二分法查找

问题：给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中找出一特定元素x。

分析：

 

• 如果n=1即只有一个元素，则只要比较这个元素和x就可以确定x是否在表中。因此这个问题满足分治法第一个适用条件。
• 比较x和a的中间元素a[mid]，若x=a[mid]，则x在a中位置就是mid；如果x<a[mid]，由于a是递增排序的，因此假如x在a的话，x必然排在a[mid]的前面，所以我们只要在a[mid]的前面查找x即可；如果x>a[mid]，所以我们只要在a[mid]的后面查找x即可。无论是在前面还是在后面查找x，其方法都和在a中查找x一样，只不过是查找的规模缩小了。这就说明了此问题满足分治法的第二个和第三个使用条件。
• 很显然此问题分解出的子问题相互独立，即在a[i]的前面或后面查找x是独立的子问题，因此满足分治法的第四个条件。

 

即：

 

• 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
• 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题;
• 分解出的子问题的解可以合并为原问题的解；
• 分解出的各个子问题是相互独立的。

 

二分查找算法：

template<class Type>

int BinarySearch(Type a[], const Type& x, int n)

{

          int left = 0;int right = n-1;

     while (left<= right){

        int mid= (left + right)/2;

        if (x ==a[mid]) return mid;

        if (x< a[mid]) right = mid-1; else left = mid+1;

        }

    return -1;//未找到x

}

算法复杂度分析：

每执行一次算法的while循环， 待搜索数组的大小减少一半。因此，在最坏情况下，while循环被执行了O(logn) 次。循环体内运算需要O(1) 时间，因此整个算法在最坏情况下的计算时间复杂性为O(logn) 。