Floyd-Warshall算法详解

Floyd-Warshall算法，简称Floyd算法，用于求解任意两点间的最短距离，时间复杂度为O(n^3)。我们平时所见的Floyd算法的一般形式如下：

1  void  Floyd(){
2       int  i,j,k;
3       for (k = 1 ;k <= n;k ++ )
4           for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
5               for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
6                   if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j])
7                      dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
8  }

  注意下第6行这个地方，如果dist[i][k]或者dist[k][j]不存在，程序中用一个很大的数代替。最好写成if(dist[i][k]!=INF && dist[k][j]!=INF && dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])，从而防止溢出所造成的错误。
  上面这个形式的算法其实是Floyd算法的精简版，而真正的Floyd算法是一种基于DP(Dynamic Programming)的最短路径算法。
  设图G中n 个顶点的编号为1到n。令c [i, j, k]表示从i 到j 的最短路径的长度，其中k 表示该路径中的最大顶点，也就是说c[i,j,k]这条最短路径所通过的中间顶点最大不超过k。因此，如果G中包含边<i, j>，则c[i, j, 0] =边<i, j> 的长度；若i= j ，则c[i,j,0]=0；如果G中不包含边<i, j>，则c (i, j, 0)= +∞。c[i, j, n] 则是从i 到j 的最短路径的长度。
  对于任意的k>0，通过分析可以得到：中间顶点不超过k 的i 到j 的最短路径有两种可能：该路径含或不含中间顶点k。若不含，则该路径长度应为c[i, j, k-1]，否则长度为 c[i, k, k-1] +c [k, j, k-1]。c[i, j, k]可取两者中的最小值。
  状态转移方程：c[i, j, k]=min{c[i, j, k-1], c [i, k, k-1]+c [k, j, k-1]}，k＞0。
  这样，问题便具有了最优子结构性质，可以用动态规划方法来求解。

  为了进一步理解，观察上面这个有向图：若k=0, 1, 2, 3，则c[1,3,k]= +∞；c[1,3,4]= 28；若k = 5, 6, 7，则c [1,3,k] = 10；若k=8, 9, 10，则c[1,3,k] = 9。因此1到3的最短路径长度为9。
  下面通过程序来分析这一DP过程，对应上面给出的有向图：

 

 1  #include  < iostream >
 2  using   namespace  std;
 3 
 4  const   int  INF  =   100000 ;
 5  int  n = 10 ,map[ 11 ][ 11 ],dist[ 11 ][ 11 ][ 11 ];
 6  void  init(){
 7       int  i,j;
 8       for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
 9           for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
10              map[i][j] = (i == j) ? 0 :INF;
11      map[ 1 ][ 2 ] = 2 ,map[ 1 ][ 4 ] = 20 ,map[ 2 ][ 5 ] = 1 ;
12      map[ 3 ][ 1 ] = 3 ,map[ 4 ][ 3 ] = 8 ,map[ 4 ][ 6 ] = 6 ;
13      map[ 4 ][ 7 ] = 4 ,map[ 5 ][ 3 ] = 7 ,map[ 5 ][ 8 ] = 3 ;
14      map[ 6 ][ 3 ] = 1 ,map[ 7 ][ 8 ] = 1 ,map[ 8 ][ 6 ] = 2 ;
15      map[ 8 ][ 10 ] = 2 ,map[ 9 ][ 7 ] = 2 ,map[ 10 ][ 9 ] = 1 ;
16  }
17  void  floyd_dp(){
18       int  i,j,k;
19       for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
20           for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
21              dist[i][j][ 0 ] = map[i][j];
22       for (k = 1 ;k <= n;k ++ )
23           for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
24               for (j = 1 ;j <= n;j ++ ){
25                  dist[i][j][k] = dist[i][j][k - 1 ];
26                   if (dist[i][k][k - 1 ] + dist[k][j][k - 1 ] < dist[i][j][k])
27                      dist[i][j][k] = dist[i][k][k - 1 ] + dist[k][j][k - 1 ];
28              }
29  }
30  int  main(){
31       int  k,u,v;
32      init();
33      floyd_dp();
34       while (cin >> u >> v,u || v){
35           for (k = 0 ;k <= n;k ++ ){
36               if (dist[u][v][k] == INF) cout << " +∞ " << endl;
37               else  cout << dist[u][v][k] << endl;
38          }
39      }
40       return   0 ;
41  }

  输入 1 3
  输出 +∞
            +∞
            +∞
            +∞
            28
            10
            10
            10
            9
            9
            9

  Floyd-Warshall算法不仅能求出任意2点间的最短路径，还可以保存最短路径上经过的节点。下面用精简版的Floyd算法实现这一过程，程序中的图依然对应上面的有向图。

 1  #include  < iostream >
 2  using   namespace  std;
 3 
 4  const   int  INF  =   100000 ;
 5  int  n = 10 ,path[ 11 ][ 11 ],dist[ 11 ][ 11 ],map[ 11 ][ 11 ];
 6  void  init(){
 7       int  i,j;
 8       for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
 9           for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
10              map[i][j] = (i == j) ? 0 :INF;
11      map[ 1 ][ 2 ] = 2 ,map[ 1 ][ 4 ] = 20 ,map[ 2 ][ 5 ] = 1 ;
12      map[ 3 ][ 1 ] = 3 ,map[ 4 ][ 3 ] = 8 ,map[ 4 ][ 6 ] = 6 ;
13      map[ 4 ][ 7 ] = 4 ,map[ 5 ][ 3 ] = 7 ,map[ 5 ][ 8 ] = 3 ;
14      map[ 6 ][ 3 ] = 1 ,map[ 7 ][ 8 ] = 1 ,map[ 8 ][ 6 ] = 2 ;
15      map[ 8 ][ 10 ] = 2 ,map[ 9 ][ 7 ] = 2 ,map[ 10 ][ 9 ] = 1 ;
16  }
17  void  floyd(){
18       int  i,j,k;
19       for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
20           for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
21              dist[i][j] = map[i][j],path[i][j] = 0 ;
22       for (k = 1 ;k <= n;k ++ )
23           for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
24               for (j = 1 ;j <= n;j ++ )
25                   if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j])
26                      dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j],path[i][j] = k;
27  }
28  void  output( int  i, int  j){
29       if (i == j)  return ;
30       if (path[i][j] == 0 ) cout << j << '   ' ;
31       else {
32          output(i,path[i][j]);
33          output(path[i][j],j);
34      }
35  }
36  int  main(){
37       int  u,v;
38      init();
39      floyd();
40       while (cin >> u >> v,u || v){
41           if (dist[u][v] == INF) cout << " No path " << endl;
42           else {
43              cout << u << '   ' ;
44              output(u,v);
45              cout << endl;
46          }
47      }
48       return   0 ;
49  }

  输入 1 3                    
  输出 1 2 5 8 6 3