数制及其转换

1.数制的相关概念

• 数制：

用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。数值的“量”才是本质，而符号是一个量在某一符号系统中的指称。（就像具体的人 才是本质，名字只是在不同的场景下的指称，可能同学喜欢叫你小名，老师却喜欢叫你大名，不管大名还是小名都指的是你）

不同数制之间可以进行相互转换。

• 数码：

即数字符合，数制中表示基本数值大小的不同数字符号。例如，十进制有10个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

• 基数：

数制所使用数码 ( 数字符号 ) 的个数。例如，二进制的基数为2；十进制的基数为10。

• 位权：

数制中某一位上的1所表示数值的大小。例如，十进制的123，1的位权是100，2的位权是10，3的位权是1。二进制中的 1011 (一般从左向右开始)，第一个1的位权是8，0的位权是4，第二个1的位权是2，第三个1的位权是1。

 

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2.数制间的转换

• 二 / 八 / 十六 进制转换为十进制：

按位权展开再求和

个位上的数字的次数是0，十位上的数字的次数是1，......，依次递增，而十分位的数字的次数是-1，百分位上数字的次数是-2，......，依次递减。

先将二进制的数写成加权系数展开式，而后根据十进制的加法规则进行求和。

以下分别以二、八、十六进制为例：

 

 

 

• 十进制转换为二 / 八 / 十六 进制：

一个十进制数转换为二/八/十六进制数要分整数部分和小数部分分别转换，最后再组合到一起。

整数部分：除基数取余数。用基数整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用基数去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为小于1时为止，然后把先得到的余数作为该进制数的低位有效位，后得到的余数作为该进制数的高位有效位，依次排列起来。

例如，将十进制数26转换为二进制为：11010

小数部分：乘基数取整数。即用十进制的小数乘以基数并取走结果的整数，然后再用剩下的小数重复刚才的步骤，直到剩余的小数为 0 时停止，最后将每次得到的整数部分按先后顺序从左到右排列即得到所对应的进制小数。

例如，将十进制数0.375转换为二进制为：011

 

• 二进制转换为八 / 十六进制：

二进制转八进制：将二进制数从小数点开始，整数部分从右向左每三位一组合，小数部分从左向右每三位一组合，每一个组合用对应的八进制数表示(421法：每组三位数字权重分别为：4、2、1，将1的权重相加，得对应八进制数。8421法同理。)，注意位数不足补0。

二进制转十六进制：将二进制数从小数点开始，整数部分右向左每四位一组合，小数部分从左向右每四位一组合，每一个组合用对应的十六进制数表示(8421法)，注意位数不足补0。

 

• 八 / 十六进制转换为二进制：

每位八/十六进制数用相应的3位/4位二进制数代替，按原顺序排序。

例如，将八进制数745.361转换为二进制数