。
突发事件所产生的影响效果可使用均值带入模型求解,得到调整后的信贷策略,也可以用概率分布带入模型进行随机模型求解分析。
可从宏观和微观或者政策层面上做讨论。

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