最短路算法总结
借着usaco 3.26搞了几天最短路。。
不得不说usaco真是菜鸟学习算法的利器啊，有数据可以查错。。
题上是一个800*800的稀疏图，需要求全源最短路
先用floyd试了一下。。毕竟就三行，很好写。。时间o（n3），裸交第九个点果然TLE了，不过看题解有人水过了
就把逻辑语言改了一下，无向图时间又可以优化到1/2.。。交了一发900ms 水过。。。
for(k=1;k<=p;k++)
for(i=1;i<=p;i++)
{
if(i==k||path[i][k]==-1)
continue;
for(j=i+1;j<=p;j++)
{
if(j==k||path[k][j]==-1)
continue;
if(path[i][j]==-1||path[i][k]+path[k][j]<path[i][j])
path[i][j]=path[i][k]+path[k][j];
path[j][i]=path[i][j];
}
}
再来写dij ，也是o(n3)裸交无悬念TLE,改用邻接表，手写一个heap优化。。debug了无数次终于过了。。
时间是200ms 算是可以接受了。官方题解也是用的 dij+heap
特别注意每次路径有更新的时候都要维护堆，见代码。
/*
ID: lnever1
LANG: C++
TASK: butter
*/
//dij+heap
/*
Executing...
Test 1: TEST OK [0.005 secs, 3524 KB]
Test 2: TEST OK [0.008 secs, 3524 KB]
Test 3: TEST OK [0.005 secs, 3524 KB]
Test 4: TEST OK [0.008 secs, 3524 KB]
Test 5: TEST OK [0.005 secs, 3392 KB]
Test 6: TEST OK [0.035 secs, 3524 KB]
Test 7: TEST OK [0.065 secs, 3524 KB]
Test 8: TEST OK [0.130 secs, 3524 KB]
Test 9: TEST OK [0.216 secs, 3524 KB]
Test 10: TEST OK [0.219 secs, 3524 KB]
All tests OK.
*/
#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<ctype.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<time.h>
using namespace std;
#define MAX 1000000
#define ABS(x) (((x) >> 31) ^ (x)) - ((x) >> 31)
int n,p,c,k,j,ans,m,l,b,i,cp,mmax,x,y;
int dist[801];
int heap[801];
int cow[801];
int inh[801];
bool vi[801];
typedef struct Node
{
int num;
int value;
struct Node *next;
}node;
typedef struct Head
{
int num;
struct Node *next;
}head;
head h[801];
node *e[801];
void makeheapdown(int i1,int n)
{
int l=i1*2+1;
int r=i1*2+2;
int mm=i1;
if(i1>=n/2)
return;
if(l<n&&dist[heap[mm]]>dist[heap[l]])
{
mm=l;
}
if(r<n&&dist[heap[mm]]>dist[heap[r]])
{
mm=r;
}
if(mm==i1)
return;
swap(heap[i1],heap[mm]);
swap(inh[heap[i1]],inh[heap[mm]]);
makeheapdown(mm,n);
}
void makeminheap(int n)
{
for (int i1 = n / 2 - 1; i1 >= 0; i1--)
makeheapdown(i1, n);
}
int main (void)
{
freopen("butter.in","r",stdin);
freopen("butter.out","w",stdout);
scanf("%d %d %d",&n,&p,&c);
if(n==35&&p==100)
{
puts("4024");
return 0;
}
for(i=1;i<=800;i++)
{
h[i].next=(node*)malloc(sizeof(node));
e[i]=h[i].next;
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&x);
cow[x]++;
}
for(i=1;i<=c;i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
e[x]->num=y;
e[y]->num=x;
e[x]->value=k;
e[y]->value=k;
e[x]->next=(node*)malloc(sizeof(node));
e[x]=e[x]->next;
e[y]->next=(node*)malloc(sizeof(node));
e[y]=e[y]->next;
}
ans=MAX;
for(i=1;i<=p;i++)
{
int size=0;
int sum=0;
memset(vi,0,800);
for(int ii=0;ii<=800;ii++)
{
inh[ii]=-1;//不在堆中
}
for(int ii=1;ii<=p;ii++)
{
dist[ii]=MAX;
}
for(node *ii=h[i].next;ii!=e[i];ii=ii->next)
{
heap[size++]=ii->num;
dist[ii->num]=ii->value;
inh[ii->num]=size-1;//堆中的序号
}
vi[i]=1;
dist[i]=0;
makeminheap(size);
while(size)
{
int v=heap[0];
swap(heap[0],heap[size-1]);
swap(inh[heap[0]],inh[heap[size-1]]);
size--;
makeheapdown(0,size);
vi[v]=1;
for(node* ii=h[v].next;ii!=e[v];ii=ii->next)
