MATLAB学习笔记（七）——MATLAB解方程与函数极值
（一）线性方程组求解
包含n个未知数，由n个方程构成的线性方程组为：
其矩阵表示形式为：
其中
一、直接求解法
1、左除法
x=A\b;
如果A是奇异的，或者接近奇异的。MATLAB会发出警告信息的。
2、利用矩阵的分解来求解线性方程组（比单单进行左除速度快）
（1）LU分解(只有方阵可以使用)
LU分解就是分解成一个交换下三角矩阵（也就是说进行一定的操作后才是下三角矩阵）和一个上三角矩阵（不需要变换）的乘积形式。只要A是非奇异的，就可以进行LU分解。
MATLAB提供的LU分解函数对于矩阵进行LU分解：
[L,U]=lu(X); %X必须是方阵
[L,U,P]=lu(X); %PX=LU。X必须是方阵
实现LU分解之后，线性方程组Ax=b的解就为x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)、
（2）QR分解（A是非奇异的）
QR分解就是分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。只要A是非奇异的，就可以进行QR分解。QR只能对方阵进行分解。
[Q,R]=qr(X); %X=QR
[Q,R,E]=qr(X); %XE=QR
实现QR分解之后，解为x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。
（3）Cholesky分解（X是正定的）
如果X是正定的。则将矩阵分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。上三角矩阵为R，下三角矩阵为其转置，X=R’R.
MATLAB进行CHolesky分解方法：
R=chol(X); [R,p]=chol(X); %p=0则为正定矩阵，返回一个R，或者p为一个正整数q=p-1，满足R'R=X(1:q,1:q)
则线性方程组的解为x=R\(R’\b)
二、迭代法求解(求解大型系数矩阵的方程组）
1、Jacobi迭代法
（1）原理解释
对于Ax=b，如果A为非奇异，那么A就可以分解成一个对角阵D，一个下三角阵L和一个上三角阵U，使得A=D-L-U。则
然后得到迭代公式为
如果收敛的话，就可得到方程的解。
（2）MATLAB编程求解（= =，很简单的迭代。但是如果没有解的话，会得到NAN= = ）
function [y,n]=jacobi(A,b,x0,eps) %A为系数矩阵，b为向量，x0为初值。 if nargin==3 %输入参数至少为3个 eps=1.0e-6; elseif nargin<3 error return end D=diag(diag(A)); %求A得对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵（没有对主对角线），由于是拆成A=D-L-U，所以前面加了“-”号，下同 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵（没有对主对角线）。 B=D\(L+U); f=D\b; y=B*x0+f; n=1; %迭代次数 while norm(y-x0)>=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end
（3）一个demo
x =
0.9958
0.9579
0.7916
n =
11
2、Gauss-Serdel迭代法
（1）原理说明
由于每一次的x都已经算出来了，就没比较再从头算一次了。就是省略了无效的迭代次数，然后我们就得到一个新的迭代公式。
（2）MATLAB编程求解
function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps) %A为系数矩阵,b为列向量,x0为初值。 if nargin==3 eps=1.0e-6; elseif nargin<3 error return end D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵 G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; y=G*x0+f; n=1; while norm(y-x0)>=eps x0=y; y=G*x0+f; n=n+1; end
PS：
使用迭代法，一般只能找到一组解（离初值最近的解）。然后使用迭代法，一定要能收敛才能够使用。
（三）——常微分方程初值问题的数值解法
一般是比较难解出来解析解，所以一般求得离散解就很不错了。
一、龙格——库塔法简介
1、由中值定理可得：
所以，根据上述递推式之后能够计算未知函数y在点
，i=0,1，……，n的一列的数值解。
当然，使用的递推公式都会有一个误差累计的问题，所以我们使用龙格——库塔公式：
2、MATLAB封装的龙格——库塔法实现
[t,y]=ode23('fname',tspan,y0); [t,y]=ode45('fname',tspan,y0);
其中，fname是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。
tspan形式为[t0,tf]，表示求解区间。
y0是初始状态列向量。
t，y分别给出求解的相应向量。
然后自己会自动采用步长大小，所以效率还是不错的。
3、demo1
MATLAB编程求解
t0=0;tf=10; y0=2; [t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0); %龙格——库塔法的离散解 y1=sqrt(t+1)+1; %精确解 plot(t,y,'-b*'); hold on; plot(t,y1,':ro');
红色是精确解，蓝色是离散解，可以得到差距不大。
4、demo2
对于高阶的常微分方程。首先要转换为一阶常微分方程组。即状态方程（上面有两点表示二次导数= =）
令：
，则原式化为
MATLAB求解
t0=0;tf=20; x0=[0;0.25]; [t,x]=ode23('funt',[t0,tf],x0) subplot(1,2,1);plot(t,x); subplot(1,2,2);plot(x(:,1),x(:,2));
（四）函数极值
1、MATLAB求解方法
x=fmin('fname',x1,x2); %求单变量函数的最小值 x=fmins('fname',x0); %求多变量函数的最小值
