Lambek-Moser定理

该定理由J·拉姆贝克(Lambek)与L·莫斯尔(Leo Moser)提出

我们将满足

        

        

的两数列和称为互补数列

对于互补数列，有如下的：

        Lambek—Moser定理

        设是一个的不减函数。定义,其中表示集合中元素的个数。记分别为函数的值域。则是互补的.

证明:  没有学到…现在还不会证这种鬼东西... 以后再填坑（来自学生狗的无奈qwq……）

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例1:

求证：在正整数序列中，删去所有完全平方数后，第项等于.其中表示不超过的最大整数.(第27届普特南数学竞赛）

（我不清楚标准答案是什么，但我自己瞎搞搞出来一个...）

证明：

        令

        

则根据原命题，知:

        的值域的值域互补.

考虑构造函数:

       

       

由Lambek-Moser定理,

原命题等价于求证:

        

        考虑使得

        则

        

        得

        所以

证毕.

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例2:

删去正整数数列1,2,3,⋅⋅⋅1,2,3,···中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第20032003项是（　）

(A) 20462046 (B) 20472047 (C) 20482048 (D) 20492049

（20032003，全国高中数学联赛）

解：

 直接运用例11证明出的公式 令,便得到

        

直接暴力，由,得

        第项为,第项为

所以第项为

（第一篇就写写数学吧qwq...）