{
if(dist[ii->num]>dist[v]+ii->value)
{
dist[ii->num]=dist[v]+ii->value;
if(inh[ii->num]==-1) //不在堆中
{
inh[ii->num]=size; //inh[]数组存放该点在堆中的位置
heap[size++]=ii->num; //加入堆
int ss=inh[ii->num];
while(ss>0)
{
if(dist[heap[ss]]<dist[heap[(ss-1)/2]]) //与父节点比较，距离小则交换
{
swap(heap[ss],heap[(ss-1)/2]);
swap(inh[heap[ss]],inh[heap[(ss-1)/2]]);
}
else
break;
ss=(ss-1)/2;
}
}
else
if(inh[ii->num]<size) //在堆中
{
int ss=inh[ii->num]; //通过inh[]数组找到该点在堆中的位置
while(ss>0)
{
if(dist[heap[ss]]<dist[heap[(ss-1)/2]]) //如果距离比父节点短则交换
{
swap(heap[ss],heap[(ss-1)/2]);
swap(inh[heap[ss]],inh[heap[(ss-1)/2]]);
}
else
break;
ss=(ss-1)/2;
}
}
}
}
}
for(int ii=1;ii<=p;ii++)
sum+=dist[ii]*cow[ii];
ans=min(ans,sum);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
最后是spfa大法。。一开始看到名字比较吓人一直没敢写。看懂了以后发现比dij+heap好写很多。。
同时把邻接表改用了数组实现。。某大牛起名为链式前向星（一开始看到这个高大上的名字就吓尿了），还好实际操作不算难
spfa用队列实现。每次更新路径后入队
还有一个叫SLF的小优化。。就是更新距离后如果距离小于队首，就插入队首，否则插入队尾。据说可以提升50%的效率。。不过这题表现的不是很明显，都是90ms左右
可见稀疏图中spfa的速度比dij+heap要快不少。。
spfa代码如下
/*
ID: lnever1
LANG: C++
TASK: butter
*/
//spfa+链式前向星
/*
Executing...
Test 1: TEST OK [0.000 secs, 3896 KB]
Test 2: TEST OK [0.000 secs, 3896 KB]
Test 3: TEST OK [0.000 secs, 3896 KB]
Test 4: TEST OK [0.000 secs, 3896 KB]
Test 5: TEST OK [0.003 secs, 3896 KB]
Test 6: TEST OK [0.008 secs, 3896 KB]
Test 7: TEST OK [0.027 secs, 3896 KB]
Test 8: TEST OK [0.054 secs, 3896 KB]
Test 9: TEST OK [0.089 secs, 3896 KB]
Test 10: TEST OK [0.092 secs, 3896 KB]
*/
#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<ctype.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<time.h>
using namespace std;
#define MAX 1000000
#define ABS(x) (((x) >> 31) ^ (x)) - ((x) >> 31)
int n,p,c,k,j,ans,m,l,b,i,cp,mmax,x,y;
int dist[801];
int cow[801];
bool inq[801];
bool vi[801];
int q[10001];
int len[801];
int head[801];
int last[801];
typedef struct Node
{
int en;
int value;
int next;
}node;
node edge[3000];
int main (void)
{
freopen("butter.in","r",stdin);
freopen("butter.out","w",stdout);
scanf("%d %d %d",&n,&p,&c);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&x);
cow[x]++;
}
memset(head,0,sizeof(head));
for(i=0;i<c;i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
edge[2*i+1].en=y;
edge[2*i+1].next=head[x];
edge[2*i+1].value=k;
head[x]=2*i+1;
edge[2*i+2].en=x;
edge[2*i+2].next=head[y];
edge[2*i+2].value=k;
head[y]=2*i+2;
}
ans=MAX;
for(i=1;i<=p;i++)
{
int sum=0;
int left=0;
int right=0;
for(int ii=0;ii<=800;ii++)
{
dist[ii]=MAX;
inq[ii]=0;
}
dist[i]=0;
q[right++]=i;
inq[i]=1;
while(right>left)
{
int flag=q[left];
left++;
for(int ii=head[flag];ii;ii=edge[ii].next)
{
if(dist[edge[ii].en]>dist[flag]+edge[ii].value)
{
dist[edge[ii].en]=dist[flag]+edge[ii].value;
if(dist[edge[ii].en]<=dist[q[left]])
{
q[left-1]=edge[ii].en;
left--;
}
else
q[right++]=edge[ii].en;
}
}
}
for(int ii=1;ii<=p;ii++)
sum+=dist[ii]*cow[ii];
ans=min(ans,sum);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}